disini..!! - Gudang ilmu
Download
Report
Transcript disini..!! - Gudang ilmu
1
Limit
menggambarkan seberapa jauh sebuah
fungsi akan berkembang apabila variabel di dalam
fungsi yang bersangkutan terus menerus
berkembang mendekati suatu nilai tertentu.
Notasi
Lim f(x) = L
x--> a
2
1.
2.
3.
Jika y = f(x) =
xn dan n > 0 maka
Lim x n a n
xa
Limit dari konstanta adalah konstanta sendiri
Lim k k
x a
Lim f ( x) g ( x) Lim f ( x) Lim g ( x)
xa
x a
xa
4.
Limit dari perkalian fungsi adalah perkalian dari limit fungsi-fungsinya
5.
Limit dari pembagian fungsi adalah pembagian dari limit fungsi-fungsinya
6.
Limit dari fungsi berpangkat n adalah pangkat n dari limit fungsinya
Limit dari suatu fungsi terakar adalah akar dari limit fungsinya
Dua buah fungsi yang serupa mempunyai limit yang sama jika f(x) =
g(x) untuk semua x kecuali a
7.
8.
Maka
Lim f ( x) L
xa
juga
Lim g ( x) L
x a
3
y
= f(x) dan terdapat tambahan variabel
bebas x sebesar x
Maka :
y f ( x)
y y f ( x x)
y f ( x x) y
y f ( x x) f ( x)
(1)
4
∆
x adalah tambahan x, sedangkan ∆ y
adalah tambahan y akibat adanya
tambahan x. Jadi ∆y timbul karena
adanya ∆x.
Apabila pada persamaan (1) ruas kiri
dan ruas kanan sama-sama dibagi ∆x,
maka diperoleh
y f ( x x) f ( x)
x
x
5
Bentuk
∆y/ ∆x inilah yang disebut
sebagai hasil bagi perbedaan atau
kuosien diferensi (difference quotient),
yang mencerminkan tingkat perubahan
rata-rata variabel terikat y terhadap
perubahan variabel bebas x
Proses penurunan fungsi disebut juga
proses diferensiasi merupakan
penentuan limit suatu kuosien diferensi
(∆x sangat kecil)
Hasil proses diferensiasi dinamakan
turunan atau derivatif (derivative).
6
Jika y = f(x)
Maka kuosien diferensinya :
y f ( x x) f ( x)
x
x
lim y
lim f ( x x) f ( x)
x 0 x x 0
x
7
Cara
penotasian dari turunan suatu fungsi
dapat dilakukan dengan beberapa macam :
Paling lazim
digunakan
lim y
dy df ( x)
'
y f ' ( x) y x f x ( x)
x 0 x
dx
dx
∆x sangat kecil maka = ∆y / ∆x
Kuosien diferensi ∆y/ ∆x slope / lereng dari
garis kurva y = f(x)
8
1.
2.
Diferensiasi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta,
maka dy/dx = 0
contoh : y = 5 dy/dx = 0
Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = xn, dimana n adalah konstanta,
maka dy/dx = nxn-1
contoh : y=x3dy/dx=3x3-1=3x2
9
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan
fungsi
Jika y = kv, dimana v = h(x),
dy/dx = k dv/dx
contoh : y = 5x3 dy/dx = 5(3x2) = 15x2
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan
fungsi
jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :
dy
kdv / dx
dx
v2
5 dy
5(3x 2 )
15x 2
contoh: y 3 , 3 2 6
x dx
(x )
x
10
5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi
jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x)
maka dy/dx = du/dx + dv/dx
contoh : y = 4x2 + x3 u = 4x2 du/dx = 8x
v = x3 dv/dx = 3x2
dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2
6. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)
dy
dv
du
m aka
u v
dx
dx
dx
contoh: y (4 x 2 )(x 3 )
dy
dv
du
u v
(4 x 2 )(3x 2 ) ( x 3 )(8 x) 12x 4 8 x 4 20x 4
dx
dx
dx
11
7. Diferensiasi pembagian fungsi
Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)
du
dv
v
u
dy
m aka
dx 2 dx
dx
v
4x2
contoh: y 3
x
du
dv
v
u
3
2
2
dy
(
x
)(
8
x
)
(
4
x
)(
3
x
)
dx
dx
2
dx
v
( x3 )2
8 x 4 12x 4 4
2
2 4 x
6
x
x
12
Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain
y=f{g(x)}, maka :
dy dy du
dx du dx
contoh: y (4 x 3 5) 2 m isal: u 4 x 3 5 y u 2
du
dy
12x 2 ,
2u
dx
du
dy dy du
2u (12x 2 ) 2(4 x 3 5)(12x 2 ) 96x 5 120x 2
dx du dx
13
Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1
.(du/dx)
Contoh :
du
y (4 x 5) , m isal: u 4 x 5
12x 2
dx
dy
du
n 1
nu
2(4 x 3 5)(12x 2 ) 96x 5 120x 2
dx
dx
3
2
3
14
Jika y = alog x, maka
dy
1
dx x ln a
dy
1
1
contoh: y log 2,
dx x ln a 2 ln 5
5
15
Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x
Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5
12. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier
Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka :
dy 1 du
dx u dx
x 3
contoh: y ln
x2
( x 3)
du
5
misalkan: u
( x 2)
dx ( x 2) 2
dy 1 du ( x 2)
5
5
2
2
dx u dx ( x 3) ( x 2)
( x x 6)
16
Diferensialkan
fungsi-fungsi berikut :
2x 3
a) y
3
x
5
3
x4 2x 7
b) y
7
3x
c) y ln
1 x
17