Transcript Document 9651055

Matakuliah
Tahun
: J0572 – Matematika Ekonomi
: Genap 2008/2009
POKOK BAHASAN
Pertemuan 8
Diferensial Fungsi Sederhana
Materi
•Kuosien Diferensi dan Derivatif
•Kaidah-kaidah Diferensial
Bina Nusantara University
3
Diferensial Fungsi Sederhana
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu
fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel
bebas fungsi yang bersangkutan.
Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x
sebesar ∆x, maka bentuk persamaannya menjadi:
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
Bila persamaan tersebut di bagi ∆x di ruas kanan dan kiri
maka:
x
f ( x  x)  f ( x)
y
Bentuk x
quotient) y
Bina Nusantara University

x
disebut hasil bagi perbedaan (difference
Derivatif
• Proses penurunan sebuah fungsi, disebut juga proses
pendiferensian atau diferensial adalah merupakan
penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam hal
pertambahan variabel bebasnya sangat kecil atau
mendekati nol.
• Derivatif atau turunan adalah hasil yang diperoleh dari
proses diferensial. Notasi turunan fungsi biasanya dy/dx
(baca “deye deeks” dan bukan “deye bagi deeks”}
• Contoh Soal
Tentukan kuosien diferensi dan turunannya dari y = f(x) = 3x2-x.
Bina Nusantara University
Kaidah-kaidah Diferensiasi
1. Diferensiasi konstanta
Jika y=k, dimana k adalah konstanta, maka
Contoh: y=7, maka dy  0
dy
0
dx
dx
2. Diferensiasi fungsi pangkat
y=xn,
Jika
dimana n adalah konstanta, maka
Contoh: y= x7, maka dy  7 x 71  7 x 6
dy
 nx n 1
dx
dx
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
dy
dv
Jika y = kv, dimana v = h(x), dx  k dx
Contoh: y= 2 x7, maka dy  2(7 x 7 1 )  14 x 6
dx
Bina Nusantara University
Kaidah-kaidah Diferensiasi
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi
Jika y=k/v, dimana v = h(x), maka
dy
kdv / dx

v2
dx
5
dy
5(3x 2 )
15x 2
y  3 , maka   3 2   6
Contoh:
x
dx
(x )
x
5. Diferensiasi penjumlahan/pengurangan fungsi
Jika y= u ± v, di mana u = g(x) dan v = h(x), maka
dy
du
dv


dx
dx
dx
6. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika y= u.v, di mana u = g(x) dan v = h(x), maka
dy
dv
du
 u
 v
dx
dx
dx
Bina Nusantara University
Kaidah-kaidah Diferensiasi
7. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika y= u/v, di mana u = g(x) dan v = h(x), maka
dy

dx
v
du
dv
u
dx
dx
2
v
8. Diferensiasi fungsi berantai (komposit)
Jika y=f(u) dan u = g(x), maka
dy
dy du

.
dx
du dx
9. Diferensiasi fungsi berpangkat
Jika y= [f(x) ]n, di mana n adalah konstanta maka
Bina Nusantara University
dy
n1
 n f ( x) f ' ( x)
dx
Kaidah-kaidah Diferensiasi
10. Diferensiasi fungsi invers
Jika
y= f(x) dan x = g(y) adalah kebalikannya yang dapat
dideferensiasikan, maka
dy
1

dx
dy / dx
11. Diferensiasi fungsi logaritma biasa
Jika y= alog x, maka
dy
1

dx
x ln a
12. Diferensiasi fungsi komposit logaritma
Jika y=
Bina Nusantara University
alog
u, di mana u = g(x) maka
a
dy
log e du

.
dx
u
dx
Kaidah-kaidah Diferensiasi
13. Diferensiasi fungsi komposit logaritma berpangkat
Jika y= (alog u)n, di mana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka
dy dy a log e du

.
dx du u
dx
14. Diferensiasi fungsi logaritma dengan bilangan pokok e
Jika y= ln x, maka
dy
1

dx
x
15. Diferensiasi fungsi komposit logaritma dengan bilangan
pokok e
Jika y= ln u, di mana u = g(x) maka
dy
1 du

.
dx
u dx
Bina Nusantara University
Kaidah-kaidah Diferensiasi
16. Diferensiasi
fungsi
komposit
logaritma–Napier
berpangkat
Jika y= (ln u)n, di mana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka
dy dy 1 du

.
dx du u dx
17. Diferensiasi fungsi eksponsial
Jika y= ax, maka
dy
 a x ln a
dx
18. Diferensiasi fungsi komposit eksponensial
Jika y= au, di mana u = g(x) maka
Bina Nusantara University
dy
du
 a u . ln a
dx
dx