Transcript n - E-DNRS

Въпрос 18
Факторът “Време” в
инвестиционния анализ.
Бъдеща и настояща
стойност на еднократни
суми и на серия от
еднакви суми
Бъдещи стойности
Изчисляването на бъдещи стойности е
необходимо при търсене на отговор на редица
въпроси:
• С колко ще нарасне инвестираният сега
капитал към определен момент в бъдеще?
• Дали инвестициите в други активи няма да
осигурят по-голям прираст?
• Дали доход от инвестициите е достатъчен за да
покрие плащанията по получения заем за
инвестиране?
Изчисляване на бъдещи
стойности
• процес на сложно олихвяване, т.е.
изчисляване на нарасналата стойност на
една инвестиция при допускането, че и
лихвата, начислена в предходния период,
също носи лихва
• междинните доходи от началните
инвестиции се реинвестират за да
донесат доход при същата норма на
доходност
Бъдеща стойност на единична
инвестиция
FV = Co.(1+r)n,
където:
FV е бъдещата стойност на еднократната
инвестиция след n години, лв.
Со - инвестирана сума в настоящия момент, лв.
r - норма на доходност на алтернативни
инвестиции за периода, процент представен
като част от 1,0
n - брой години през периода на сложно
олихвяване
Фактор (коефициент) за сложно
олихвяване FVIFr,n
Изразът (1+r)n
е известен като фактор (коефициент) за сложно
олихвяване или сложнолихвен фактор.
Стойностите на този фактор за различни
комбинации на r и n могат да се намерят в
съответните приложения на икономическата
литература
Стойностите на фактора се интерпретират като
бъдещи стойности на 1 лв. в края на период,
съставен от n интервала
Бъдещи стойности при използуване на
периоди, по-малки от година
Нарастването на първоначалната
инвестиция може да се изчислява не само
годишно, но и:
• на шестмесечие
• тримесечие
• месечно и т.н.
Изчисляване на бъдеща стойност
за период от една година
m
r

FV = C o . 1   ,
 m
където:
 Со е първоначалната инвестиция, лв;
 r - обявеният номинален годишен
лихвен процент, част от 1,0
 m - честота на олихвяванията през
една година, броя
Изчисляване на бъдеща стойност
за период от n година
mn
r

FV = C o . 1   ,
 m
където:
 n е броя на годините, за които се
изчислява бъдещата стойност
Изчисляване на действителния
годишен лихвен процент (i)
m
r 

i =  1+   1
 m
Номинални и действителни
лихвени проценти
Номинален
годишен
процент
Годишно
олихвяване
(m=1)
Действителен годишен процент
Олихвяване Олихвяване
Месечно
на 6 месеца на тримесечие
олихвяване
(m=2)
(m=4)
(m=12)
8
8
8,16
8,24
8,30
10
10
10,25
10,38
10,43
12
12
12,36
12,55
12,68
Непрекъснато олихвяване
Някои банки и фирми могат да въведат плащания и
на основата на непрекъснато олихвяване.
Тогава приемаме, че m клони към безкрайност,
m
r
тогава изразът

1+ 
 m
клони към 2,718 . r
(2,718 е основа на натуралните логаритми)
Непрекъснато олихвяване
(продължение)
Общата формула за бъдеща стойност на
еднократна инвестиция при непрекъснато
олихвяване в продължение на n години е:
rn
FVn  C0 .e
където:
е е основа на натуралните логаритми
r - приетия процент за непрекъснато
олихвяване
Изчисляване на настоящи
стойности (PV)
• Процес на дисконтиране на бъдещи парични
постъпления, т.е. установяване ценността им за
инвеститора в сегашния момент
• Въпросът се свежда до определяне величината
на отбива от номиналните стойности в бъдеще
така, че да се отрази различната цена на парите
във времето
• Величината на отбива зависи и от нормата на
доходност, която би постигнал инвеститора ако
разполагаше сега със "замразените"
инвестиции и ги насочеше към алтернативни
направления.
Изчисляване на настоящи
стойности (PV) (продължение)
При изчисляване на настоящи стойности е
необходима информация за:
• величината на паричната сума или на
паричните суми
• момента в бъдещето, в който тези суми
се появяват
• нормата на доходност на алтернативните
инвестиции
Изчисляване на настоящата стойност
на платена или получена единична
парична сума след n години
PV =
Cn
1+ r 
n
,
където:
Cn е сумата, която се очаква да се получи
или изплати след n години, лв;
n - индекс на годината, като се брои от сега
нататък, в която ще се появи сумата С
Фактор за дисконтиране
(PVIFr,n)
Изразът
 1 

