Transcript TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL FUNGSI)

BAB II
TURUNAN FUNGSI
TURUNAN FUNGSI
(DIFERENSIAL FUNGSI)
PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI
A. LAJU PERUBAHAN NILAI FUNGSI
A.1 LAJU PERUBAHAN RATA-RATA
V rata - rata 
Δs
Δt
PENGANTAR ILUSTRASI
Seorang murid mengendarai motor dari
rumah ke sekolah yang jaraknya 15 km. Ia
berangkat dari rumah pukul 06.00 dan jarak
yang ditempuh dicatat setiap 5 menit dengan
cara mengamati spidometer pada
motornya.Catatan jarak yang ditempuh setiap
5 menit adalah sbb:
Jarak
Waktu
06.00 - 06.05
2,5
06.05 - 06.10
1,25
06.10 - 06.15
2,5
06.15 - 06.20
2,5
06.20 - 06.25
3,75
06.25 - 06.30
2,5
Pertanyaan
?
Kecepatan
rata - rata siswa itu mengendara
Motor dari Rumah
ke Sekolah adalah.... .
i
KECEPATAN RATA-RATA DALAM
INTERVAL WAKTU
t1  t  t 2
KECEPATAN RATA-RATANYA
RUMUSNYA SBB :
V rata - rata 
Δs
Δt

