Transcript pps

Предел и непрерывность
функции.
Замечательные пределы.
I. Первый замечательный предел
lim
x 0
sin x
1
x
Доказательство:
Обозначим
M
x
B
0 x
2
C
1
0
 MOB  x ,

A
S  MOA  S сектора
MOA
 S  COA
S  MOA  S сектора
M
MOA
 S  COA
C
1
x
0
B
A
S  MOA 
S сектора
1
 OA  MB 
2
1
 1  sin x 
2
1
sin x
2

1
1
  OA  A M   1  x  x
2
2
2
1
MOA
S  COA 
1
2
 OA  AC 
1
2
 1  tan x 
1
2
tan x
S  MOA  S сектора
M
1
x
B
 S  COA
C
1
0
MOA
A
sin x 
2
1
x
2
1
tan x
2
sin x  x  tan x
1
1
x

1
sin x
cos x
sin x
 cos x
x
: sin x
2
sin x
1
 cos x
x
M
C
1
x
0
B
A
lim cos x  1,
lim 1  1
x 0
x 0
На основании теоремы о пределах (7) lim
x 0
sin x
x
1
Вычисление пределов функций
1) Вычислить lim
lim
x 0
x
 lim
x 0
1
lim
x 0
1
x
tan x
x 0
tan x
sin x
x
 tan x  lim
1
x 0
x
 lim
x 0
sin x
x

sin x

x cos x
 lim
x 0
1
cos x
 1 1  1
Вычисление пределов функций
2) Вычислить
lim
x 0

5
4
5x
 lim
x 0
x 0
4x
sin 4 x

5
4
x 0
4x
 5  lim
sin 4 x
 lim
x
sin 4 x
x
x 0
sin 4 x
x 0
1
5x
lim
 5  lim
lim
sin x
1
sin 4 x
4x

x 0
4  sin 4 x
5
1
4

lim
x 0

5 1 5
  
sin 4 x
4 1 4
4x
x
II. Второй замечательный предел
1

lim  1    e
x 
x

• Теорема 1.
Переменная величина
1

1  
n

n
при n→∞
имеет предел, заключенный между 2 и 3.
n
1

2  1    3
n

• Определение.
Предел переменной величины
n→∞ называется числом е:
1

1  
n

n
при
1

e  lim  1  
n 
n

Из теоремы 1 и определения следует, что
n
2 e3
Число е- иррациональное : е=2,7182818284…
• Теорема 2.
Функция
1

1  
x

равный числу е.
x
при х→∞ имеет предел,
x
1

lim  1    e
x 
x

x
1

lim  1    e
x 
x

Доказательство:
• 1) пусть х→+∞
n  x  n 1
1

n
1
1

x
1
1
n 1
1
n
1

1  
n

1
x
n 1
1
1
n 1
x
1
1 


 1    1 

x
n 1


n
Если х→∞ , то и n→∞.
1

lim  1  
n  
n

n 1
n
1 
1

 lim  1    1   
n  
n 
n

n
1
1


 lim  1    lim  1    e  1  e
n  
n  n   
n

1 

1



n
1 
n 1


lim  1 
  lim
n  
n  
1
n 1

1
n 1
n 1
n 1
1 

lim  1 

n  
n 1


1 

lim  1 

n  
n 1


e
1
e
1

lim  1  
x  
x

На основании теоремы о пределах (7):
x
 e
2) пусть х→-∞.
Введем
t    x  1 
При t→+∞ ,будет х→-∞.
x
1
1 


lim  1    lim  1 

x  
t


x
t 1


 t 1
 lim 

t  
 t 
t 1
1

 lim  1  
t  
t

x   t  1 
 t 1
t 1
 t 
 lim 

t   t  1


t
 t 1

1 
1

 lim  1    1    e  1  e
t  
t 
t

Теорема доказана.
y
1

y 1  
x

e
1
-1
0
x
x
x
1

lim  1    e
x 
x

• Если
1

, то при х→∞ имеем α→0 .
x
Тогда
lim 1  
 0
1

 e
Вычисление пределов функций
1) Вычислить
1

lim  1  
x 
x

3x
1

lim  1  
x 
x

x
1

lim  1    e
x 
x

3x
3
3


1 
1 

3
 lim   1      lim  1     e

 x 

x 
x
x







x
x
Вычисление пределов функций
2) Вычислить
2

lim  1  
x 
x

x
1

lim  1    e
x 
x

x
пусть х=2t, тогда
2

lim  1  
x 
x

x
1

 lim  1  
t 
t

2t

1 
 lim   1   

t  
t




t
2
 e
2
Экспонента (exponential function) y  e
•
•
•
•
механика (теория колебаний)
электротехника
радиотехника
радиохимия и т.д.
x
Непрерывность функции.
 x, x  3
y  f ( x)  
 x  2, x  3
Пример 1.
y
6
5
если х→1, то f(x)→f(1)=1
3
1
0
1
3 4
x
если х→4, то f(x)→f(4)=6
если х→3?
если х→3-, то f(x)→3
если х→3+, то f(x)→5
Функция в точке х=3 претерпевает разрыв.
y  f ( x)  x
Пример 2.
2
y
9
если х→3-, то f(x)→f(3)=9
если х→3+, то f(x)→f(3)=9
0
3
x
lim f ( x )  lim f ( x )  lim f ( x )  9  f ( 3 )
x  3
x  3
Функция f(x) в точке х=3 непрерывна.
x 3
Определение 1.
• Функция f(x) называется непрерывной в
точке х0, если lim f ( x )  f ( x 0 )
x  x0
(функция непрерывна в точке х0, если предел
функции при х→х0 равен значению функции от
предела аргумента).
Если равенство не выполняется, то говорят,
что функция f(x) в точке х=х0 имеет разрыв.
Исследовать данную функцию на непрерывность
 1 x, x  0