n 
 1+ r  
се нарича “фактор за дисконтиране”.
Стойностите на PVIF за различни
комбинации на r и n могат да се
намерят в специализирани таблици
Постоянният безкраен поток от
парични суми (perpetuity)


Постоянният безкраен поток от парични суми
(perpetuity) означава, че всяка година се
изплаща или получава една и съща сума без
условие за ограничаване на периода, за който
е поето това задължение.
Настоящата стойност на такъв поток се
изчислява по формулата:
C
C
C
PV =


.....,
2
3
1+ r 1  r 
1  r 
• Този израз представлява намаляваща
геометрична прогресия.
• Известно е, че, геометричната прогресия
съдържа безкраен брой членове, но
сумата им е определена, понеже
стойността на всеки член е част от
стойността на предходния член
Изчисляване на настояща
стойност на перпетюитет
C
PV =
r
където:
 С е постоянна сума, изплащана или
получавана всяка година, лв;
 r - норма от доходност, част от 1,0.
Настояща стойност на
нарастващ перпетюитет
В някои случаи се допуска, че паричната
сума С ще расте всяка година с
определен темп g
Изчисляване на настояща
стойност на нарастващ
перпетюитет

Настоящата стойност на такъв безкраен
поток от растящи парични суми (growing
perpetuity) се представя с израза:
C
C.1  g C.1  g
C.1  g
PV =


 ...
2
3
n
1+ r 1  r 
1 r 
1 r 
2
n 1
 ...
Изчисляване на настояща стойност
на нарастващ перпетюитет
(продължение)
Чрез математически преобразувания този
израз се опростява до следната формула:
C
PV =
r-g
където:
С е паричната сума, която се очаква да се
получи след една година от настоящия
момент, лв.
g - темп на растеж, част от 1,0
Изчисляване на настояща стойност на
нарастващ перпетюитет (продължение)
Използуването на формулата е коректно при
следните допускания:
• настоящата стойност е определена само ако
нормата на доходност r е по-голяма от темпа
на растеж g
• в) всяка сума С се получава или изплаща в
края на съответната година
Настояща стойност на анюитет
• Под анюитет (annuity) обикновено се разбира
поток от равни парични суми, които ще бъдат
получавани или плащани в продължение на
определен брой години
• В практиката се срещат много примери на
такива потоци:
• лизингови вноски
• пенсии
• плащания по дългосрочни заеми
Настояща стойност на анюитет
(продължение)
Да се изчисли настоящата стойност на
серия от по 250 лв., получавани в
края на всяка от следващите 6
години, при процент на дисконтиране
6%
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
t0
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
8
…..
Настояща стойност на анюитет
(продължение)
• Търсената стойност ще се изчисли като
разлика между настоящата стойност на
два парични потока:
• 1. Перпетюитет в края на периода, с
първа сума, получена в t1
• 2. Перпетюитет в края на периода, с
първа сума, получена в t7
Настояща стойност на анюитет
(продължение)

Настоящата стойност и на двата парични
потока може да се изчисли по формулата:
C
PV =
r

Настоящата стойност на втория паричен
поток трябва допълнително да се осъвремени
от t6 до t0
Настояща стойност на анюитет
(продължение)
В резултат се получава изразът:
C C 1 

PV =  
n 
r r  1  r  
След преобразувания се получава:
1
1 

PV = Ñ 
n 
 r r 1  r  
Настояща стойност на анюитет
(продължение)
Изразът в големите скоби е известен като
дисконтов анюитетен фактор (PVIFAm)
1
1
PVIFA m =  
n
 r r 1  r 