f(t 2 )  f(t 1 )
t 2  t1
CONTOH 1
Gerak sebuah benda ditentukan dengan
persamaan s=f(t)=4t-5 (s dalam meter dan t
dalam detik). Tentukan besar kecepatan sesaat
untuk waktu-waktu berikut ini :
a). t=2 detik
b). t=5 detik
Jawab a
Kecepatan
sesaat : Limit
maka Limit
h  0
maka Limit
h
{8  4 h)  5}  {8 - 5}
h
3  4h  3
h  0
h  0
 Kecepatan
a f(t)  4t - 5
4{(2  h)  5}  { 4(2) - 5}
h  0
 Limit
, Lintasanny
h
h  0
 Limit
, jika a  2
h
f(2  h)  f(2)
h  0
 Limit
f(a  h)  f(a)
h
4h
4
h
sesaat pada saat t  2 detik adalah 4 m/detik
Jawab b
Kecepatan
f(a  h)  f(a)
sesaat : Limit
maka Limit
h  0
maka Limit
h
{20  4 h)  5}  { 20 - 5}
h
15  4h  15
h  0
 Limit
h  0
 Kecepatan
a f(t)  4t - 5
4{(5  h)  5}  { 4(5) - 5}
h  0
 Limit
, Lintasanny
h
h  0
 Limit
h
f(5  h)  f(5)
h  0
, jika a  5
h
4h
4
h
sesaat pada saat t  5 detik adalah 4 m/detik
CONTOH 2
Sebuah bola berjari - jari r cm sehingga
volume
bola itu adalah V  f(r) 
4
3
πr ,
3
Tentukan
laju perubahan
volumebola
terhadap
jari - jari r ketika r  2 cm.
V
Jawab
Kecepatan
f(a  h)  f(a)
sesaat : Limit
h  0
h
f(2  h)  f(2)
maka Limit
h  0
a f(r) 
, Lintasanny
h
4
4
3
3
h
 {8  3 ( 2 ) h  3 ( 2 )( h )  h }  {
2
2
3
3
32
  16  h  8 h 
2
3
4
h }  {
3
32
3
h  0
h
16  h  8 h 
2
4
h
3
3
 Limit
h
h (16   8 h 
4
h )
2
3
 Limit
h  0
}
h
{
h  0
32
3
h  0
 Limit
3
3
4
 Limit
πr
 {(2  h) }  {  (2) }
h  0
h
 16 
 Volume
4
3
3
maka Limit
, jika a  2
bola pada saat r  2 cm adalah 16 
3
}
SOAL LATIHAN
Tentukan
laju perubahan
sesaat nilai fungsi
berikut ini pada titik yang disebutkan
a). f(x)  3 2x pada x  2
b). f(x)  2x  1, pada x  1
3
:
Definisi Turunan Fungsi
f ' (a)  Limit
h  0
f(a  h)  f(a)
h
,
CONTOH 1.
Carilah tu
runan fungsi f(x)  3 - 2x,
pada x  1
JAWAB
f(x)  3 - 2x, pada x  1 adalah f ' (1)
f ' (1)  Limit
f(1  h) - f(1)
h  0
f ' (1)  Limit
h
{3 - 2(1  h)} - {3 - 2(1)}
h  0
f ' (1)  Limit
h  0
Jadi turunan
adalah
h
 2h
h
 Limit  2   2
h  0
fungsi f(x)  3 - 2x, pada x  1
f ' (1)  -2
CONTOH 2
Turunan
Fungsi f(x)  4x  3 x  2 ,
2
pada x  a, mempunyai
hitunglah
nilai
a
nilai 13,
Jawab
Turunan
fungsi f(x)  4x  3 x  2 , pada x  2
2
adalah f ' (a)  Limit
f(a  h) - f(a)
h  0
h
{ 4 ( a  h )  3 ( a  h )  2}  { 4 ( a )  3 a  2}
2
 Limit
2
h  0
 Limit
h
2
{4(a
 2 ah  h )  3 a  3 h  2}  { 4 a  3 a  2}
2
2
h  0
 Limit
h
{4a
2
 8 ah  4 h )  3 a  3 h  2}  { 4 a  3 a  2}
2
2
h  0
h
{8 ah  4 h )  3 h }
2
 Limit
h  0
 Limit
h
h{ 4 h  8 a  3}
h  0
{ 4 h  8 ah  3 h }
2
 Limit
h  0
h
 Limit 4 h  8 a  3  8 a  3
h  0
h
8a - 3  13  8a  16
 a 2
Jadi turunan
fungsi f(x)  4x  3 x  2 pada x  a mempunyai
nilai  13 untuk nilai a  2
2
SOAL LATIHAN
1. Carilah tu
runan dari fungsi - fungsi
berikut
untuk nilai - nilai x yang disebutkan
a.
f(x)  5 - 2x, pada x  4
b.
f(x)  x  x , pada x  2
3
2. Diketahui
f(x) 
2
1
x  2 x  7 x , dengan
3
2
3
daerah asal D f  { x / x  R }
a.
Carilah f ' (a) dengan a  R
b.
Jika f ' (a)  19, carilah nilai a yang mungkin
TEOREMA UMUM TURUNAN FUNGSI
TEOREMA
1.
FUNGSI KONSTAN
Jika f(x)  k dengan
f ' (x)  0. atau
dk
k konstan
maka :
0
dx
BUKTI :
f ' (x)  Limit
f(x  h) - f(x)
h  0
 Limit
h
k-k
h  0
h
 Limit 0  0
h  0
(Terbukti
)
CONTOH
Hitunglah
Jawab
Limit 5
h  0
:
f ' (x)  Limit
f(x  h)  f(x)
h  0
 Limit
h  0
h
5 5
h
 Limit 0  0
h  0
FUNGSI IDENTITAS
TEOREMA
2.
FUNGSI
IDENTITAS
Jika f(x)  x, maka f ' (x)  1
atau
d
dx
(x )  1
BUKTI :
f ' (x)  Limit
h  0
 Limit
f(x  h)  f(x)
h
xh-x
h  0
 Limit
h
h
h  0
h
 Limit 1  1
h  0
(Terbukti
)
FUNGSI PANGKAT
TEOREMA
3.
FUNGSI PANGKAT
Jika
f(x)  x dan n bilangan
n
f ' (x)  nx
n-1
atau
d
rasional,
(x )  nx
n
maka
n-1
dx
BUKTI :
f ' (x)  Limit
h  0
f(x  h) - f(x)
h
(x  h)  x
n
 Limit
h  0
n
h
 n  n  n  n-1
 n  n -2 2
  x    x h    x h  ... 
0 
1 
2
 Limit
h  0
h
  n  n - 1  n  n -2

