« La géométrie dynamique à l'école primaire, pourquoi faire bouger les points ? »

Sophie Soury-Lavergne

Qu’est-ce que la géométrie dynamique ?

 Un exemple pour commencer :

Qu’est-ce que la géométrie dynamique ?

 Une technologie qui a maintenant 25 ans,

Cabri

géomètre   Utilisée « massivement » dans l’enseignement secondaire, requise par les programmes Depuis les années 2000, des usages innovants dans le primaire et des projets de recherche pour identifier les apports de la géométrie dynamique à l’enseignement et à l’apprentissage des mathématiques  En 2006, introduction dans les concours PE

Une vidéo de classe    Soleymieux Classe de CM1-CM2 6 ème séance

Une « boîte noire »      Le problème proposé aux élèves est une « boîte noire », un problème propre à la géométrie dynamique La première analyse de la figure par les élèves porte sur des caractéristiques telles que s’agrandir, rapetisser, qui n’en permettent pas la reconstruction Les élèves se focalisent sur la présence ou l’absence d’objets La reconstruction nécessite l’explicitation, pour le logiciel, de relations géométriques entre objets La mise en commun en classe nécessite l’explicitation du processus de construction et des objets en jeu

Le milieu, différence entre papier crayon et géométrie dynamique  En papier-crayon, le milieu s’obtient en traçant avec le crayon un point à l’endroit justement du milieu  En géométrie dynamique, le milieu s’obtient en choisissant l’outil « milieu »  puis en cliquant sur le segment ou bien successivement sur les deux extrémités du segment

Les connaissances mathématiques comme outils de résolution de problème

Le b ateau dans la tempête

Le b ateau dans la tempête QuickTime™ et un décompresseur codec YUV420 sont requis pour visionner cette image.

Le b ateau dans la tempête QuickTime™ et un décompresseur codec YUV420 sont requis pour visionner cette image.

Le b ateau dans la tempête    Le contexte donne du sens  au concept de perpendicularité et au déplacement Le fait de pouvoir bouger le bateau crée le problème : comment construire le mat ?

La perpendicularité   fonctionne d’abord comme un outil implicite : construction à vue d’un segment perpendiculaire est explicitée à l’interface du logiciel : l’item droite perpendiculaire permet d’obtenir le comportement dynamique visuel attendu  peut devenir une notion dont on étudie les propriétés

Pajerond ou le r ôle des rétroactions dans l’évolution des stratégies de résolution

Pajerond ou le r ôle des rétroactions dans l’évolution des stratégies de résolution     Le contexte « évoqué » amène la nécessité de déplacer Le déplacement permet des rétroactions indépendantes de l’enseignant  une valeur ajoutée de la géométrie dynamique Quelle est la connaissance mathématique en jeu ?

  le cercle ?

le cercle étant donné son diamètre  le milieu d’un diamètre comme centre du cercle va être la clef du travail des élèves La connaissance visée est un outil clef de la solution

La patrouille, travailler l’alignement QuickTime™ et un décompresseur TIFF (LZW) sont requis pour vi sionner cette image.

QuickTime™ et un décompresseur TIFF (LZW) sont requis pour visionner cette image.

La patrouille, travailler l’alignement QuickTime™ et un décompresseur TIFF (LZW) sont requis pour vi sionner cette image.

QuickTime™ et un décompresseur TIFF (LZW) sont requis pour visionner cette image.

La patrouille, travailler l’alignement QuickTime™ et un décompresseur TIFF (LZW) sont requis pour vi sionner cette image.

QuickTime™ et un décompresseur TIFF (LZW) sont requis pour visionner cette image.

La patrouille, travailler l’alignement QuickTime™ et un décompresseur TIFF (LZW) sont requis pour vi sionner cette image.

QuickTime™ et un décompresseur TIFF (LZW) sont requis pour visionner cette image.

