Transcript Limit Fungsi 2

LIMIT FUNGSI
Pengertian Secara Intuisi
Coba Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut.
1 . f ( x )  x  1 , p a d a [0 , 2 ].
2
2. g ( x ) 
x 1
x1
p ad a [0 , 2 ] d an x  1.
 x  1,
3. h ( x )  
 x  1,
0x1
1x2
.
1.
2.
3.
Dari grafik fungsi yang kamu peroleh, apa yang dapat
kamu katakan tentang nilai-nilai ketiga fungsi tersebut
di semua titik pada interval ? .
Bagaimanakah nilai-nilai ketiga fungsi di atas di titik
dengan menentukan (jika ada) nilai dari ?
Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar
(dekat) baik dekat di sebelah kiri maupun dekat di
sebelah kanan , dengan melengkapi tabel berikut.
4.
Berdasarkan tabel dan grafik yang telah kamu peroleh,
maka dapat kita simpulkan untuk ketiga fungsi di atas
mengenai nilai fungsi di titik-titik yang dekat dan
semakin dekat dengan , sebagai berikut.
a. Untuk fungsi f. Apabila x mendekati 1 (baik dari kiri
maupun dari kanan) maka nilai f(x) …………….........
b. Untuk fungsi g. ...............................................................
.............................. ..............................................................
c. Untuk fungsi h. ................................................................
............................................................................................
Dalam lambang matematik, kesimpulan a) dituliskan sebagai
lim f ( x )  2 , dibaca " limit f(x) untuk x mendekati 1 sama
dengan 2".
Dalam hal ini 2 dikatakan sebagai nilai limit f(x) di x = 1.
Untuk b) dituliskan sebagai ...................................................
Untuk c) dituliskan sebagai ...................................................
x1
Dengan menggunakan hasil pekerjaan kamu tadi,
sekarang coba kamu definisikan dengan kalimat
sendiri tentang pengertian limit fungsi f untuk x
lim f ( x )  L
mendekati c sama dengan L, yaitu .
Definisi 1 (Pengertian limit fungsi secara intuisi)
lim f ( x )  L berarti ...........................................................
......................................................................................
....... ..............................................................................
......................................................................................
....................................................................................
x c
x c
Soal Pemantapan 1
Dari definisi yang kamu buat, sekarang periksalah tentang keberadaan
(ada tidaknya) nilai limit fungsi berikut.
1. f (x )  2 x  1 di x  2.
.
3. f ( x ) 
2x  1
x1
2
d i x  2.
2
5. f ( x ) 
2
2. f ( x )  x  5 x  1 d i x  0.
x  2x  8
x2
4. f ( x ) 
x  2x  8
x1
 2 x  1,
d i x   2. 6. f ( x )   2
 x  1,
d i x   2.
x1
x1
di x  1.
7. f d ib e rik an se p e rti g am b ar b e rik u t d i x   1.
Limit Satu Sisi (Sepihak)
Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut, kemudian
selidikilah limit fungsi di x = 0.
x  1,
1. f ( x )  
x  1,
 1
,

3. h ( x )   x
x  1,

x0
x0
x  1,

2. g ( x )   1
,

 x
.
x0
x0
x0
.
.
x0
Apa yang dapat kamu simpulkan mengenai nilai limit
ketiga fungsi di atas?
1.
Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar
(dekat) pada sebelah kiri , dengan melengkapi tabel
berikut?
Dari tabel dan grafik disimpulkan untuk ketiga fungsi di
atas mengenai nilai fungsi di titik-titik yang dekat dan
semakin dekat dengan dari sebelah kiri, sebagai berikut.
a. Untuk fungsi f. Apabila x mendekati 1 dari sebelah
kiri maka nilai f(x) …………
b. Untuk fungsi
g............................................................................
c. Untuk fungsi
h............................................................................
Dalam lambang matematik, kesimpulan a) dituliskan sebagai ,
lim f ( x )  0 dibaca " limit kiri f ( x ) untuk x mendekati 1 sama
dengan 0".
Dalam hal ini 0 dikatakan sebagai nilai limit kiri f(x) di x = 1.
x1

Tuliskan dalam lambang matematik masingmasing untuk kesimpulan b) dan
kesimpulan c).
Dengan menggunakan hasil pekerjaan kamu di atas, sekarang
coba kamu definisikan dengan kalimat sendiri tentang
pengertian limit kiri fungsi f untuk x mendekati c sama
dengan L, yaitu lim f ( x )  L
Definisi 2 (Pengertian limit kiri fungsi secara intuisi)
lim f ( x )  L berarti .................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
xc
xc


Analog dengan cara pendefinisian limit kiri di atas, coba
kamu definisikan dengan kalimat sendiri tentang
pengertian limit kanan fungsi f untuk x mendekati c sama
dengan L, yaitu lim f ( x )  L
Definisi 3 (Pengertian limit kanan fungsi secara intuisi)
lim f ( x )  L berarti ................................................................................
.........................................................................................................
........................................................................................................
xc
xc


Setelah kamu memahami konsep limit, limit kiri dan limit
kanan, berikan komentar kamu tentang hubungan
antara limit, limit kiri, dan limit kanan berikut.
Jika limit suatu fungsi f(x) ada untuk x mendekati c, maka
limit kiri dan limit kanan dari f(x) untuk x mendekati c
ada dan sama dengan nilai limit tersebut. Demikian
sebaliknya, jika limit kiri dan limit kanan f(x) untuk x
mendekati c ada dan bernilai sama, maka limit f(x)
untuk x mendekati c ada dan sama dengan niliai limit
sepihak tadi.
Selanjutnya tulislah dengan kalimat sendiri pernyataan
yang setara dengan pernyataan di atas.
Bandingkan pernyataan kamu dengan teorema berikut.
Teorema 1
lim f ( x )  L jika dan hanya jika lim f ( x )  L dan lim f ( x )  L .
x c
x c

xc

Refleksi
Setelah mempelajari konsep limit, limit kiri, dan limit
kanan, bagaimana cara kamu mengetahui keberadaan
limit suatu fungsi di suatu titik, kemudian berikan
contoh cara kamu tersebut?
……………………………………………………………………
………………………..……………………. …………………
… ………………………………………………………..……
………………………………. ……….....................................
Teknik Menghitung Limit
Sekarang bagaimana kita menghitung nilai limit suatu
fungsi satu persamaan di suatu titik . Coba kamu hitung
limit fungsi berikut di titik x = 1 , kemudian di titik x = 2.
• Fungsi Konstan f ( x )  2
• Fungsi Linear f ( x )  2 x  3
• Fungsi Kuadrat f ( x )  x  2 x  3
• Fungsi Suku Banyak (Polinom) f ( x )  x  x  x  2 x  3
• Fungsi Rasional f ( x )  x  2 x  3
2
4
3
2
2
2
x 1
• Fungsi Irrasional

f (x )  

x2 
x1
3 


Dari hasil perhitungan kamu, apa yang dapat kamu
simpulkan tentang cara/teknik menghitung limit fungsi
satu persamaan?