Transcript pps
Предел и непрерывность
функции.
Замечательные пределы.
I. Первый замечательный предел
lim
x 0
sin x
1
x
Доказательство:
Обозначим
M
x
B
0 x
2
C
1
0
MOB x ,
A
S MOA S сектора
MOA
S COA
S MOA S сектора
M
MOA
S COA
C
1
x
0
B
A
S MOA
S сектора
1
OA MB
2
1
1 sin x
2
1
sin x
2
1
1
OA A M 1 x x
2
2
2
1
MOA
S COA
1
2
OA AC
1
2
1 tan x
1
2
tan x
S MOA S сектора
M
1
x
B
S COA
C
1
0
MOA
A
sin x
2
1
x
2
1
tan x
2
sin x x tan x
1
1
x
1
sin x
cos x
sin x
cos x
x
: sin x
2
sin x
1
cos x
x
M
C
1
x
0
B
A
lim cos x 1,
lim 1 1
x 0
x 0
На основании теоремы о пределах (7) lim
x 0
sin x
x
1
Вычисление пределов функций
1) Вычислить lim
lim
x 0
x
lim
x 0
1
lim
x 0
1
x
tan x
x 0
tan x
sin x
x
tan x lim
1
x 0
x
lim
x 0
sin x
x
sin x
x cos x
lim
x 0
1
cos x
1 1 1
Вычисление пределов функций
2) Вычислить
lim
x 0
5
4
5x
lim
x 0
x 0
4x
sin 4 x
5
4
x 0
4x
5 lim
sin 4 x
lim
x
sin 4 x
x
x 0
sin 4 x
x 0
1
5x
lim
5 lim
lim
sin x
1
sin 4 x
4x
x 0
4 sin 4 x
5
1
4
lim
x 0
5 1 5
sin 4 x
4 1 4
4x
x
II. Второй замечательный предел
1
lim 1 e
x
x
• Теорема 1.
Переменная величина
1
1
n
n
при n→∞
имеет предел, заключенный между 2 и 3.
n
1
2 1 3
n
• Определение.
Предел переменной величины
n→∞ называется числом е:
1
1
n
n
при
1
e lim 1
n
n
Из теоремы 1 и определения следует, что
n
2 e3
Число е- иррациональное : е=2,7182818284…
• Теорема 2.
Функция
1
1
x
равный числу е.
x
при х→∞ имеет предел,
x
1
lim 1 e
x
x
x
1
lim 1 e
x
x
Доказательство:
• 1) пусть х→+∞
n x n 1
1
n
1
1
x
1
1
n 1
1
n
1
1
n
1
x
n 1
1
1
n 1
x
1
1
1 1
x
n 1
n
Если х→∞ , то и n→∞.
1
lim 1
n
n
n 1
n
1
1
lim 1 1
n
n
n
n
1
1
lim 1 lim 1 e 1 e
n
n n
n
1
1
n
1
n 1
lim 1
lim
n
n
1
n 1
1
n 1
n 1
n 1
1
lim 1
n
n 1
1
lim 1
n
n 1
e
1
e
1
lim 1
x
x
На основании теоремы о пределах (7):
x
e
2) пусть х→-∞.
Введем
t x 1
При t→+∞ ,будет х→-∞.
x
1
1
lim 1 lim 1
x
t
x
t 1
t 1
lim
t
t
t 1
1
lim 1
t
t
x t 1
t 1
t 1
t
lim
t t 1
t
t 1
1
1
lim 1 1 e 1 e
t
t
t
Теорема доказана.
y
1
y 1
x
e
1
-1
0
x
x
x
1
lim 1 e
x
x
• Если
1
, то при х→∞ имеем α→0 .
x
Тогда
lim 1
0
1
e
Вычисление пределов функций
1) Вычислить
1
lim 1
x
x
3x
1
lim 1
x
x
x
1
lim 1 e
x
x
3x
3
3
1
1
3
lim 1 lim 1 e
x
x
x
x
x
x
Вычисление пределов функций
2) Вычислить
2
lim 1
x
x
x
1
lim 1 e
x
x
x
пусть х=2t, тогда
2
lim 1
x
x
x
1
lim 1
t
t
2t
1
lim 1
t
t
t
2
e
2
Экспонента (exponential function) y e
•
•
•
•
механика (теория колебаний)
электротехника
радиотехника
радиохимия и т.д.
x
Непрерывность функции.
x, x 3
y f ( x)
x 2, x 3
Пример 1.
y
6
5
если х→1, то f(x)→f(1)=1
3
1
0
1
3 4
x
если х→4, то f(x)→f(4)=6
если х→3?
если х→3-, то f(x)→3
если х→3+, то f(x)→5
Функция в точке х=3 претерпевает разрыв.
y f ( x) x
Пример 2.
2
y
9
если х→3-, то f(x)→f(3)=9
если х→3+, то f(x)→f(3)=9
0
3
x
lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) 9 f ( 3 )
x 3
x 3
Функция f(x) в точке х=3 непрерывна.
x 3
Определение 1.
• Функция f(x) называется непрерывной в
точке х0, если lim f ( x ) f ( x 0 )
x x0
(функция непрерывна в точке х0, если предел
функции при х→х0 равен значению функции от
предела аргумента).