n 1
 Limit    x    x h  ...  h 
h  0
2 
 1 

 n  n-1
   x
 nx
1 
n-1
( Terbukti
).
n  n
n
 h  x
n 
CONTOH
Carilah
Turunan
a.
f(x)  x
3
b.
f(x)  x
100
c.
f(x)  5x
fungsi
dari fungsi
- fungsi
berikut
:
50
SOLUSINYA : a.
f(x)  x , n  3 maka f ' (x)  nx
3
b.
f(x)  x
c.
f(x)  5x
100
50
n-1
 3x
, n  100, maka f ' (x)  nx
, n  50, maka f ' (x)  nx
n-1
n-1
3 1
 3x
 100x
 5 .50 x
2
100  1
50 - 1
 100x
 250x
49
99
AKTIVITAS SISWA
1.
2.
Tentukan
Turunan
a.
f(x)  4
b.
f(x)  x
c.
f(x)  x
Buktikan
bulat
5
-3
- fungsi
3 benar
dan pecahan
berikut
d.
f(x)  x
10
e.
f(x)  x
-2
f(x)  x
1
4
f.
Teorema
negatif
dari fungsi
untuk
n bilangan
:
HASIL KALI KONSTANTA DENGAN
FUNGSI
TEOREMA
4.
HASIL KALI KONSTANTA DENGAN
Jika f suatu
didefinisi
fungsi,
c suatu
dan g fungsi
kan oleh g(x)  c.f(x) dan f ' (x) ada, maka :
d
g ' (x)  c.f ' (x) atau
dx
BUKTI :
konstanta,
FUNGSI
g ' (x)  Limit
g(x  h) - g(x)
h  0
 Limit
c.f(x)   c.
h
c.f(x  h) - c.f(x)
h  0
h
 Limit c.
 f(x  h) - f(x) 


h


 c.f ' (x)
( Terbukti
h  0
)
d
dx
f(x)   c.f
' (x)
yang
CONTOH
1.
Tentukan
Turunan
a.
f(x)  5x
b.
f(x)  100x
c.
f(x) 
6
50
x
fungsi
f(x) berikut
:
SOLUSINYA :
a.
f(x)  5x
, f ' (x)  5.g ' (x)
50
 5.50x
90
55
49
 250x
49
f(x)  100x
90
5
b.
, f ' (x)  100.g ' (x)
 100.90x
 9000x
c.
f(x) 
6
89
89
x , f ' (x) 
55
5

6
6
5
. 55x
5
 66x
54
54
.g ' (x)
AKTIVITAS SISWA
Tentukan
a.
f(x) 
Turunan
2
x
3
fungsi
f(x) berikut
d.
:
f(x) 
3
b.
f(x) 
c.
f(x) 
- 15
- 35
110x
50
2x
55x
e.
20
100x
88
f(x) 
50x
- 50
5x
- 32
.x
3
10
JUMLAH DUA FUNGSI
TEOREMA
5.
JUMLAH DUA FUNGSI
Jika U dan V adalah
yang dapat
maka
atau
fungsi
diturunkan
- fungsi
dan y  f(x)  U(x)  V(x),
y '  f ' (x)  U' (x)  V' (x)
d
dx
(U  V)  U'  V'
dari x
BUKTI
f ' (x)  Limit
h  0
 Limit
f(x  h) - f(x)
h
u(x  h)  v(x  h)   u(x)  v(x) 
h  0
h
v(x  h) - v(x) 
 u(x  h)  u(x)
 Limit



