Transcript TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL FUNGSI)

PENDAHULUAN
PENGERTIAN DAN CONTOH
TEOREMA TURUNAN FUNGSI
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
SOAL-SOAL LATIHAN
PENUTUP
SD
SMA
SMP
MGMP MATEMATIKA
SKKK JAYAPURA
Kami mohon Donasi dari saudara-saudara sekalian agar blog ini tetap
Eksis untuk membantu saudara-saudara sekalian agar dapat
mengakses materi bahan ajar atau soal-soal dan lainnya dalam bentuk
“POWERPOINT” silahkan salurkan lewat rekening Bank MANDIRI atas
nama HENDRIK PICAL,A.Md,S.Sos dengan No. ac Bank
1540004492181. dan konvirmasi lewat No. HP. 081248149394. Terima
Kasih.
BAB II
TURUNAN FUNGSI
TURUNAN FUNGSI
(DIFERENSIAL FUNGSI)
PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI
A. LAJU PERUBAHAN NILAI FUNGSI
A.1 LAJU PERUBAHAN RATA-RATA
Vrata-rata
Δs

Δt
PENGANTAR ILUSTRASI
Seorang murid mengendarai motor dari
rumah ke sekolah yang jaraknya 15 km. Ia
berangkat dari rumah pukul 06.00 dan jarak
yang ditempuh dicatat setiap 5 menit dengan
cara mengamati spidometer pada
motornya.Catatan jarak yang ditempuh setiap
5 menit adalah sbb:
Waktu
Jarak
06.00 - 06.05
2,5
06.05 - 06.10
1,25
06.10 - 06.15
2,5
06.15 - 06.20
2,5
06.20 - 06.25
3,75
06.25 - 06.30
2,5
Pertanyaan?
Kecepatanrata- ratasiswa itu mengendarai
Motordari Rumah ke Sekolah adalah.....
KECEPATAN RATA-RATA DALAM
INTERVAL WAKTU
t1  t  t 2
KECEPATAN RATA-RATANYA
RUMUSNYA SBB :
Vrata-rata
Δs f(t2 )  f(t1 )


Δt
t 2  t1
CONTOH 1
Gerak sebuah benda ditentukan dengan
persamaan s=f(t)=4t-5 (s dalam meter dan t
dalam detik). Tentukan besar kecepatan sesaat
untuk waktu-waktu berikut ini :
a). t=2 detik
b). t=5 detik
Jawab a
f(a  h)  f(a)
Kecepatansesaat : Limit
, jika a  2
h  0
h
f(2  h)  f(2)
maka Limit
, Lintasannya f(t)  4t - 5
h  0
h
4{(2  h)  5}  {4(2)- 5}
maka Limit
h  0
h
{8  4h)  5}  {8 - 5}
 Limit
h  0
h
3  4h  3
 Limit
h  0
h
4h
 Limit  4
h  0 h
 Kecepatansesaat pada saat t  2 detik adalah 4 m/detik
Jawab b
f(a  h)  f(a)
Kecepatansesaat : Limit
, jika a  5
h  0
h
f(5  h)  f(5)
maka Limit
, Lintasannya f(t)  4t - 5
h  0
h
4{(5  h)  5}  {4(5)- 5}
maka Limit
h  0
h
{20  4h)  5}  {20 - 5}
 Limit
h  0
h
15  4h  15
 Limit
h  0
h
4h
 Limit  4
h  0 h
 Kecepatansesaat pada saat t  5 detik adalah 4 m/detik
CONTOH 2
Sebuah bola berjari- jari r cm sehingga
4 3
volumebola itu adalah V  f(r)  πr ,
3
T entukanlaju perubahanvolumebolaV
terhadapjari - jari r ketikar  2 cm.
Jawab
f(a  h)  f(a)
, jika a  2
h  0
h
f(2  h)  f(2)
4
maka Limit
, Lintasannya f(r)  πr3
h  0
h
3
4
4
 {(2  h)3}  {  (2)3}
3
maka Limit 3
h  0
h
4
32
 {8  3(2) 2 h  3(2)(h) 2  h 3 }  {  }
3
 Limit 3
h  0
h
32
4
32
{   16h  8h 2  h 3 }  {  }
3
3
 Limit 3
h  0
h
4
16h  8h 2  h 3
3
 Limit
h  0
h
4
h(16  8h  h 2 )
3
 Limit
h  0
h
 16
 Volume bola pada saat r  2 cm adalah16
Kecepatansesaat : Limit
SOAL LATIHAN
T entukanlaju perubahansesaat nilai fungsi
berikut ini pada titik yangdisebutkan:
a). f(x)  3 2x pada x  2
b). f(x)  2x  1, pada x  1
3
Definisi Turunan Fungsi
f(a  h)  f(a)
f ' (a)  Limit
,
h  0
h
CONTOH 1.
Carilah turunan fungsi f(x)  3 - 2x,
pada x  1
JAWAB
f(x)  3 - 2x, pada x  1 adalah f ' (1)
f(1 h) - f(1)
f ' (1)  Limit
h  0
h
{3 - 2(1 h)}- {3 - 2(1)}
f ' (1)  Limit
h  0
h
 2h
f ' (1)  Limit
 Limit 2  2
h  0
h  0
h
Jadi turunanfungsi f(x)  3 - 2x,pada x  1
adalah f ' (1)  -2
CONTOH 2
T urunanFungsi f(x)  4x  3x  2,
pada x  a, mempunyainilai13,
hitunglah nilai a
2
Jawab
T urunanfungsi f(x)  4x2  3 x  2, pada x  2
f(a  h) - f(a)
h  0
h
{4(a  h) 2  3(a  h)  2}  {4(a ) 2  3a  2}
 Limit
h  0
h
{4(a2  2ah  h 2 )  3a  3h  2}  {4a 2  3a  2}
 Limit
h  0
h
adalah f ' (a)  Limit
{4a 2  8ah  4h 2 )  3a  3h  2}  {4a 2  3a  2}
 Limit
h  0
h
{8ah  4h 2 )  3h}
{4h 2  8ah  3h}
 Limit
 Limit
h  0
h  0
h
h
 Limit
h  0
h{4h  8a  3}
 Limit4h  8a  3  8a  3
h  0
h
8a - 3  13  8a  16
a 2
Jadi turunanfungsi f(x)  4x2  3 x  2 pada x  a mempunyai
nilai  13 unt uk nilai a  2
SOAL LATIHAN
1. Carilah turunan dari fungsi - fungsi berikut
untuk nilai - nilai x yangdisebutkan
a. f(x)  5 - 2x, pada x  4
b.
f(x)  x 3  x 2 , pada x  2
1 3
2. Diketahuif(x)  x  2 x 2  7 x, dengan
3
daerah asal D f  {x / x  R}
a.
b.
Carilah f ' (a) dengan a  R
Jika f ' (a)  19,carilah nilai a yangmungkin
TEOREMA UMUM TURUNAN FUNGSI
T EOREMA1. FUNGSIKONST AN
Jika f(x) k dengan k konstan maka :
BUKT :I
dk
f ' (x) 0. atau
0
dx
f(x h) - f(x)
f ' (x) Limit
h  0
h
k-k
 Limit
h  0
h
 Limit0  0 (T erbukti)
h  0
CONTOH
Hit unglah Limit5
h  0
Jawab :
f(x h)  f(x)
f ' (x) Limit
h  0
h
5 5
 Limit
h  0
h
 Limit0  0
h  0
FUNGSI IDENTITAS
T EOREMA2. FUNGSI IDENT IT AS
Jika f(x) x,maka f ' (x) 1
d
atau
(x )  1
dx
BUKT :I
f(x h)  f(x)
f ' (x) Limit
h  0
h
xh- x
 Limit
h  0
h
h
 Limit
h  0 h
 Limit1  1 (T erbukti)
h  0
FUNGSI PANGKAT
T EOREMA3.
FUNGSIPANGKAT
Jika f(x) xn dan n bilangan rasional, maka
d n
(x )  nxn-1
dx
f(x h) - f(x)
(x  h)n  xn
f ' (x) Limit
 Limit
h  0
h  0
h
h
 n  n  n  n-1  n  n-2 2
n  n
 x   x h   x h  ...  h  xn
0
1 
2 
n 
 Limit 
h  0
h
 n  n-1  n  n-2

