Transcript La géométrie géo metrikos 1

La géométrie
géo : la terre
metrikos : mesure
Thierry Dias janvier 2005
1
L’ère des principaux géomètres grecs
Thalès
- 625
Pythagore
- 500
Platon
Euclide
- 427
- 300
Archimède
- 287
XVIII
siècle
Si on représente par un segment de 20 cm la distance dans
le temps entre Thalès et Archimède, quelle est, à la même
échelle, la longueur du segment qui représente le temps
écoulé entre Archimède et le XVIII° siècle ?
1 mètre...
pendant lequel il ne s’est quasiment rien passé !
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« Nous devons regarder comme suffisamment
constatée l’impossibilité de déterminer, en les
mesurant directement, la plupart des grandeurs que
nous désirons connaître.
C’est ce fait général qui nécessite la formation de la
science mathématique… Car, renonçant, dans
presque tous les cas, à la mesure immédiate des
grandeurs, l’esprit humain a dû chercher à les
déterminer indirectement, et c’est ainsi qu’il a été
conduit à la création des mathématiques. »
Auguste Comte, XIX siècle
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plan
Constats
• La géométrie à l’école élémentaire
• La géométrie au collège
• Difficultés d’apprentissages
Re-médiations et détours
• situations de recherche (des énigmes à résoudre à
plusieurs)
• situations de communication (donner du sens aux
propriétés et aux relations grâce au langage)
• utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique : de
la perception à l'expérience.
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intermède
Ma devise habituelle :
Avant de faire faire des mathématiques,
commençons par faire des mathématiques !
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intermède
Une petite situation de recherche en géométrie...
Le géoplan 3 x 3
Combien peut-on tracer (fabriquer) de triangles et de
quadrilatères (non croisés) différents sur ce géoplan ?
voici déjà deux triangles…
comment trouver le maximum ?
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L ’école élémentaire
contenus des textes officiels
espace
géométrie
repérage
relations et propriétés
orientation
solides
figures planes
compétences et savoirs :
compétences et savoirs :
pluri-disciplinaire
mathématiques
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L ’école élémentaire
deux géométries : empirique et théorique
référence aux travaux de Salin et Berthelot
L'objectif principal est de permettre aux élèves
de passer progressivement :
d'une géométrie où les objets et leurs propriétés
sont contrôlés par la perception
à une géométrie où ils le sont par explicitation
de propriétés et recours à des instruments.
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L ’école élémentaire
deux géométries : empirique et théorique
de l'objet
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au
concept
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L ’école élémentaire
aider au passage d'une géométrie à l'autre :
du type empirique au type théorique
Géométrie
Empirique (pratique)
Géométrie
Théorique
Intuition
Sensible et perceptive
Liée aux figures
Expérience
Liée à l’espace
mesurable
Schéma de la réalité
Déduction
Proche du réel et liée
à l’expérience par la
vue
Démonstration basée
sur des axiomes
référence aux travaux de Houdement et Kuzniak
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L ’école élémentaire
liens entre intuition et expérience
évidences
informations
nourrit
intuition
expérience
structure
référence aux travaux de Coppe
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L ’école élémentaire
d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique
Comment résoudre ce
paradoxe perceptif ??
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L ’école élémentaire
retour aux textes officiels
Les activités du domaine géométrique :
ne visent pas des connaissances formelles
(définitions),
mais des connaissances fonctionnelles,
utiles pour résoudre des problèmes dans
l'espace ordinaire, dans celui de la feuille de
papier ou sur l'écran d'ordinateur.
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L ’école élémentaire
programmes : progression
Les apprentissages se déroulent de manière continue
de la petite section de maternelle jusqu’au CM2. Un
vocabulaire précis doit être progressivement mis en
place.
Le principe est de partir du réel (et donc d’objets
matériels) puis d’abstraire peu à peu. La primauté est
donnée à la géométrie dans l’espace.
Il n’y a pas de démonstration bien entendu, mais un
début d’apprentissage du raisonnement, notamment
dans les activités de reproduction de figures.
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L ’école élémentaire
Structuration de l'ensemble des concepts :
aspects notionnels
Vergnaud
 Objets :
 point, droite, segment, angle, milieu
 carré, rectangle, losange, parallélogramme,
triangles, cercle
 cube, tétraèdre, pavé, face, arête, sommet
 Relations :
alignement, égalité de longueurs, perpendicularité,
parallélisme, symétrie axiale
 Mesures :
longueurs et aires : périmètre et aire du carré et du
rectangle, longueur du cercle.