La patrouille, comment bloquer des stratégies et en favoriser d’autres  Les variables de la situation sont :   les positions manquantes : celle du leader, celles des « centres » ou celles des « ailiers » les outils disponibles pour résoudre avec la possibilité d’utiliser un menu spécial sans « point », les élèves ne peuvent pas simplement repérer perceptivement les positions sans « segment », les élèves sont obligés d’utiliser « milieu » en sélectionnant les deux points

Connaissances spatiales et connaissances géométriques

Interaction entre spatial et géométrique     « Connaissances spatiales »  Structuration de l’espace dessus dessous, derrière-devant, à droite, à gauche, entre, rectiligne, rond, en haut-en bas, étroit, allongé, grand-petit, pointu… l’élève contrôle ses rapports usuels à l’espace avec des connaissances spatiales les problèmes concernent l’espace sensible, sont contrôlés par la perception : « utilisation d’un plan en situation réelle »     « Connaissances géométriques »  Savoir mathématique alignement, parallèle, perpendiculaire, milieu, cercle, triangle, rectangle, angle… l’élève construit des connaissances géométrique en référence à un savoir les problèmes concernent le caractère nécessaire et non contradictoire des propriétés des figures : « montrer qu’un carré est un rectangle » les activités géométriques contribuent à la construction de l’espace (instructions officielles) les connaissances spatiales fondent la construction des connaissances géométriques

Figure et dessins     Toute résolution d’un problème de géométrie s’appuie sur une représentation graphique, appelée communément figure La figure est un objet théorique, c’est un ensemble d’objets géométriques liés par des relations ; Le dessin est une représentation matérielle de cet objet théorique, une trace sur un support physique : papier, sol, écran… Les dessins ne sont pas les seules représentations d’une figure

Différents espaces de constructions   Le site MAGESI http://magesi.inrp.fr/

Géométrie dynamique et géométrie dans l’espace

Travail sur les solides usuels

Analyse d’un solide

Vrai ou faux patrons  Le travail sur les patrons de polyèdres   passage continue d’une vue plane à une vue dans l’espace, continuité entre le patron et le solide manipulations concr ètes facilitées et reproductibles  Savoirs en jeu  le nombre de faces du patron est le m ême que celui du polyèdre  les faces du patron sont des polygones identiques aux faces du solide  les faces adjacentes sur le patron le sont sur le solide

Au delà de la géométrie

Une collection de cahiers d’activités

Les m êmes principes à l’œuvre    Manipulation directe de représentations d’objets mathématiques Comportement dynamique des objets cohérents avec les mathématiques Des rétroactions qui aident l’élève  Des plus  une organisation en cahiers qui prend en charge la progression et les changements de stratégie des élèves

Un exemple pour le numérique

Pour la résolution de problème avec les fractions et les décimaux

Conclusion

Qu’apporte la géométrie dynamique à l’apprentissage et l’enseignement ?

   Un environnement pour manipuler les objets et les relations Les manipulations jouent plusieurs r ôles    elles servent à produire la solution du problème elles permettent d’obtenir des rétroactions porteuses d’information pour la résolution elles sont l’objet de formulations pour décrire la construction et permettre à autrui de la refaire pour justifier par écrit et interpréter géométriquement Avec la géométrie dynamique, les rétroactions    apportent des informations sur la validité de la stratégie sont indépendantes de l’enseignant donc elles soutiennent l’autonomie de l’élève dans la prise en charge du problème

Qu’apporte la géométrie dynamique à l’apprentissage et l’enseignement ?

  L’articulation entre connaissances spatiales et connaissances géométriques :    connaissances spatiales pour débuter dans la recherche de solution connaissances géométriques comme clef pour résoudre le problème connaissances spatiales et géométriques pour valider la solution, gr âce au déplacement La distinction « en acte » entre dessin, les Cabri dessins, et figure géométrique

Qu’apporte la géométrie dynamique à l’apprentissage et l’enseignement ?

 Pas seulement pour faire plus vite, plus de cas, plus « proprement », mais pour proposer de nouveaux problèmes  Un environnement pour faire des essais, des erreurs et recommencer : un

ca

hier de pour changer la pratique des mathématiques, une pratique plus expérimentale

br

ouillon

i

nformatique,