n 1
 Limit x   x h  ... h 
h  0
2
 1 

f ' (x) nxn-1 atau
BUKT :I
 n  n- 1
  x  nxn-1
1 
( T erbukti ).
CONTOH
Carilah T urunan fungsi dari fungsi - fungsi berikut :
a.
f(x) x3
b.
f(x) x100
c.
f(x) 5x50
SOLUSINYA: a. f(x) x3 , n  3 maka f ' (x) nxn-1  3x3 1  3x2
b. f(x) x100 ,n  100, maka f ' (x) nxn-1  100x100 1  100x99
c. f(x) 5x50 ,n  50,maka f ' (x) nxn-1  5 .50 x50 -1  250x49
AKTIVITAS SISWA
1.
T entukan T urunan dari fungsi - fungsi berikut :
a.
f(x) 4
d.
f(x) x10
b.
f(x) x5
e.
f(x) x-2
c. f(x) x
f. f(x) x
Buktikan T eorema 3 benar untuk n bilangan
-3
2.
bulat negatif dan pecahan
1
4
HASIL KALI KONSTANTA DENGAN
FUNGSI
T EOREMA4. HASILKALIKONST ANT A
DENGAN FUNGSI
Jika f suatu fungsi, c suatu konstanta, dan g fungsi yang
didefinisi kan oleh g(x)  c.f(x)dan f ' (x)ada, maka :
BUKT :I
d
d
c.f(x)  c. f(x)  c.f ' (x)
g ' (x) c.f ' (x) atau
dx
dx
g(x  h) - g(x)
g ' (x) Limit
h  0
h
c.f(x h) - c.f(x)
 Limit
h  0
h
 f(x h) - f(x)
 Limitc.

h  0
h

 c.f ' (x) ( T erbukti )
CONTOH
1.
T entukan T urunan fungsi f(x)berikut :
a.
f(x) 5x50
b.
f(x) 100x90
6
f(x) x55
5
c.
SOLUSINYA:
a. f(x) 5x50 , f ' (x) 5.g ' (x)
 5.50x49
 250x49
b. f(x) 100x90 , f ' (x) 100.g ' (x)
 100.90x89
 9000x89
6 55
6
x , f ' (x) .g ' (x)
5
5
6
 . 55x54
5
 66x54
c. f(x)
AKTIVITAS SISWA
T entukan T urunan fungsi f(x)berikut :
a.
b.
c.
2 3
f(x) x
3
50
f(x) 20
2x
100x- 32
f(x)
88
d.
e.
55x-15
f(x)
- 35
110x
50x-50 .x10
f(x)
3
5x
JUMLAH DUA FUNGSI
T EOREMA5.
JUMLAHDUAFUNGSI
Jika U dan V adalah fungsi - fungsi dari x
yang dapat diturunkan dan y  f(x) U(x) V(x),
maka y '  f ' (x) U' (x) V' (x)
d
atau
(U V)  U'  V'
dx
BUKTI
f(x h) - f(x)
f ' (x) Limit
h  0
h