h  0
h
h


 Limit
u(x  h)  u(x)
h  0
 u' (x)  v' (x)
h
 Limit
h  0
( Terbukti
)
v(x  h) - v(x)
h
SELISIH DUA FUNGSI
TEOREMA
6.
SELISIH DUA FUNGSI
Jika U dan V adalah
diturunkan
fungsi
dx
dari x yang
dan y  f(x)  U(x) - V(x), maka
y '  f ' (x)  U' (x) - V' (x) atau
d
- fungsi
(u  v)  u' - v'
dapat
CONTOH 1
Tentukan
Turunan
dari f(x)  6x  7 x  2
2
SOLUSINYA :
f(x)  6x  7 x  2
2

f ' (x) 
d
(6 x ) 
2
dx
6
d
(7 x ) 
dx
d
(x )  7
2
dx
 6.2x - 7.1  0
 12x - 7
d
(2)
dx
d
dx
(x) 
d
dx
(2)
CONTOH 2
Sebuah
perusahaan
menaksir
bahwa
barang
dibutuhkan
biaya produksi
untuk
sebesar
memproduks
C(x) 
1
i x unit
x  30 x  180
2
8
ribuan
rupiah.
Tentukan
biaya marjinal
dari biaya produksiny
a.
SOLUSINYA :
 C  C(x  h) - C(x) dengan
Biaya Marginal
C' (x) 


d 1 2

x  30 x  180

dx  8

d 1 2 
d
d

180
x 
30 x  


dx  8
dx
 dx
1 d
(x )  30
2
8 dx
1
 .2 x  30 .1
8

1
4
x  30
d
dx
(x)  0

h  1 sehingga
berlaku
:
AKTIVITAS KELAS
CARILAH TURUNAN FUNGSI - FUNGSI BERIKUT :
a.
f(x)  4x  2 x  5 x
b.
f(x)  (6 - 2x)
c.
f(x)  2x 
3
2
2
2
2
x
2
PERKALIAN DUA FUNGSI
TEOREMA
7.
PERKALIAN DUA FUNGSI.
Jika U dan V fungsi
- fungsi
diturunkan
dari x
dan f(x)  U(x).V(x),
yang
dapat
maka
f ' (x)  U' (x).V(x)  U(x).V' (x)
atau :
d
dx
(U.V)  U'.(V)  U.(V' )
BUKTI
f ' (x)  Limit
h  0
 Limit
h  0
 Limit
f(x  h) - f(x)
h
u(x  h).v(x  h) - u(x).v(x)
h
u(x  h).v(x  h) - u(x  h).v(x)  u(x  h).v(x) - u(x).v(x)
h  0
 Limit
h  0
u(x  h)  v(x  h) - v(x) 
h  0
. Limit
v(x). u(x  h) - u(x)
h  0
h
 Limit u(x  h). Limit
h
v(x  h) - v(x)
h  0
 U(x).V' (x)  V(x).U' (x)
h
( Terbukti

h
 Limit v(x). Limit
h  0
)
h  0
u(x  h) - u(x)
h
CONTOH
Gunakan
Teorema
SOLUSINYA
7 untuk
turunan
:
U(x)  3x  2 dan V(x)  x  x
2
Misalkan
4
U' (x)  6x
Masukan
mencari
ke dalam
dan V' (x)  4x  1
3
teorema
7 didapat
:
f ' (x)  U(x).V' (x)  U' (x).V(x)
 (3x
2
 2).(4x
3
 1 )  ( 6 x )( x  x)
4
 12x
5
 8x  3x  2  6x  6x
 18x
5
 8x  9x  2
3
3
2
2
5
2
pertama
f(x)  (3x
2
 2)(x
4
 x)
PEMBAGIAN DUA FUNGSI
TEOREMA
8.
PEMBAGIAN DUA FUNGSI.
Jika U dan V fungsi
dan f(x) 
U(x)
- fungsi
dari x yang
dapat
diturunkan
, V(x)  0, maka
V(x)
f ' (x) 
U' (x).V(x) - U(x).V' (x)
V(x) 
2
atau
d  U  U' V  UV'

2


dx  V 
V
,
CONTOH
3x  10
2
Gunakan
Teorema
8 untuk
mencari
f(x) 
turunan
x 9
3
SOLUSINYA :
U(x)  3x  10