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L ’école élémentaire
quatre mots-clés (types de tâches) :
 Reproduire :
des figures, y compris la réalisation pratique de solides
 Décrire :
des figures, pour les identifier ou les représenter
 Représenter :
notamment des solides, avec les problèmes de faces
visibles ou invisibles, les patrons
 Construire :
des figures, avec des matériaux et des outils multiples :
règle, équerre, gabarit, calque, compas
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L ’école élémentaire
démarche
• La résolution de problème,
• Dans des situations finalisées :
• Situations de référence complétées par
des situations de réinvestissement.
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L ’école élémentaire
mise en oeuvre
•
•
•
•
•
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un temps de présentation
un temps de recherche
un temps de confrontation
un temps de synthèse si nécessaire.
un temps de réinvestissement
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L ’école élémentaire
Quelques axes du programme en cycle 3…
Géométrie dynamique
 Géométrie expérimentale et place des logiciels de géométrie
dynamique
 Un logiciel de géométrie dynamique
 peut permettre la constitution d’un milieu (au sens de Brousseau)
« mathématisé » …
 laissant la place à des actions correspondant à des concepts
mathématiques
 offrant des rétroactions fondées sur le modèle mathématique sous
jacent au logiciel.
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Le collège
Programmes
En sixième :
• Reproduction de figures simples
• Mesures
• Parallélépipède rectangle (représentation, patron, volume)
• Symétrie axiale dans le plan (construction d ’images, conservation de
propriétés, axes de symétrie d ’une figure)
• Abscisse d ’un point sur une droite. Coordonnées (entiers relatifs) de points
du plan.
En cinquième :
• Prismes droits, cylindres de révolution (représentation, patron)
• Symétrie centrale dans le plan, parallélogramme, caractérisation angulaire du
parallélisme
• Triangle (somme des angles, inégalité triangulaire, construction de triangles,
cercle circonscrit)
• Aires du triangle, du parallélogramme, du disque
• Repérage sur une droite graduée et dans le plan muni d’un repère orthogonal
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Le collège
Programmes
En quatrième :
• Pyramide et cône de révolution
• Translation (à partir du parallélogramme)
• Triangle (droite des milieux et théorème de Thalès dans le triangle, droites
remarquables)
• Triangle rectangle et cercle (Pythagore et sa réciproque, tangente à un cercle,
cosinus d’un angle aigu)
En troisième :
• Sphère, sections planes d ’une sphère, d ’un cube. Sections d ’un cône et
d ’une pyramide (par des plans parallèles à la base)
• Relations trigonométriques dans le triangle rectangle (sinus, cosinus,
tangente)
• Théorème de Thalès et sa réciproque
• Vecteurs (écriture, égalité, somme à partir du parallélogramme). Lien avec la
translation. Coordonnées d ’un vecteur. Distance de deux points exprimée à
partir des coordonnées. Composée de deux symétries centrales.
• Rotations, polygones réguliers (triangle, carré, hexagone). Angle inscrit et
angle au centre.
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Où se trouvent les principales difficultés des élèves...
de l’école au collège : une transition difficile ?
Deux modes de construction des connaissances qui
peuvent s’opposer :
1. Un mode de type empirique basé sur l’intuition
et l’expérimentation
 géométrie science expérimentale
2. Un mode de type théorique s’appuyant sur la
déduction et qui trouve son aboutissement dans la
démonstration
 géométrie platonicienne
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Où se trouvent les principales difficultés des élèves...
De l’école au collège : une transition difficile ?
Dans le mode de type empirique, l’expérience est constitutive d’une
géométrie « naturelle »
 l’objet sensible (matériel) et l’objet mathématique sont
confondus
 l’expérience en tant qu’action sur les objets peut
constituer un mode de preuve ultime
Dans le mode de type théorique, les axiomes et les définitions
idéalisent l’espace réel
 on parle de figure et de raisonnement
 l’expérimentation n’est pas admise comme preuve, c’est
le raisonnement hypothético-déductif qui prend sa place
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Où se trouvent les principales difficultés des élèves...
De l’école au collège : une transition difficile ?
Dans le mode de type empirique
Ceci est un carré…
et un carré n’est pas un rectangle !
Dans le mode de type théorique
Les propriétés de cette figure (4 angles
droits, 4 côtés isométriques)
définissent un carré…
et un carré est aussi un rectangle !!
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Où se trouvent les principales difficultés des élèves...
De l’école au collège : une transition difficile ?
Dans le mode de type empirique
Les problèmes spatiaux relèvent d’une solution
validée empiriquement.