u(x  h)  v(x h)  u(x)  v(x)
 Limit
h  0
h
 u(x  h)  u(x) v(x h) - v(x)
 Limit


h  0 
h
h
u(x  h)  u(x)
v(x h) - v(x)
 Limit
 Limit
h  0
h  0
h
h
 u' (x) v' (x) ( T erbukti )
SELISIH DUA FUNGSI
T EOREMA6. SELISIHDUAFUNGSI
Jika U dan V adalah fungsi - fungsi dari x yang dapat
diturunkan dan y  f(x) U(x)- V(x),maka
y '  f ' (x) U' (x)- V' (x) atau
d
(u  v)  u' - v'
dx
CONTOH 1
T ent ukan T urunan dari f(x) 6x2  7 x  2
SOLUSINYA:
d
d
d
2
f(x) 6x  7 x  2  f ' (x)
(6 x )  (7 x ) 
(2)
dx
dx
dx
d 2
d
d
 6 (x )  7 (x)
(2)
dx
dx
dx
 6.2x- 7.1  0
2
 12x - 7
CONTOH 2
Sebuah perusahaan menaksir bahwa untuk memproduks i x unit
1
barang dibutuhkan biaya produksi sebesar C(x) x2  30 x  180
8
ribuan rupiah. T entukan biaya marjinal dari biaya produksiny a.
SOLUSINYA:
BiayaMarginal C  C(x  h) - C(x)dengan h  1 sehingga berlaku :
d 1 2

x

30
x

180

dx  8
d 1 2  d
d


180

x

30
x



dx  8  dx
dx
1 d 2
d

(x )  30 (x) 0
8 dx
dx
1
 .2 x  30.1
8
1
 x  30
4
C' (x)
AKTIVITAS KELAS
CARILAHT URUNANFUNGSI- FUNGSIBERIKUT
:
a.
f(x) 4x3  2 x 2  5 x
b.
f(x) (6 - 2x)
c.
2
f(x) 2x  2
x
2
2
PERKALIAN DUA FUNGSI
T EOREMA7. PERKALIAN
DUAFUNGSI.
Jika U dan V fungsi - fungsi dari x
yang dapat diturunkan dan f(x) U(x).V(x),
maka f ' (x) U' (x).V(x) U(x).V'(x)
atau :
d
(U.V) U'.(V) U.(V')
dx
BUKTI
f(x h) - f(x)
h  0
h
u(x  h).v(x h) - u(x).v(x)
 Limit
h  0
h
u(x  h).v(x h) - u(x  h).v(x) u(x  h).v(x)- u(x).v(x)
 Limit
h  0
h
u(x  h)v(x h) - v(x)
v(x).u(x  h) - u(x)
 Limit
.Limit
h  0
h  0
h
h
v(x h) - v(x)
u(x  h) - u(x)
 Limitu(x  h).Limit
 Limit v(x).Limit
h  0
h  0
h  0
h  0
h
h
 U(x).V'(x) V(x).U'(x) ( T erbukti )
f ' (x) Limit
CONTOH
Gunakan T eorema 7 untuk mencari turunan pertama f(x) (3x2  2)(x4  x)
SOLUSINYA:
Misalkan U(x) 3x2  2 dan V(x)  x4  x
U' (x) 6x
dan V' (x) 4x3  1
Masukan ke dalam teorema 7 didapat :
f ' (x) U(x).V'(x) U' (x).V(x)
 (3x2  2).(4x3  1 )  (6 x )(x4  x)
 12x5  8x3  3x2  2  6x5  6x2
 18x5  8x3  9x2  2
PEMBAGIAN DUA FUNGSI
T EOREMA8.
PEMBAGIAN
DUAFUNGSI.
Jika U dan V fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan ,
U(x)
dan f(x)
, V(x) 0, maka
V(x)
U' (x).V(x)- U(x).V'(x)
d  U  U' V  UV'
f ' (x)
atau

2


dx  V
V2
V(x)
CONTOH
3x2  10
Gunakan T eorema8 untuk mencariturunan f(x)  3
x 9
SOLUSINYA :
Misalkan U(x)  3x2  10  U'(x)  6x
V(x)  x 3  9
 V' (x)  3x2
Berdasarkan T eorema8 didapat :
U' (x).V(x)- U(x).V'(x) (6x)(x3  9) - (3x2  10).(3x2 )
f ' (x) 

2
(x3  9)2
V(x)
(6x  10).(x3  9)  (3x2  10x)(3x2 )