V(x)  x  9
 V' (x)  3x
2
Misalkan
3
Berdasarka
f ' (x) 

n Teorema
8 didapat
U' (x).V(x) - U(x).V' (x)
V(x) 2
(6x  10).(x
3
U' (x)  6x

 9)  (3x
2
2
:
(6x)(x
3
 9) - (3x
3
 10x)(3x
2
)
3
4


- 3x
 10x
3
 54x  90  9x
(x  9)
3
4
 40x
3
 54x  90
(x  9)
3
 10).(3x
(x  9)
(x  9)
6x
2
4
 30x
3
2
)
AKTIVITAS SISWA
Hitunglah
Turunan
Fungsi
3x  2 x  1
- fungsi
berikut
2
a.
f(x) 
3b.
f(x) 
5x  2
1
x
x5
:
4x  3x
2
c.
f(x) 
x  10x - 1
3
3x  4x - 3
2
d.
f(x) 
x - 2x  1
2
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
1.
Y  Sinx
2.
Y  Cosx
3.
Y  Tanx
dan
1. TURUNAN Y=SIN X
F(X)  SIN X
Jika Y  Sin x,
Y' (x)  Cos x
maka
BUKTI :
f ' (x)  Limit
f(x  h) - f(x)
h  0
2Cos
 Limit
h
1
h  0
1
(2x  h)Sin
h  0
 Limit Cos(x 
h
x
h
Sin
1
2
1
2
h
1
2
h). Limit
1
2
h)  Cosx
h  0
(Gunakan
Rms)
h
2
h  0
h  0
 Limit
2
 Limit Cos(x 
Sin(x  h)  Sinx
h
1
2
1
2
 Limit
Cos(x 
h  0
1
2
 Limit Cos(x 
h  0
( Terbukti
1
2
)
1
2
h)Sin
h
h).1
1
2
h
Sin α - Sin β
2. TURUNAN Y=COS X
F(X)  COS X
Jika Y  Cos x,
Y' (x)  - Sin x
maka
BUKTI :
f ' (x)  Limit
f(x  h) - f(x)
h  0
 Limit
h  0
h
- 2Sin
1
 Limit - Sin(x 
h  0
 Limit - Sin(x 
h
2
2
x
h
Sin
1
2
h). Limit
1
2
h)   Sinx
h  0
(Gunakan
Rms)
h
1
(2x  h)Sin
h  0
h  0
Cos(x  h)  Cosx
 Limit
1
2
1
2
h
h
1
2
1
2
 Limit
- Sin(x 
h  0
1
2
 Limit - Sin(x 
h  0
( Terbukti
1
2
)
1
2
h)Sin
h
h).1
1
2
h
Cos α - Cos β
3. TURUNAN Y=TAN X
Jika Y  TAN X 
Y' (X)  SEC X
2
BUKTI :
Sin x
Y  Tan x 
U(x)

Cos x
Y' (x) 
(Gunakan
Rms. Hasil bagi dua fungsi)
V(x)
U' (x).V(x) - U(x).V' (x)
V(x) 
2
U(x)  Sinx
dimana
 U' (x)  Cosx
dan V(x)  Cosx  V' (x)  -Sinx
Y' (x) 
Cosx.Cosx
- Sinx(-sinx
2
)
Cos x  Sin x
2

