Transcript Предел и непрерывность функции. Бесконечно малая и бесконечно большие величины. • Переменная величина α называется бесконечно малой, если она изменяется так, что какое бы малое.

Предел и непрерывность
функции.
Бесконечно малая и бесконечно большие
величины.
• Переменная величина α называется бесконечно малой, если
она изменяется так, что какое бы малое положительное число
ℰ ни взято , ∣α∣ становится и при дальнейшем изменении
величины α остается меньше ℰ.
α→0
1
1
1
1
 :  1;  ;  ;  ;  ;...
2
3
4
5
-1
0
или
 : 1;
1
1 1
;
;
2 3
1 1
;
;...
4 5
• Переменная величина у называется бесконечно большой,
если она изменяется так, что какое бы большое
положительное число N ни взято , ∣у∣ становится и при
дальнейшем изменении величины у остается больше N.
у→∞
или
y :  2;  4;  6;  8; ...
0
y : 2; 4; 6; 8; ...
Связь между бесконечно малой и
бесконечно большой величины.
1) если
2) если
y
y
0
1
x
x
y
 0
, то
, то
1
0
y
1


пример:
1) y : 1, 10, 100, 1000, ...  , тогда
1
: 1 0,1 0,01 0,001 ...  0
y
2)  : 1 0,1 0,01 0,001 ...  0 , тогда
1

: 1, 10, 100 , 1000 , ...  
Предел переменной
x : 3,1 3,01 3,001 3,0001 ...  3
x  3 : 0,1 0,01 0,001 0,0001 ...  0
Число 3 называется пределом переменной х:
lim x  3
или
x3
• Постоянная а называется пределом переменной
х, если разность между ними есть бесконечно
малая величина α, т.е
lim x  a
, если
x a  
lim  0
lim y  
или
xa 0
Предел функции
y  x 4
2
x : 3,1 3,01 3,001 3,0001 ...  3
y : 5,6 5,06 5,006 5,0006 ...  5


lim x 2  4  5
x 3
• Определение «на языке последовательности»
Число а называется пределом функции f(x) в
точке х=х0, если для всех значений х,
достаточно близких к х0 (х→х0) и отличных от
х0 (х≠х0), значение функции f(x) сколь угодно
мало отличается от числа а (f(x)→а), т.е
lim f ( x)  a
x  x0
или
f ( x)  a
при
x  x0
Односторонние пределы.
Пределы функций при х→х0- и х→х0+
Определение «на языке последовательности»:
если f(x) стремится к пределу а при х→х0 так, что
х принимает только значения, меньшие х0, то
предел а называют пределом функции f(x) в точке
х0 слева (или левым пределом) и пишут
lim f ( x)  a
x  x0 
Определение «на языке последовательности»:
если f(x) стремится к пределу а при х→х0 так, что
х принимает только значения, большие чем х0, то
предел а называют пределом функции f(x) в точке
х0 справа (или правым пределом) и пишут
lim f ( x)  a
x  x0 
 1, x  0

y  sgn x   0, x  0
 1, x  0

Пример.
у
1
0
→
lim sgn x  1
←
-1
x 0 
х
lim sgn x  1
x 0 
Связь между односторонними пределами.
Теорема. Функция f(x) имеет в точке х0 предел а
тогда и только тогда, когда в этой точке
существуют как правый так и левый пределы и
они равны. В этом случае предел функции равен
односторонним пределам:
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)  a
x  x0 
x  x0 
x  x0
Доказать, что функция
не имеет предела.


x 0 
x 0 
 
lim f ( x)  lim x  1  1
x 0 
x 0 

lim f ( x)  lim x 2  0
 x2 , x  0
f ( x)  
 x  1, x  0
в точке х=0
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)
x 0 
x 0 
x 0
не существует
у
←
→
1
0
x
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)  a
x  x0 
x  x0 
x  x0
Доказать, что функция
имеет предел.
lim f ( x)  lim x  0


 
lim f ( x)  lim sin x  0
x 0
x 0

x 0
x 0
 x, x  0
f ( x)  
sin x, x  0
в точке х=0
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)  0
x 0
x 0
x 0
существует
y
0
→
←
x
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)  a
x  x0 
x  x0 
x  x0
Пределы функций при х→∞, х→ - ∞ и х→+∞
Определение «на языке последовательности»:
число а называется пределом функции f(x) при
х→∞, если для всех значений х бесконечно
большой последовательности значения функции
f(x) сколь угодно мало отличаются от а (f(x) →а)
и пишут
lim f ( x)  a
x 
Определение «на языке последовательности»:
число а называется пределом функции f(x) при
х→+∞ (х→-∞), если для всех значений х
бесконечно
большой
последовательности,
элементы
которой
положительны
(отрицательны), значения функции f(x) сколь
угодно мало отличаются от числа а (f(x) →а)
и пишут
lim f ( x)  a
x  
( lim f ( x)  a )
x  
f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)  a
Справедлива теорема xlim
 