(x3  9)2
6x4  10x3  54x  90  9x4  30x3

(x3  9)2
- 3x4  40x3  54x  90

(x3  9)2
AKTIVITAS SISWA
Hitunglah T urunan Fungsi - fungsi berikut :
a.
b.
3x2  2 x  1
f(x)
5x  2
1
3x
f(x)
x5
c.
4x2  3x
f(x) 3
x  10x - 1
d.
3x2  4x - 3
f(x) 2
x - 2x  1
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
1.
Y  Sinx
2.
3.
Y  Cosx dan
Y  T anx
1. TURUNAN Y=SIN X
F(X) SIN X
Jika Y  Sin x, maka Y'(x) Cos x
BUKT :I
f(x h) - f(x)
Sin(x  h)  Sinx
 Limit
(Gunakan Rms) Sinα - Sinβ
h  0
h  0
h
h
1
1
2Cos (2x  h)Sin h 1
1
1
Cos(x

h)Sin
2
2
2
2
2h
 Limit
x 1  Limit
1
h  0
h  0
h
2
2h
f ' (x) Limit
Sin 12 h
 LimitCos(x  h).Limit 1
 LimitCos(x  12 h).1
h  0
h  0
h  0
2h
1
2
 LimitCos(x  12 h)  Cosx
h  0
( T erbukti )
2. TURUNAN Y=COS X
F(X) COS X
Jika Y  Cos x, maka Y'(x) - Sin x
BUKT :I
Cos(x  h)  Cosx
f(x h) - f(x)
(Gunakan Rms) Cosα - Cosβ
 Limit
0

h
h  0
h
h
1
1
- 2Sin (2x  h)Sin h 1
- Sin(x  12 h)Sin 12 h
2
2
2
x 1  Limit
 Limit
1
h  0
h  0
h
2h
2
f ' (x) Limit
Sin 12 h
 Limit- Sin(x  12 h).1
 Limit- Sin(x  h).Limit 1
h  0
h  0
h  0
2h
1
2
 Limit- Sin(x  12 h)  Sinx
h  0
( T erbukti )
3. TURUNAN Y=TAN X
Jika Y  T ANX  Y'(X) SEC2 X
BUKT :I
Sin x U(x)
Y  T an x 

(Gunakan Rms. Hasil bagi dua fungsi) di dapat
Cos x V(x)
U' (x).V(x)- U(x).V'(x)
Y'(x)
dimana U(x) Sinx  U' (x) Cosx
2
V(x)
dan V(x) Cosx  V' (x) -Sinx maka
Cosx.Cosx- Sinx(-sinx) Cos 2 x  Sin 2 x
Y'(x)

2
Cos x
Cos 2 x
1
2


Sec
x ( T erbukti )
2
Cos x
CONTOH
Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:
1. f(x) = 4sinx – 2cosx
2. f(x) = 2sinxcosx
SOLUSINYA
1. f(x) = 4sinx – 2cosx
f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx
=4cosx+2sinx
2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x
f ‘(x) = d2x.dsin2x
=2cos2x
Buktikan
Turunan dari
1. y= cosecx
2. Y=secx
3. Y=cotx
AKTIVITAS SISWA
T entukan T urunan Fungsi - fungsi berikut :
a.
y  sin (ax  b)
f.
y  3sin2x  4cos2x
b.
y  cos(ax  b)
g.
y  1 - sin 2 x
c.
y  tan ax
h.
y  - 2sin 2 x  1
d.
y  tan (ax  b)
i.
y  cos 2 x  sin 2 x
e.
y  2sinx  4cos2x
j.
y  4cos 2 x - 4
TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI
DENGAN ATURAN RANTAI
T EOREMA9. DALILRANT AI
Jika y  f(u) merupakan fungsi dari u yang dapat diturunkan
dan u  g(x) merupakan fungsi dari x yang dapat diturunkan
serta y  f(g(x))merupakan fungsi dari x yang dapat diturunkan
maka :
y' (x)
atau
d
(f(g(x)) f' (g(x)).g'(x)
dx
dy dy du
.

dx du dx
CONTOH
T entukan T urunan dari :
y  (4x2  5 x  3)6
SOLUSINYA:
U  4x2  5 x  3 maka y  U6
dy
 6U5  6(4x2  5x  3)5
du
du
dy dy du
 8x  5 

.
dx
dx du dx

 6(4x2  5x  3)5 .8x  5

 (48x - 30 )(4x2  5x  3)5
CONTOH 2
Carilah T urunan dari fungsi berikut ini :
y  (x  2)(x 3)
4
AKTIVITAS SISWA
dy
1. T ent ukan pada soal berikut ini
dx
15
a. y  3u dan u  2x - 1
b.
2.
y  4u dan u  x  2 x
-3
2
T ent ukan T urunan fungsi berikut :
a.
f(x) 7x - 2x  5
b.
f(x) x  3 x  1 
2
2
3
2
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
DISUATU TITIK PADA KURVA
h
Q(x+h,f(x+h))
f(x+h)-f(x)
g
P(X,f(X))
l
x
x+h
Gradien Garis singgung kurva di titik P
f(x h)  f(x)
adalah f ' (x) Limit
h  0
h
RINGKASAN MATERI
1.
Gradien Garis Singgung di titik P(x,y) adalah
2.
f(x h) - f(x)
f ' (x) Limit
m
h  0
h
Persamaan Garis singgung di titik P(x1 , y1 ) dengan
3.
gradiennya m adalah : y - y1  m(x  x1 )
Jika garis saling tegak lurus maka m 1 .m 2  1
4.
Jika garisnya sejajar maka m 1  m 2
CONTOH SOAL 1
T entukan persamaan garis singgung di titik (3,9)pada kurva y  x2
SOLUSINYA:
y  x2  y'  2x pada titik (3,9),maka y' (3)  2.3  6  m
persamaan garis singgung di (3,9)adalah :
y - y1  m( x - x1 )
y - 9  6(x- 3)
y
 6x - 18  9
y
 6x - 9
CONTOH SOAL 2
π 1
T entukan persamaan garis singgung di titik ( ,
2 ) pada kurva y  sinx
4 2
SOLUSINYA:
y  sinx  y'  cosx  y' ( 4 )  cos