1
 Sec x
2
2
Cos x
2
2
Cos x

di dapat
Cos x
( Terbukti
)
maka
CONTOH
Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:
1. f(x) = 4sinx – 2cosx
2. f(x) = 2sinxcosx
SOLUSINYA
1. f(x) = 4sinx – 2cosx
f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx
=4cosx+2sinx
2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x
f ‘(x) = d2x.dsin2x
=2cos2x
Buktikan
Turunan dari
1. y= cosecx
2. Y=secx
3. Y=cotx
AKTIVITAS SISWA
Tentukan
Turunan
Fungsi
- fungsi
berikut
:
a.
y  sin (ax  b)
f.
y  3sin2x
 4cos2x
b.
y  cos(ax  b)
g.
y  1 - sin x
c.
y  tan ax
h.
y  - 2sin
d.
y  tan (ax  b)
i.
y  cos x  sin x
e.
y  2sinx  4cos2x
j.
y  4cos
2
2
x 1
2
2
2
x- 4
TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI
DENGAN ATURAN RANTAI
TEOREMA
9. DALIL RANTAI
Jika y  f(u) merupakan
fungsi
dari u yang
dapat
diturunkan
dan u  g(x) merupakan
fungsi
dari x yang
dapat
diturunkan
serta y  f(g(x)) merupakan
fungsi
maka :
y' (x) 
atau
d
dx
dy
dx
(f(g(x))  f' (g(x)).g' (x)

dy
du
.
du
dx
dari x yang
dapat
diturunkan
CONTOH
Tentukan
y  (4x
2
Turunan
 5 x  3)
dari :
6
SOLUSINYA :
U  4x
dy
2
 5 x  3 maka
 6U  6(4x
5
2
y U
 5x  3)
6
5
du
du
 8x  5

dx
dy
dx

dy
.
du
du
dx

 6(4x

 ( 48x - 30 )(4x
2
 5x  3) .8x  5
5
2
 5x  3)
5
CONTOH 2
Carilah
Turunan
y  (x  2)(x  3)
dari fungsi
4
berikut
ini :
AKTIVITAS SISWA
1.
Tentukan
dy
pada soal berikut
ini
dx
2.
a.
y  3u
15
b.
y  4u
-3
Tentukan
dan u  2x - 1
dan u  x  2 x
2
Turunan
fungsi
a.
f(x) 
7x - 2x  5
b.
f(x)  x  3 x  1 
2
2
3
2
berikut
:
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
DISUATU TITIK PADA KURVA
h
Q(x+h,f(x+h))
f(x+h)-f(x)
g
P(X,f(X))
l
Gradien
adalah
x
x+h
Garis singgung
f ' (x)  Limit
h  0
kurva di titik P
f(x  h)  f(x)
h
RINGKASAN MATERI
1.
Gradien
Garis Singgung
f ' (x)  Limit
h  0
2.
Persamaan
gradiennya
di titik P(x, y) adalah
f(x  h) - f(x)
m
h
Garis singgung
m adalah
3.
Jika
garis saling
4.
Jika
garisnya
tegak
sejajar
di titik P(x 1 , y 1 ) dengan
: y - y 1  m(x  x 1 )
lurus maka
maka
m 1 .m 2   1
m1  m2
CONTOH SOAL 1
Tentukan
persamaan
garis
singgung
di titik (3,9) pada kurva y  x
SOLUSINYA :
y  x
2
 y'  2x pada titik (3,9), maka y (3)  2.3  6  m
'
persamaan
garis
singgung
y - y 1  m( x - x 1 )
y-9
 6(x - 3)
y
 6x - 18  9
y
 6x - 9
di (3,9) adalah
:
2
CONTOH SOAL 2
Tentukan
persamaan
garis
π 1
di titik ( ,
4 2
singgung
SOLUSINYA :