x  
x 
Доказать, что функция
f ( x) 
1
x
при х→∞ имеет предел.
1

 0
x  
x   x

f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)  0
  xlim


x  
x 
1

lim f ( x)  lim  0

x  
x   x
существует
у
lim f ( x)  lim
0
←
→
x
Бесконечно малые и бесконечно большие
функции.
• Функция α=α(х) называется бесконечно малой
функцией (или просто бесконечно малой) в точке х0 (или
при х→х0), если
lim  ( x)  0
x  x0
Аналогично определяются бесконечно малые функции
при х→х0- , х→х0+, х→-∞, х→+∞, х→∞.
Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что
и бесконечно малая переменная величина.
Пример:
1
• 1) функция f ( x)  x  1
есть бесконечно малая при
х→1, т.к
2
lim f ( x)  limx  1  0
• 2) функция g ( x ) 
x
есть бесконечно малая
при х→∞, т.к
1
lim g ( x)  lim  0
x 
x  x
2
x 1
x 1
g(x)
y
0
0
1
x
x
• Функция f(x) называется бесконечно большой
функцией (или просто бесконечно большой) в точке
х=х0 (или при х→х0), если
lim f ( x)  
x  x0
Аналогично определяются бесконечно большие функции при
х→х0- , х→х0+, х→-∞, х→+∞, х→∞.
Если f(x) стремится к бесконечности при х→х0 и при этом
принимает только положительные или только отрицательные
значения, соответственно пишут
lim f ( x)  
x  x0
lim f ( x)  
x  x0
Замечание. Функция y=f(x) при х→х0 или при х→∞
может не стремиться к конечному пределу или к
бесконечности.
• Пример.
Функция y=sinx, определенная на всем
числовом интервале, при х→∞ не стремится ни к
конечному пределу, ни к бесконечности.
Основные теоремы о пределах
1) lim C  C, C  const
2) lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
3) lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
4) lim C  f ( x)  C  lim f ( x)
f ( x) lim f ( x)
5) lim

, lim g ( x)  0
g ( x) lim g ( x)
6) lim f ( x)  lim f ( x)
n
n
Основные теоремы о пределах
7) Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в
некоторой окрестности точки х0, за исключением
может быть самой точки х0, и функции f(x) и h(x)
имеют в точке х0 предел, равный а, т.е.
lim f ( x)  lim h( x)  a
x  x0
x  x0
Пусть, кроме того, выполняется неравенство:
f ( x)  g ( x)  h( x)
Тогда
lim g ( x)  a
x  x0
I.Вычисление пределов функций.


lim 9 x 2  6 x  8
1) Вычислить
x 1


lim 9 x 2  6 x  8  lim 9 x 2  lim 6 x  lim 8  9 lim x 2  6 lim x  8 
x 1
 
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
 9 lim x  6 lim x  8  9  12  6  1  8  9  6  8  11
2
x 1
x 1
x 2  3x
lim
x 2 2 x  1
Вычислить
2)
убедимся, что предел знаменателя отличен от 0:
lim2 x  1  2 lim x  lim1  2  2  1  5
x 2
x 2
x 2
тогда применима теорема о пределе дроби:


 
x  3x
lim x  3 lim x 2 2  3  2 10
x  3x lim
x 2
lim
 x 2
 x 2


2
x 2 2 x  1
lim2 x  1
2 lim x  lim1
2  2 1
5
2
x 2
2
2
x 2
x 2
II. Вычисление пределов функций.
Предел знаменателя равен 0.
3)
Вычислить
lim3 x  12   0
x4
5
x  4 3 x  12
lim
⇒
(3х-12) есть бесконечно
малая величина, а обратная ей величина есть
бесконечно большая.
5
1
lim
 5  lim
 5  
x  4 3 x  12
x  4 3 x  12
4) Вычислить
x 2  5x  6
lim
x 2  x 2  3 x  2

x 2  5x  6  0 
x  3x  2
x3 23
lim 2
    lim
 lim

1
x 2  x  3 x  2
x

2
x

2
 x  2x  1
1 x 1 2
0
0
 
0
неопределённость
5) Вычислить
lim
x 12
 lim
x 12
x4 4
lim
x 12
x  12
x  4 4 0
    lim
x  12
 0  x12
x  4  16
x  12
1
x44


x4 4
x  12
 lim
1
x 12

x44


x  12
x  12
1
 lim


x 12
x44
12  4  4 8
x44
x44


III. Вычисление пределов функций.
Предел функции при х→∞.
6)
Вычислить
2
lim
x 4 x  3
(4х+3) при х→∞ есть бесконечно большая величина,
а обратная ей величина есть
малая.
1
4x  3
бесконечно
2
1
lim
 2  lim
 20  0
x  4 x  3
x  4 x  3
7) Вычислить
x 2  5x  6
lim 2
x  2 x  6 x  8
 x 2 5x 6 
5 6


x


1

 2
2
2
2 

2
x
x
x
x  5x  6   
  lim
x x 
lim 2
    lim  2
x  2 x  6 x  8
6 x 8  x  2  6  8
   x  2  2 x
x  2  2  2 
2
x
x
x
x 
 x
2
5
6
1
1
lim1  lim  lim 2
lim1  5  lim  6  lim 2
x 
x  x
x  x
x 
x  x
x  x
1 0  0 1




6
8
1
1
200 2
lim 2  lim  lim 2 lim 2  6  lim  8  lim 2
x 
x  x
x  x
x 
x  x
x  x

 
Для раскрытия неопределенности вида

числитель и знаменатель дроби надо делить на
старшую степень х.