4

1
2 m
2
π 1
Persamaan garis singgung di ( ,
2 ) adalah
4 2
y - y1  m(x  x1 )
1
1
1
1
y2
2 ( x  4 )  y 
2x 
2 (1  4 )
2
2
2
2
AKTIVITAS SISWA
1.
2.
Gambarlah grafik f(x) x2  2 x  1 pada interval- 5  x  5
kemudian gambarlah garis singgung kurva tersebut di
1
x  -1,1,0, , dan 4
2
Carilah persamaan garis singgung pada kurva berikut :
a.
y  x2 - 3x - 40,.di (1,-42)
b.
y  x3 - 2x2  4 , di(2,4)
c.
y  x2  3x sejajar garis 2x - y  3  0
d.
y  2x2  3 tegak lurus garis 8y  x  10  0
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
Sifat-sifat suatu fungsi dapat diselidiki
dengan menggunakan turunan.
1. Syarat fungsi naik dalam suatu interval
tertentu yaitu Fungsi dikatakan naik jika
seiring pertambahan nilai x ke kanan,maka
nilai f(x) bertambah.atau f ‘(x)>0
2. Syarat fungsi turun yaitu jika seiring
pertambahan nilai x kekanan,maka nilai f(x)
berkurang.atau f ‘(x)<0
SKETSA FUNGSI NAIK DAN TURUN
y=f(x)
y=f(x)
f(x1 )
f(x2 )
x1
x2
Fungsi Naik
(a)
f(x1 )
f(x2 )
x1
x2
Fungsi Turun
(b)
CONTOH
Biaya total produksi x unit barang diberikan dengan
2 3
C(x) x  5x2  50x  10.T entukan biaya Marjinalnya.
5
Apakah biaya Marjinalnya naik atau turun seiring dengan
penambahan produksi barangnya?
Jawabannya
BiayaMarjinal  M(x) c' (x)
2 2
.3x  5.2x  50
5
6
 x2  10 x  50
5
6
Ja di M(x) x2  10 x  50. Kemudian untuk menentukan
5
bahwa biaya marjinal naik at au turun seiring dengan penambahan barang

yaitu apakah M' (x) 0; M' (x) 0, untuk x  0 : ternyata
6 2
x  10 x  50.
5
6
M' (x) 2. x  10
5
12