Если равенство не выполняется, то говорят,
что функция f(x) в точке х=х0 имеет разрыв.
Исследовать данную функцию на непрерывность
1 x, x 0
f ( x ) 0, 0 x 2
x 2, x 2
Для х1=0:
1 x 1
x 0
x 0
lim f ( x ) lim 0 0
x 0
x 0
lim f ( x ) lim
lim f ( x ) lim f ( x )
x 0
x 0
lim f ( x )
x 0
Функция f(x) в точке х1=0 имеет разрыв.
не
существует
1 x, x 0
f ( x ) 0, 0 x 2
x 2, x 2
Для х2=2:
lim f ( x ) lim 0 0
lim f ( x ) lim x 2 0
x 2
x 2
x 2-
x 2
f ( x 0 ) f (2) 0
т.е.
lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) 0
x 2
x 2
lim f ( x ) f ( x 0 )
x x0
Функция f(x) в точке х2=2 непрерывна.
x 2
1 x, x 0
f ( x ) 0, 0 x 2
x 2, x 2
y
1
0
2
x
lim f ( x ) f ( x 0 )
x x0
так как
то
x 0 lim x
x x0
,
lim f ( x ) f ( lim x )
x x0
x x0
Если
функция непрерывна, то при отыскании её
предела можно вместо аргумента подставить его
предельное значение.
lim f ( x ) f ( lim x )
x x0
Вычислить предел функции:
lim
x 0
ln 1 x
x
lim
x 0
x x0
ln 1 x
x
1
lim
x 0
1
x
ln 1 x lim ln 1 x
x 0
1
x
ln lim 1 x
x 0
x
ln e 1
Определение 2.
• Функция f(x) называется непрерывной, если
бесконечно
малому
приращению
аргумента
отвечает бесконечно малое же приращение функции
lim y 0
y
x 0
y=f(x)
f(x)=f(x0+Δx)
Δy
x x x0
приращение аргумента
f(x0)
0
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 )
Δx
x0
x=x0+Δx x
приращение функции
Сравнение бесконечно малых.
Пусть при х→х0 функции α(х)→0 и β(х)→0.
Тогда:
1) если
lim
x x0
бесконечно
чем β(х).
( x)
( x)
0
, то α(х) называется
малой более высокого порядка,
(α(х) имеет более высокий порядок малости,
чем β(х))
пример.
Пусть
( x) x ,
n
lim
x 0
( x)
(x)
lim
x 0
( x) x,
x
n 1,
x 0
n
x
α(х) есть бесконечно
порядка, чем β(х).
lim x
x 0
n 1
0
малая более высокого
2) если
lim
x x0
( x)
( x)
a 0
a R
, то α(х) и β(х)
называются бесконечно малыми одного порядка .
Пример.
Функции sin3x и sinx являются при х→0
бесконечно малыми одного порядка, т.к.
lim
x 0
sin 3 x
sin x
lim
x 0
3 x sin 3 x
3 x sin x
3 lim
x 0
sin 3 x
3x
lim
x 0
x
sin x
3
3) если
lim
x x0
( x)
( x)
1
, то α(х) и β(х) называются
эквивалентными бесконечно малыми. (α(х)∽ β(х))
Пример.
Функции sinx
и x являются при х→0
эквивалентными бесконечно малыми (sinx∽x) ,
т.к.
lim
x 0
sin x
x
1
Пример.
Функции ln(1+x) и x являются при х→0
эквивалентными
бесконечно
малыми
(ln(1+x)∽x) , т.к.
lim
x 0
ln 1 x
x
1
lim
x 0
1
x
ln 1 x lim ln 1 x
x
x 0
1
x
ln lim 1 x
x 0
ln e 1
4) если
lim
x x0
( x)
( x)
n
, то α(х) называется
a 0
бесконечно малой n-го порядка относительно β(х)
Пример.
Функция 1-cosx является при х→0 бесконечно
малой второго порядка малости по отношению
к бесконечно малой x , т.к.
lim
x 0
1 cos x
x
2
2
2 sin
lim
x 0
x
2
x
sin
1
2 lim
2
2 x 0 x
2
x
2
1
2
Для бесконечно больших функций имеют
место аналогичные правила сравнения.
Пример.
Функция ( x ) x 2 4
является при х→∞
бесконечно большой более низкого порядка, чем
3
, т.к.
( x) x 2
lim
x
(x)
( x)
x 4
1
2
lim
x
x 2
3
lim
x
x
4
2
1
x
lim
0
x x
2
x
2
Примеры эквивалентных бесконечно
малых функций:.
sin x ~ x
ln(1+x) ~ x
tan x ~ x
e x-1 ~ x
arcsin x ~ x
a x-1 ~ x lna
arctan x ~ x
1-cos x ~ x2/2
Найти предел, используя эквивалентные
бесконечно малые функции:
1)
lim
ln 1 x
x 0
x
x
e
1
e 1
lim
x 0 arctan 3 x
arctan x
2x
2)
ln 1 x
x lim
x 0
x
x
lim 1 1
x 0
x
2x
2
2
lim
lim
x 0 3
3
x x 0 3 x