Dans le mode de type théorique
Les problèmes de géométrie relèvent d’une solution
prouvée mathématiquement.
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Où se trouvent les principales difficultés des élèves...
De l’école au collège : une transition difficile ?
Pour aider les élèves à franchir cette difficulté, il faut
aménager des situations dans lesquelles on permet aux
élèves de faire progressivement la différence entre :
réalité spatiale
et
modèle géométrique
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Où se trouvent les principales difficultés des élèves...
De l’école au collège : une transition difficile ?
En instaurant une transition entre ces deux modes de
construction des connaissances : l’utilisation des
instruments.
monde réel - outils perceptifs : la vue, le toucher
espace spatio-géométrique outils d ’aide à la perception : les instruments
espace géométrique - outil de validation : la théorie
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Où se trouvent les principales difficultés des élèves...
Quels outils de contrôle...
…pour un contrôle perceptif instrumenté
Il s'exerce sur des propriétés spatiales et/ou spatio-géométriques.
Il utilise comme instruments certes encore la vue mais aussi d'autres
instruments qui peuvent être :
- calque, gabarit, papier quadrillé, règle graduée
- ou règle, équerre, compas
- ou commandes d'un logiciel de géométrie dynamique
Il a pour finalité la production d'un dessin possédant certaines propriétés."
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donc...
Pour quoi enseigner la géométrie :
 1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement
 2. Apprendre aux élèves à voir dans l ’espace
 3. Apprendre aux élèves à raisonner
Comment enseigner la géométrie :
 1. Mettre en œuvre des situations de recherche et de
communication
 2. Faire une place aux nouvelles technologies
 3. Lier la géométrie aux autres disciplines
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Pour quoi enseigner la géométrie
1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement :
 varier les registres de représentation
 développer la construction d’images mentales
 mettre en évidence des liens entre la géométrie et la
numération
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Pourquoi enseigner la géométrie
Apprendre aux élèves à penser géométriquement
Identités remarquables… et remarquées !!
Jean Jacques ROUSSEAU (1785) , Les confessions
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Pourquoi enseigner la géométrie
Identitésremarquables
remarquables
Identités
Apprendre aux élèves à penser géométriquement
Identités remarquables… et remarquées !!
(a + b) (a + b) = (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Une autre, une autre !!!
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Pourquoi enseigner la géométrie
Apprendre aux élèves à penser géométriquement
Identités remarquables… et remarquées !!
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Une petite dernière pour la route...
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Pourquoi enseigner la géométrie
Apprendre aux élèves à penser géométriquement
Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à
la somme des carrés des côtés de l'angle droit.
Animation Pythagore Cabri
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Comment enseigner la géométrie
1. Mettre en œuvre des situations de recherche :
 pour faire vivre de vraies situations de construction de
« nouveaux savoirs »
 pour traiter du passage de la problématique pratique à
celle de modélisation
 pour faire plaisir à Vygotski et mettre en œuvre (enfin) la
notion de constructivisme social 
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Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de recherche
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Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de recherche
Les solutions de la
croix Grecque...
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Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de recherche
A la recherche des carrés de Mac Mahon
Combien peut-on trouver de façons de colorier complètement ce
carré avec 3 couleurs différentes ? Attention, les carrés ne
doivent pas être superposables.
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Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de communication
 Donner du sens à la notion de programme de
construction
 Analyser, reproduire et décrire une figure
à vos
crayons !!
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Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de communication
Solutions des belles constructions à réaliser… à faire réaliser
A
G
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B
H
D
C
J
K
E
L
F
M
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Le logiciel Cabri-géomètre
Cabri II
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Pourquoi l’environnement Cabri-géomètre ?
 Permet la modélisation d’une situation problème
 Met en œuvre la médiation du théorique :
«caractère » plus théorique des outils via la médiation du
logiciel (et notamment langagière).
 Caractère dynamique de la géométrie (apparition des
invariants et validation par le milieu a-didactique).
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Un premier axe de recherche…
 Limiter le nombre de relations pour faire émerger le
concept visé
 Faire apparaître les relations et les objets comme
invariants dans des configurations spatiales
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 1
Travailler le changement d’environnement
L’élève passe du :
 papier-crayon : un seul dessin fixe; validation
spatiale avec instruments
 au logiciel : ensemble de dessins, le déplacement
faisant « apparaître » les propriétés
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 1 : à propos des propriétés de la figure
- Les élèves disposent de trois figures ressemblant à des
carrés, d’abord sous forme papier, puis sous forme de
fichier Cabri. Il s’agit pour l’élève de décider si ce sont
des carrés et de justifier ses réponses.