y  sinx  y'  cosx
Persamaan
garis
 y' ( 4 )  cos
singgung
di (
π 1
,
4 2

4

1
2  m
2
2 ) adalah
y - y 1  m(x  x 1 )
y-
1
2
2 
1
2
2 (x 

)  y 
4
1
2
2x 
1
2
2 (1 

4
)
2 ) pada kurva y  sinx
AKTIVITAS SISWA
1.
2.
Gambarlah
f(x)  x  2 x  1 pada interval
2
grafik
kemudian
gambarlah
x  -1,1,0,
1
Carilah
garis singgung
-5  x 5
kurva tersebut
di
, dan 4
2
persamaan
garis singgung
pada kurva berikut
a.
y  x - 3x - 40,.di (1,-42)
b.
y  x - 2x  4 , di(2,4)
c.
y  x  3x sejajar
garis 2x - y  3  0
d.
y  2x  3 tegak
lurus
2
3
2
2
2
garis 8y  x  10  0
:
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
Sifat-sifat suatu fungsi dapat diselidiki
dengan menggunakan turunan.
1. Syarat fungsi naik dalam suatu interval
tertentu yaitu Fungsi dikatakan naik jika
seiring pertambahan nilai x ke kanan,maka
nilai f(x) bertambah.atau f ‘(x)>0
2. Syarat fungsi turun yaitu jika seiring
pertambahan nilai x kekanan,maka nilai f(x)
berkurang.atau f ‘(x)<0
SKETSA FUNGSI NAIK DAN TURUN
y=f(x)
y=f(x)
f(x 2 )
f(x 1 )
x2
x1
Fungsi Naik
(a)
f(x 1 )
f(x 2 )
x1
x2
Fungsi Turun
(b)
CONTOH
Biaya total produksi
C(x) 
2
x unit barang
x  5x  50x  10.Tentuka
3
2
diberikan
dengan
n biaya Marjinalny
a.
5
Apakah
biaya Marjinalny
penambahan
produksi
a naik atau turun
barangnya?
seiring
dengan
Jawabannya
 M(x)  c' (x)
Biaya Marjinal

2
.3x
2
 5.2x  50
5

6
x  10 x  50
2
5
Ja di M(x) 
bahwa
biaya marjinal
yaitu apakah
M(x) 
6
6
x  10 x  50 . Kemudian
2
5
naik atau turun
seiring
M' (x)  0; M' (x)  0, untuk
untuk
dengan
menentukan
penambahan
barang
x  0 : ternyata
x  10 x  50 .
2
5
M' (x)  2.

6
5
12
x  10
x  10 Karena
x  0 maka M' (x) akan selalu
5
sehingga
Biaya Marjinal
produksi
barang.
akan naik seiring
lebih besar
dengan
dari 0
penambahan
CONTOH 2
Tentukan
interval
agar
f(x)  x 
3
fungsi
3
2
x naik atau turun.
2
f(x)  x 
3
3
x
 f ' (x)  3x  3 x
2
2
2
 3x(x - 1)  x  0 atau x  1
Gambar
garis bilangan
dan selidiki
nilai f ' (x) di titik x  -1, x 
1
2
f ' (-1)  3(-1)
2
 3 (  1 )  6  0 (Positif)
1
1 2
1
3
6
3
f ' ( )  3( )  3 ( ) 