x  10 Karena x  0 maka M' (x)akan selalu lebih besar dari 0
5
sehingga BiayaMarjinal akan naik seiring dengan penambahan
M(x) 
produksi barang.
CONTOH 2
3
T ent ukan intervalagar fungsi f(x) x3  x2 naik at au turun.
2
3
f(x) x3  x2  f ' (x) 3x2  3 x
2
 3x(x- 1)  x  0 at au x  1
Gambar garis bilangan dan selidiki nilai f ' (x)di titik x  -1, x 
f ' (-1)  3(-1)2  3(1 )  6  0 (P ositif)
1
1
1
3 6
3
f ' ( )  3( )2  3( )    -  0 (Negatif)
2
2
2
4 4
4
f ' (2)  3(2)2  3(2 )  12  6  6  0 (P ositif)
- - -
+ + +
0
+ + +
1
3 2
x naik pada interval x  0 dan x  1 dan
2
T urun pada interval 0  x  1
Jadi f(x) x3 -
1
, dan x  2
2
AKTIVITAS SISWA
1.
T entukan intervalagar fungsi - fungsi berikut naik atau turun
2.
2
x
a). f(x) x3  3x2
c). f(x) 2
x 4
1 - x2
2
b). f(x) x  x  1
d). f(x)
(1  x2 )2
Misalkan biaya produksi dari x unit barang dinyatakan dengan
C(x) 4x  x3  2x2 . Kapankah biaya marjinalnya merupakan
fungsi naik?.
Jawaban
f(x) x  3x  f' (x) 3x  6x
3
2
2
Syarat fungsi naik f' (x) 0
3x  6x  0
2
3x(x- 2)  0  x  0 atau x  2
selidika nilai f' (x)di x  -1, x  1 dan x  3
f' (-1) 
f' (1) 
f' (3) 
SKETSA GRAFIK DENGAN UJI
TURUNAN
SKETSA GRAFIK DENGAN
UJI TURUNAN PERTAMA
Syaratnya :
1.
Bentuk Dasar (Linearatau kuadrat)
2.
T it ikpotong dengan sumbu - sumbu koordinat
3.
Intervaldefinisi fungsi
4.
Intervalfungsi naik atau turun
5.
T it ikStasioner.
CONTOH
a.
b.
Carilah titik stasioner untuk fungsi y  x3  6x2  15x  2
T entukan Jenis dari titik titik stasioner yang diperoleh dari a
c.
Buatlah sketsa grafiknya.
JAWAB:
a.
y  x3  6x2  15x  2
y'  3x2  12 x  15. Syarat titik stasioner y'  0
3x2  12 x  15.  0
3(x  5)(x- 1)  0
(x  5)(x- 1)  0
x  5 atau x  1
Jika x  -5 maka y  (-5)3  6.(-5)2 - 15.(-5)- 2
y  98
Jika x  1 maka y  (1)3  6.(1)2 - 15.(1)- 2
y  -10
Jad i titik - titik stasionern ya adalah (-5,98)dan(1,-10)
b. LANJUTAN
Untuk menentukan jenis titik stasioner, maka kita
pakai titik uji disebelah kiridan kanan titik stasioner.
Misalnya kita pilih x  -6, x  0, dan x  2 sebagai sampel
masukan kedalam fungsi turunan.
x  -6 maka y'  21  0
x  0 maka y'  -15 dan
x  2 maka y'  21  0
masukkan hasilnya dalam tabel turunan.
TABEL TURUNAN
X
-6
-5
0
1
2
Y’
Kemiringan
+
/
0
-
\
0
-
+
/
Dengan demikian (-5,98)adalah titik balik maksimum
dan (1,-10)adalah titik balik minimum.
c. LANJUTAN
Untuk mengsketsa grafik fungsi y  x  6x - 15x - 2
3
2
dibut uhkan beberapa titik lagi
1. T it ikpotong dengan sumbu x maka y  0
x3  6x2 - 15x - 2  0
(x- 2)(x2  8x  1)  0
x  2 atau x  8x  1  0
2
x  2 atau x  -4  15 (P akairumus ABC)
x  2, atau x  -0,127, atau x  - 7,873
Jad i titik potong dengan sumbu x,adalah
(2,0),(-0,127,0), dan (-7,873,0)
C LANJUTAN
Titik potong dengan sumbu y maka x=0
Y=-2
Jadi titik potong dengan sumbu y adalah
(0,-2)
Dari tabel turunan dapat disimpulkan bahwa:
Grafik naik pada selang (-~,-5)dan(1,~) dan turun
Pada interval selang (-5,1)
LANJUTAN SKETSA GRAFIK
(-5,98)
Y
y  x  6x - 15x - 2
3
(-7,873,0)
(-0,127,0)
(2,0)
(0,-2)
(1,-10)
2
X
AKTIVITAS SISWA
Misalkan y  x3 - x2 - x  4
a.
T entukan y' dan faktorkan bentuk kuadrat yang di dapat.
b.
T entukan nilai x yang memenuhi y' (x) 0 dan nilai
y yang bersesuaia n.
c.
Klasifikasikan jenis nilai stasioner sebagai maksimum,
minimum, atau titik belok dengan menggunaka n tabel
turunan.
d.
Gambar grafiknya dengan bantuan beberapa titik lain.
SKETSA GRAFIK DENGAN UJI
TURUNAN KEDUA
CONTOH :
a.
T entukan dan klasifikasikan semua titik
stasioner pada grafik y  x  x
4
b.
3
Buatlah sketsa grafik y  x  x dengan
4
3
memanfaatk an informasi dari a
TURUNAN/
DIFERENSIAL
DEFINISI TURUNAN
Turunan dari y  f(x) terhadap x
didefinisi kan dengan :
f(x  h) - f(x)
lim
 y  f (x) 
h0
dx
h
dy
1
1
RUMUS-RUMUS TURUNAN
Turunan pertama dari f(x)  4x 2  3x adalah...
A. (2 x - 4) (2x  8)
D. (4x - 3) (4x 2  3x)2
3
2
B. (2 - 4x) (2x  3)
3
C. (4x - 3) (4x 2 - 3x)3
2
1
E. (4x  3) (4x 2 - 3x) 2
2
RUMUS-RUMUS TURUNAN
1
1
1
4. f(x)  U.V maka f (x)  U .V  U.V
1
1
U
U V - U.V
1
5. f(x) 
maka f (x) 
2
V
V
Soal ke-1
2
1
Jika f(x) = 3x + 4 maka nilai f (x) yang
mungkin adalah ….
A. 3x
B. 6x
C. 9x
2
D. 10x
2
E. 12x
2
Pembahasan
2
f(x) = 3x + 4
1
f (x) = 6x
Jawaban soal ke-1
2
1
Jika f(x) = 3x + 4 maka nilai f (x) yang
mungkin adalah ….
A. 3x
B. 6x
C. 9x
2
D. 10x
2
E. 12x
2
Soal ke-2
Nilai turunan pertama dari:
2
2
f(x) = 2(x) + 12x – 8x + 4 adalah …
2
A. x – 8x + 5
2
B. 2x – 24x – 2
2
C. 2x + 24x – 1
2
D. 6x + 24x + 8
2
E. 6x + 24x – 8
Pembahasan
3
3
f(x) = 2x + 12x – 8x + 4
1
2
f (x) = 6x + 24x – 8
Jawaban soal ke-2
Nilai turunan pertama dari:
2
2
f(x) = 2(x) + 12x – 8x + 4 adalah …
2
A. x – 8x + 5
2
B. 2x – 24x – 2
2
C. 2x + 24x – 1
2
D. 6x + 24x + 8
2
E. 6x + 24x – 8
Soal ke-3
Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)
Adalah …
A. 24x + 5
D. 12x – 5
B. 24x – 5
E. 12x – 10
C. 12x + 5
Pembahasan
f(x) = (3x-2)(4x+1)
1
2
f (x) = 12x + 3x – 8x – 2
2
f(x) = 12x – 5x – 2
1
f (x) = 24x – 5
Jawaban soal ke-3
Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)
Adalah …
A. 24x + 5
D. 12x – 5
B. 24x – 5
E. 12x – 10
C. 12x + 5
Soal ke- 4
2 6
-1
Nilai f (x) dari f(x) x  2x adalah...
3
1
5
A. 2x  2x
5
-1
5
-2
D. 4x  2x
5
B. 2x  2x
-1
5
-1
C. 4x  2x
E. 4x  2x
Pembahasan
2 6
1
f(x)  x  2x
3
2 6 -1
1
f (x)  6. x
 2 (-1).x - 1 - 1
3
1
5
2
f (x)  4x - 2x
Jawaban Soal ke- 4
2 6
Nilai f (x) dari f(x) x  2x - 1 adalah...
3
1
5
5
-1
A. 2x  2x
D. 4x  2x
B. 2x 5  2x - 1
E. 4x 5  2x - 2
C. 4x 5  2x - 1
Soal ke- 5
6
Turunan ke - 1 dari y  x  3 adalah ...
A. 3 x
B. 3x
2
C. 3 x  2
2
D. 3x  3
E. 3 x  1
Pembahasan
6
y x 3
yx
6
2
3
3
yx 3
1
y  3x
2
Jawaban Soal ke- 5
6
Turunan ke - 1 dari y  x  3 adalah ...
A. 3 x
B. 3x
2
C. 3 x  2
2
D. 3x  3
E. 3 x  1
Soal ke- 6
3
1
Jika f(x) = (2x – 1) maka nilai f (x) adalah …
2
A. 12x – 3x + 12
2
B. 12x – 6x – 3
2
C. 12x – 6x + 3
2
D. 24x – 12x + 6
2
E. 24x – 24x + 6
Pembahasan
f(x)
= (2x – 1)
3
1
2
1
2
f (x) = 3(2x – 1) (2)
f (x) = 6(2x – 1)
1
f (x) = 6(2x – 1)(2x – 1)
1
2
f (x) = 6(4x – 4x+1)
1
2
f (x) = 24x – 24x + 6
Jawaban Soal ke- 6
3
1
Jika f(x) = (2x – 1) maka nilai f (x) adalah …
2
A. 12x – 3x + 12
2
B. 12x – 6x – 3
2
C. 12x – 6x + 3
2
D. 24x – 12x + 6
2
E. 24x – 24x + 6
Soal ke- 7
2
Turunan pertama dari f(x) = (5x – 1)
2
adalah …
3
A. 20x – 20x
3
B. 100x – 10x
3
C. 100x – 20x
4
2
D. 5x – 10x + 1
4
2
E. 25x – 10x + 1
Pembahasan
2
f(x) = (5x – 1)
1
3
2
f (x) = 2(5x – 1) (10x)
1
2
f (x) = 20x (5x – 1)
1
3
f (x) = 100x – 20x
Jawaban Soal ke- 7
2
Turunan pertama dari f(x) = (5x – 1)
2
adalah …
3
A. 20x – 20x
3
B. 100x – 10x
3
C. 100x – 20x
4
2
D. 5x – 10x + 1
4
2
E. 25x – 10x + 1
Soal ke- 8
Turunan pertama dari f(x)  4x 2 3x adalah...
A. (2 x - 4) (2x  8)
D. (4x - 3) (4x2  3x)2
3
2
B. (2 - 4x) (2x  3)
3
C. (4x - 3) (4x2 - 3x)3
2
1
E. (4x  3) (4x2 - 3x) 2
2
Pembahasan
f(x) 
4x 2  3x
1
f(x)  (4x 2  3x) 2
1