f ( x )   0, 0  x  2
 x  2, x  2

Для х1=0:
1  x  1

x 0
x 0

lim f ( x )  lim 0  0

x 0
x 0

lim f ( x )  lim

lim f ( x )  lim f ( x )
x 0

x 0
lim f ( x )
x 0
Функция f(x) в точке х1=0 имеет разрыв.
не
существует
 1 x, x  0

f ( x )   0, 0  x  2
 x  2, x  2

Для х2=2:
lim f ( x )  lim 0  0



lim f ( x )  lim  x  2   0 
x 2
x 2

x  2-
x 2
f ( x 0 )  f (2)  0

т.е.
lim f ( x )  lim f ( x )  lim f ( x )  0
x 2
x 2
lim f ( x )  f ( x 0 )
x  x0
Функция f(x) в точке х2=2 непрерывна.
x 2
 1 x, x  0

f ( x )   0, 0  x  2
 x  2, x  2

y
1
0
2
x
lim f ( x )  f ( x 0 )
x  x0
так как
то
x 0  lim x
x  x0
,
lim f ( x )  f ( lim x )
x  x0
x  x0
Если
функция непрерывна, то при отыскании её
предела можно вместо аргумента подставить его
предельное значение.
lim f ( x )  f ( lim x )
x  x0
Вычислить предел функции:
lim
x 0
ln 1  x 
x
lim
x 0
x  x0
ln 1  x 
x
1
 lim
x 0
1
x
 ln 1  x   lim ln 1  x 
x 0
1

x

 ln  lim 1  x 
 x 0

x



  ln e  1


Определение 2.
• Функция f(x) называется непрерывной, если
бесконечно
малому
приращению
аргумента
отвечает бесконечно малое же приращение функции
lim  y  0
y
x  0
y=f(x)
f(x)=f(x0+Δx)
Δy
x  x  x0
приращение аргумента
f(x0)
0
y  f ( x)  f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 )
Δx
x0
x=x0+Δx x
приращение функции
Сравнение бесконечно малых.
Пусть при х→х0 функции α(х)→0 и β(х)→0.
Тогда:
1) если
lim
x  x0
бесконечно
чем β(х).
 ( x)
 ( x)
0
, то α(х) называется
малой более высокого порядка,
(α(х) имеет более высокий порядок малости,
чем β(х))
пример.
Пусть
 ( x)  x ,
n
lim
x 0
 ( x)
 (x)
 lim
x 0
 ( x)  x,
x
n  1,
x 0
n
x
α(х) есть бесконечно
порядка, чем β(х).
 lim x
x 0
n 1
 0
малая более высокого
2) если
lim
x  x0
 ( x)
 ( x)
 a  0
a  R 
, то α(х) и β(х)
называются бесконечно малыми одного порядка .
Пример.
Функции sin3x и sinx являются при х→0
бесконечно малыми одного порядка, т.к.
lim
x 0
sin 3 x
sin x
 lim
x 0
3 x  sin 3 x
3 x  sin x
 3  lim
x 0
sin 3 x
3x
 lim
x 0
x
sin x
3
3) если
lim
x  x0
 ( x)
 ( x)
1
, то α(х) и β(х) называются
эквивалентными бесконечно малыми. (α(х)∽ β(х))
Пример.
Функции sinx
и x являются при х→0
эквивалентными бесконечно малыми (sinx∽x) ,
т.к.
lim
x 0
sin x
x
1
Пример.
Функции ln(1+x) и x являются при х→0
эквивалентными
бесконечно
малыми
(ln(1+x)∽x) , т.к.
lim
x 0
ln 1  x 
x
1
 lim
x 0
1
x
 ln 1  x   lim ln 1  x 
x
x 0
1

x

 ln  lim 1  x 
 x 0




  ln e  1


4) если
lim
x  x0
 ( x)
 ( x)
n
, то α(х) называется
 a  0
бесконечно малой n-го порядка относительно β(х)
Пример.
Функция 1-cosx является при х→0 бесконечно
малой второго порядка малости по отношению
к бесконечно малой x , т.к.
lim
x 0
1  cos x
x
2
2
2 sin
 lim
x 0
x
2
x

 sin
1
2   lim 
2
2 x 0  x

 2
x
2


1
 
2



Для бесконечно больших функций имеют
место аналогичные правила сравнения.
Пример.
Функция  ( x )  x 2  4
является при х→∞
бесконечно большой более низкого порядка, чем
3
, т.к.
 ( x)  x  2
lim
x 
 (x)
 ( x)
x 4
1
2
 lim
x 
x 2
3
 lim
x 
x
4
2
1
x
 lim
 0
x  x
2
x
2
Примеры эквивалентных бесконечно
малых функций:.
sin x ~ x
ln(1+x) ~ x
tan x ~ x
e x-1 ~ x
arcsin x ~ x
a x-1 ~ x lna
arctan x ~ x
1-cos x ~ x2/2
Найти предел, используя эквивалентные
бесконечно малые функции:
1)
lim
ln 1  x 
x 0
x
x

e
1
e 1
lim
 
x  0 arctan 3 x
 arctan x
2x
2)
 ln 1  x 
x   lim
x 0
x
x
 lim 1  1
x 0
x 
2x
2
2
 lim

  lim
x 0 3
3
x  x 0 3 x