- Avec le document papier montrant un état de chacune
des figures, l’élève va être amené à .....
- Avec le fichier Cabri, le déplacement va montrer que ...
- Une mise en commun vise à faire émerger ...
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 1 : à propos des propriétés de la figure
Dans l’environnement papiercrayon, est-ce un carré ?
Dans l’environnement Cabri 2 ,
est-ce un carré ?
situation 1
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 2 : situation de communication sur droites et points
Objectifs
Mathématiques
Ancrer les notions de droite et de segment. Les envisager comme
supports de trajectoire de points.
Utiliser le vocabulaire géométrique correspondant : “ la droite passe
par … et … ”; “ le segment a pour extrémités … et … ”
Géométrie dynamique
Explorer les trajectoires de points et reconnaître leur forme.
Déterminer ces objets-trajectoires en déterminant des liens de
dépendance entre objets.
Construire ces objets et invalider des constructions perceptives : droite
ne passant pas explicitement par deux points donnés ; segment dont les
extrémités ne sont pas explicitées.
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 2 : situation de communication sur droites et points
On propose à deux élèves A et B de travailler directement sur Cabri,
mais sur deux fichiers voisins. Celui pour B montre uniquement des
points de référence alors que celui pour A montre, en plus des mêmes
points, deux autres qui se déplacent sur une droite ou un segment
définis à l’aide des points de référence.
La tâche pour l’élève A est de déterminer les objets (il s’agit ici de
droite ou de segment) sur lesquels se déplacent les points, de
construire ces objets, de rédiger un message qui permettra à l’élève B
de construire les mêmes objets.
La validation se réalise par comparaison entre les constructions sur les
fichiers de A et B.
élève A
Les rôles de A et B sont ensuite échangés.
Une institutionnalisation peut clore cette activité.
élève B
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 3 : situation de communication sur droites parallèles
et droites perpendiculaires
Objectifs
Mathématiques
Ancrer les notions de droites parallèles ou perpendiculaires. Les envisager
comme supports de trajectoire de points.
Utiliser le vocabulaire géométrique correspondant : “ la droite parallèle à
la droite … passant par le point … ”; “ la droite perpendiculaire à la droite
… passant par le point … ”
Géométrie dynamique
Explorer les trajectoires de points et reconnaître leur forme.
Déterminer ces objets-trajectoires en déterminant des liens de dépendance
entre objets.
Construire ces objets et invalider des constructions perceptives : droite ne
passant pas explicitement par un point donné ; direction parallèle ou
perpendiculaire fixée perceptivement.
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 3 : situation de communication sur droites parallèles
et droites perpendiculaires
La tâche pour l’élève A est de déterminer les objets (il s’agit ici de
droites parallèles ou perpendiculaires à une droite donnée, passant par
des des points donnés) sur lesquels se déplacent les points, de construire
ces objets, de rédiger un message qui permettra à l’élève B de construire
les mêmes objets. La validation se réalise par comparaison entre les
constructions sur les fichiers de A et B.
Les rôles de A et B sont ensuite échangés.
Une institutionnalisation peut clore cette activité.
élève A
élève B
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 4
Situation 2
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Concepts
VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en
Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp. 133-170
"Un concept est un triplet de trois ensembles C= (S, I, S)
S : ensemble des situations qui donnent sens au concept (la
référence)
I : ensemble des invariants sur lesquels repose
l’opérationalité des schèmes (le signifié)
S : ensemble des formes langagières et non langagières qui
permettent de représenter symboliquement le concept, ses
propriétés, les situations et les procédures de traitement (le
signifiant)"
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BERTHELOT R. & SALIN M.H.,L’enseignement de la géométrie à l’Ecole
primaire, Grand N n°53 (p. 39-56), IREM de Grenoble, 1994
BERTHELOT R. & SALIN M.H.,Un enseignement des angles au cycle 3,
Grand N n°56 (p. 69-116), IREM de Grenoble, 1995
BERTHELOT R. & SALIN M.H., L’enseignement de la géométrie au début
du collège. Comment concevoir le passage de la géométrie du constat à la
géométrie déductive ?, Petit x n° 56, IREM de Grenoble, 2001
IREM DE LILLE, Travaux géométriques : Apprendre à résoudre des
problèmes, cycle 3, IREM de Lille, CDDP Nord - Pas de Calais, 2000
HOUDEMENT C., KUZNIAK A., Géométrie et paradigmes géométriques,
Petit x n° 51, p. 5 à 21, IREM DE Grenoble, 1999
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