1
f1(x)   (4x 2  3x) 2 (8x  3)
2
1

3
f1(x)  (4x  )(4x 2  3x) 2
2
Jawaban Soal ke- 8
Turunan pertama dari f(x)  4x 2  3x adalah...
2
3
A. ( x - 4) (2x  8)
D. (4x - ) (4x 2  3x)2
3
2
2
B. ( - 4x) (2x  3)
3
3
C. (4x - ) (4x 2 - 3x)3
2
1
3
2
E. (4x  ) (4x - 3x) 2
2
Soal ke- 9
Turunan pertama dari
2
f(x) = (3x – 6x) (x + 2)
adalah …
2
A. 3x – 12
D. 9x – 12
2
2
B. 6x – 12
2
C. 6x + 12
2
E. 9x + 12
Pembahasan
f(x)
2
= (3x – 6x) (x + 2)
Cara 1:
2
Misal : U = 3x – 6x
1
U = 6x – 6
V =x+2
1
V =1
Pembahasan
Sehingga:
1
2
f (x) = (6x – 6)(x+2)+(3x +6x).1
1
2
1
2
2
f (x) = 6x +12x – 6x – 12+3x – 6x
f (x) = 9x – 12
Pembahasan
f(x)
2
= (3x – 6x) (x + 2)
Cara 2:
1
-3
1
2
1
2
2
3
f (x) = 3x +6x – 6x – 12x
f (x) = 9x +12x –12x – 12
f (x) = 9x – 12
Jawaban Soal ke- 9
Turunan pertama dari
2
f(x) = (3x – 6x) (x + 2)
adalah …
2
A. 3x – 12
D. 9x – 12
2
2
B. 6x – 12
2
C. 6x + 12
2
E. 9x + 12
Soal ke- 10
(3x  2)
Turunan pertama dari f(x) 
adalah ...
4x - 1
A. 16x 2 - 8x  1
B. 16x 2  8x  1
2
C. 24x - 8x - 1
D. 24x 2 - 8x - 1
- 11
E.
16x 2 - 8x  1
Pembahasan
3x  2
f(x) 
4x - 1
Misal :
U  3x  2
U1  3
V  4x - 1
V1  4
Pembahasan
Maka :
1
f (x) 
1
f (x) 
1
1
U V - UV
V
2
3(4x  1)  (3x  2)4
(4x  1)
2
Pembahasan
1
f (x) 
1
f (x) 
12x  3  12x  8
2
16x  8x  1
 11
2
16x  8x  1
Jawaban Soal ke- 10
(3x  2)
Turunan pertama dari f(x) 
adalah ...
4x - 1
A. 16x 2 - 8x  1
B. 16x 2  8x  1
2
C. 24x - 8x - 1
D. 24x 2 - 8x - 1
- 11
E.
16x 2 - 8x  1
Soal ke- 11
2
Diketahui f(x)  3x - 4x  6
Jika f1 (x)  4. Nilai yang mungkin adalah ...
5
A.
3
4
B.
3
C. 1
2
D.
3
1
E.
3
Pembahasan
f(x)
2
= 3x – 4x + 6
1
f (x) = 6x – 4
 Jika f (x) =
1
4
Pembahasan
Maka :
4  6x  4
4  4  6x
8  6x
6x  8
8
x
6
4
x
3
Jawaban Soal ke- 11
Diketahui f(x)  3x 2 - 4x  6
Jika f1 (x)  4. Nilai yang mungkin adalah ...
5
A.
3
4
B.
3
C. 1
2
D.
3
1
E.
3
Soal ke- 12
2
1
Diketahui f(x) = 5x +3x+7. Nilai f (-2)
Adalah ….
A. -29
D. -7
B. -27
E. 7
C. -17
Pembahasan
f(x)
1
f (x)
2
= 5x – 3x + 7
= 10x – 3
1
Maka untuk f (-2) adalah…
1
f (-2) = 10(-2)+3
1
f (-2) = -20+3
1
f (-2) = -17
Jawaban Soal ke- 12
2
1
Diketahui f(x) = 5x +3x+7. Nilai f (-2)
Adalah ….
A. -29
D. -7
B. -27
E. 7
C. -17
Soal ke- 13
3
2
Diketahui f(x)  2x - 4x  5x  16
1 1 
Nilai f   adalah ...
2
A. - 6
C. 0
B. - 3
D. 3
E. 6
Pembahasan
3
2
f(x)  2x - 6x  5x - 16
"
2
f (x)  6x - 12x  5
"
f (x)  12x - 12
"1 
Maka untuk f   adalah ...
2
Pembahasan
"1 
1

