Паралелограм і його властивості

вчитель математики Золотоношківської ЗОШ І-ІІІ ступенів Драбівського району , Черкаської області Мануйленко Аркадій Георгійович

Мета уроку:

- домогтися засвоєння учнями означення паралелограма;

-

сформулювати означення додаткових елементів паралелограма; формулювання і доведення теореми про властивість кутів і сторін паралелограма;

Сформувати первинні вміння:

- відтворювати вивчені означення і властивості;

-

використовувати їх разом із вивченими раніше властивостями та ознаками паралельних прямих для розв'язування задач на доведення та обчислення.

Означення паралелограма

Паралелограмом

паралельні.

називається чотирикутник, протилежні сторони якого попарно

Доведемо, що чотирикутник KLMN – паралелограм

З рівності трикутників KLM і MNK випливає рівність кутів

K L

2

∠ 1= ∠ 2, і ∠ 3= ∠ 4 Кути 1 і 2 є внутрішніми різносторонніми при прямих KL і MN та січній КМ . Аналогічно кути 3 і 4 є

1

N M

внутрішніми різносторонніми при прямих LM і KN та січній КМ.

За ознакою паралельності прямих маємо: KL║MN, LM║KN.

Отже в чотирикутнику KLMN протилежні сторони попарно паралельні, тобто KLMN – паралелограм за означенням.

D H D А А

Висота паралелограма

М В Висотою паралелограма

перпендикуляр, проведений з точки однієї сторони до прямої називається , що містить протилежну сторону

С Побудуйте висоти з вершини А: В С D С В А

Властивості паралелограма

А

О

D C

Теорема (властивості паралелограма) У паралелограма: 1) протилежні сторони рівні; 2) протилежні кути рівні; 3) діагоналі точкою перетину діляться пополам.

В

Доведення

Розглянемо трикутники АВС і СDА.

У них сторона АС – спільна, АС,

∠

2=

∠ ∠

1=

∠

3, як внутрішні різносторонні при АD║ВС та січній 4, як внутрішні різносторонні при АВ ║CD та січній АС. З рівності трикутників АВС і CDA (за ІІ ознакою) випливає, що AB=CD, AD=BC,

∠

B=

∠

D. А оскільки

∠

1+

∠

2=

∠

3+

∠

4, то

∠

BAD=

∠

BCD. Отже властивості 1 і 2 доведено З рівності

∠

1=

∠

другою ознакою.

3,

∠

2=

∠

4, як внутрішніх різносторонніх при AD║BC і січних AC і BD, слідує рівність трикутників СОВ і COD за Звідси випливає, що АО=СО, ВО=DO, тобто точка о є серединою кожної з діагоналей АС і ВD. Теорему доведено повністю.

Теореми про ознаки паралелограма

D А В С А В

Якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні і рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.

АВ=DС, АВ║DС АD=ВС, АD║ВС

D D О С А В С

Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.

АВ=DС, АD=ВС АВ=DС, АD=ВС Якщо діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник – паралелограм.

АО=ОС, DО=ОВ

Перевірте себе

1. Діагоналі чотирикутника DEFK перетинаються в точці О, причомуDO=OF, EO=OK. Назвіть паралельні сторони чотирикутника і поясніть, чому вони паралельні?

K D

2. В чотирикутнику KLMN KL MN і KL=MN. Назвіть рівні кути чотирикутника і пояснять, чому вони паралельні.

N

3. У чотирикутнику PRSQ PR=SQ, PQ=RS.

Знайдіть суму кутів R і S.

Q P K F L E M R S