 -  0 (Negatif)
2
2
2
4
4
4
f ' (2)
 3(2)
 3 ( 2 )  12  6  6  0 (Positif)
2
- - -
+ + +
0
Jadi f(x)  x 3
3
2
x naik pada interval
2
Turun pada interval
0  x1
+ + +
1
x  0 dan x  1 dan
, dan x  2
AKTIVITAS SISWA
1.
2.
Tentukan
interval
agar
a).
f(x)  x  3x
b).
f(x)  x 
3
Misalkan
fungsi
2
c).
x 1
2
biaya produksi
d).
fungsi
naik?.
2
berikut
f(x) 
f(x) 
dari x unit barang
C(x)  4x  x  2x . Kapankah
3
- fungsi
naik atau turun
x
2
x 4
2
1-x
2
(1  x )
2
2
dinyatakan
biaya marjinalny
dengan
a merupakan
Jawaban
f(x)  x  3x
3
Syarat
fungsi
2
 f' (x)  3x  6x
2
naik f' (x)  0
3x  6x  0
2
3x(x - 2)  0  x  0 atau x  2
selidika
f' (-1) 
f' (1) 
f' (3) 
nilai f' (x) di x  -1, x  1 dan x  3
SKETSA GRAFIK DENGAN UJI
TURUNAN
SKETSA GRAFIK DENGAN
UJI TURUNAN PERTAMA
Syaratnya
:
1.
Bentuk
Dasar (Linear
2.
Titik potong
3.
Interval
definisi
4.
Interval
fungsi
5.
Titik Stasioner.
dengan
atau kuadrat)
sumbu
fungsi
naik atau turun
- sumbu
koordinat
CONTOH
a.
Carilah
titik stasioner
b.
Tentukan
c.
Buatlah
Jenis
sketsa
untuk
fungsi
y  x  6x  15x  2
3
dari titik titik stasioner
2
yang diperoleh
grafiknya.
JAWAB :
a.
y  x  6x  15x  2
3
2
y'  3x  12 x  15 . Syarat
2
titik stasioner
y'  0
3x  12 x  15 .  0
2
3(x  5)(x - 1)  0
(x  5)(x - 1)  0
x   5 atau x  1
Jik a x  -5 maka y  (-5)
3
 6.(-5)
2
- 15.(-5) - 2
y  98
Jik a x  1 maka y  (1)  6.(1)
3
2
- 15.(1) - 2
y  -10
Jad
i titik - titik stasionern
ya adalah
(-5,98) dan(1,-10)
dari
a
b. LANJUTAN
Untuk
menentukan
jenis titik stasioner,
pakai titik uji disebelah
kiri dan kanan
maka kita
titik stasioner.
Misalnya
kita pilih x  -6, x  0, dan x  2 sebagai
masukan
kedalam
fungsi
turunan.
x  -6 maka y'  21  0
x  0 maka y'  -15 dan
x  2 maka y'  21  0
masukkan
hasilnya
dalam
tabel turunan.
sampel
TABEL TURUNAN
Dengan
X
-6
-5
0
1
2
Y’
Kemiringan
+
/
0
-
\
0
-
+
/
demikian
(-5,98) adalah
dan (1,-10) adalah
titik balik maksimum
titik balik minimum.
c. LANJUTAN
Untuk
mengsketsa
dibutuhkan
1.
grafik
beberapa
Titik potong
fungsi
y  x  6x - 15x - 2
3
2
titik lagi
dengan
sumbu
x maka y  0
x  6x - 15x - 2  0
3
2
(x - 2)(x
2
 8x  1)  0
x  2 atau x  8x  1  0
2
x  2 atau x  -4 
15 (Pakai rumus
ABC)
x  2, atau x  -0,127, atau x  - 7,873
Jad
i titik potong
dengan
sumbu
(2,0), (-0,127,0) , dan (-7,873,0)
x, adalah
C LANJUTAN
Titik potong dengan sumbu y maka x=0
Y=-2
Jadi titik potong dengan sumbu y adalah
(0,-2)
Dari tabel turunan dapat disimpulkan bahwa:
Grafik naik pada selang (-~,-5)dan(1,~) dan turun
Pada interval selang (-5,1)
LANJUTAN SKETSA GRAFIK
(-5,98)
Y
y  x  6x - 15x - 2
3
(-7,873,0)
(-0,127,0)
(2,0)
(0,-2)
(1,-10)
2
X
AKTIVITAS SISWA
Misalkan
y  x -x -x4
3
2
a.
Tentukan
y' dan faktorkan
b.
Tentukan
nilai x yang
y
c.
yang bersesuaia
Klasifikas
minimum,
bentuk
memenuhi
kuadrat
yang
di dapat.
y' (x)  0 dan nilai
n.
ikan jenis nilai stasioner
atau titik belok
dengan
sebagai
maksimum,
menggunaka
n tabel
beberapa
titik lain.
turunan.
d.
Gambar
grafiknya
dengan
bantuan
SKETSA GRAFIK DENGAN UJI
TURUNAN KEDUA
CONTOH :
a.
Tentukan
stasioner
b.
Buatlah
dan klasifikas
ikan semua
pada grafik y
 x x
sketsa
memanfaatk
grafik y
an informasi
4
titik
3
 x  x dengan
4
3
dari
a