f    12   - 12
2
2
"1 
f    6 - 12
2
"1 
f    -6
2
Jawaban Soal ke- 13
3
2
Diketahui f(x)  2x - 4x  5x  16
1 1 
Nilai f   adalah ...
2
A. - 6
C. 0
B. - 3
D. 3
E. 6
Soal ke- 14


6
1 2
Turunan pertama dari f(x)  3x  4x adalah...
2
1
2
5
A. f (x)  (18x - 12) (3x - 1)
1
2
5
B. f (x)  (18x - 2) (3x  2)
1
2
3
C. f (x)  (18x - 12) (3x - 4x)
1
2
3
D. f (x)  (18x - 12) (3x - 4x)
1
2
3
E. f (x)  (18x - 12) (2x - 4x)
Pembahasan
1
2
6
f(x)  (3x  4x)
2
1
1
2
6 1
f (x)  6. (3x  4x)
(6x  4)
2
1
2
5
f (x)  3(3x  4x) (6x  4)
1
2
5
f (x)  (18x  12)(3x 4x)
Jawaban Soal ke- 14


6
1 2
Turunan pertama dari f(x)  3x  4x adalah...
2
1
2
5
A. f (x)  (18x - 12)(3x - 1)
1
2
5
B. f (x)  (18x - 2)(3x  2)
1
2
5
C. f (x)  (18x - 12)(3x - 4x)
1
2
5
D. f (x)  (18x - 12)(3x - 4x)
1
2
5
E. f (x)  (18x - 12)(2x - 4x)
Soal ke- 15
1 1
2
Diketahui f(x)  6x  3x  1 untuk f ( )
2
maka nilai x yang mungkin adalah...
1
A.
3
2
B.
3
C. 1
4
D.
3
5
E.
3
Pembahasan
2
f(x)  6x  3x  1
f1 (x)  12x - 3
1
untuk f (x) 
2
maka :
1
 12x - 3
2
       x2
1
Pembahasan
2  24x  6
2  6  24x
8  24x
24x  8
8
x
24
1
x
3
Jawaban Soal ke- 15
1 1
2
Diketahui f(x)  6x  3x  1 untuk f ( )
2
maka nilai x yang mungkin adalah...
1
A.
3
2
B.
3
C. 1
4
D.
3
5
E.
3
Soal ke- 16
Turunan pertama dari :
f(x) 
4
2x - 1 adalah...
8
A. 4 x  1
C. 8x - 2
B. 8x  2
D. 8x - 4
E. 8x  4
Pembahasan
f(x)  (2x - 1)
4
f(x)
8
 (2x - 1) 4
f(x)  (2x - 1)
2
8
Pembahasan
1
f (x)  2(2x  1)(2)
1
f (x)  4(2x  1)
1
f (x)  8x  4
Jawaban Soal ke- 16
Turunan pertama dari :
f(x) 
4
2x - 1 adalah...
8
A. 4 x  1
C. 8x - 2
B. 8x  2
D. 8x - 4
E. 8x  4
Soal ke- 17
Turunan pertama dari y 
3
1
2x - 1
6
untuk y  2. Maka nilai x yang mungkin
adalah...
31
A. 25
B. - 1
C. 0
D. 1
E.
31
25
Pembahasan
y  (5x  6)
3
y  (5x
6
6
- 6) 3
y  (5x - 6)
2
y  2(5x - 6) (5)
1
y  10(5x - 6)
Pembahasan
1
Untuk y  2, maka :
2  50x - 60
2  60  50x
50x  62
62
x
50
31
x
25
Jawaban Soal ke- 17
Turunan pertama dari y 
3
1
2x - 1
6
untuk y  2. Maka nilai x yang mungkin
adalah...
31
A. 25
B. - 1
C. 0
D. 1
E.
31
25
142