Transcript Чотирикутники - Золотоношківська ЗОШ І

Підсумковий урок по темі
„Чотирикутники”
вчитель математики
Золотоношківської ЗОШ І-ІІІ ступенів
Драбівського району , Черкаської області
Мануйленко Аркадій Георгійович
Означення чотирикутника
А
Чотирикутником називається фігура, яка складається з
чотирьох точок (вершин чотирикутника)
і чотирьох відрізків, що їх послідовно сполучають
( сторони чотирикутника)
В
D
C
вершини А і В, А і D, В і С,
С і D – сусідні;
вершини А і С, В і D –
протилежні;
АВ і ВС, ВС і СD, СD і АD,
АD і АВ – сусідні
сторони;
АD і ВС, СD і АВ –
протилежні сторони.
Означення чотирикутника
А
В
D
Діагоналлю чотирикутника
називається відрізок, що
сполучає дві протилежні
вершини
AC і ВD - діагоналі
C
Периметром прямокутника
називається сума усіх
його сторін
РАВСD= AB+BC+CD+AD
Опуклі чотирикутники. Сума кутів опуклого
чотирикутника
A
B
опуклий
D
C
B
A
неопуклий
C
D
Чотирикутник
називається опуклим,
якщо він лежить по один
бік від будь-якої прямої,
що містить його
сторону
Сума кутів опуклого чотирикутника
Кутом (внутрішнім кутом)
опуклого чотирикутника
при даній вершині
називається кут, утворений
сусідніми сторонами, що
виходять із цієї вершини
В
A
D
C
Теорема (про суму кутів
чотирикутника )
Сума кутів чотирикутника
дорівнює 360°
Доведення
У даному чотирикутнику проведемо
діагональ. Утворилося 2 трикутника.
Оскільки ∠ ВАD=∠ВАС+∠DAC,
∠ВСD=∠АСВ+∠ACD, то сума кутів
чотирикутника ABCD дорівнює сумі
всіх кутів трикутників ABC і ADC,
тобто дорівнює 360°
Теорему доведено.
Паралелограм і його властивості.
Означення паралелограма
Паралелограмом називається
чотирикутник, протилежні
сторони якого попарно
паралельні.
K
1
N
4
3
L
2
M
Висотою паралелограма
називається перпендикуляр,
проведений з точки однієї сторони
до прямої, що містить протилежну
сторону.
Доведемо, що чотирикутник
KLMN – паралелограм
З рівності трикутників KLM і
MNK випливає рівність кутів
∠1=∠2, і ∠3=∠4
Кути 1 і 2 є внутрішніми різносторонніми
при прямих KL і MN та січній КМ.
Аналогічно кути 3 і 4 є внутрішніми
різносторонніми при прямих LM і KN та
січній КМ. За ознакою паралельності
прямих маємо: KL║MN, LM║KN. Отже в
чотирикутнику KLMN протилежні
сторони попарно паралельні, тобто
KLMN – паралелограм за означенням.
Паралелограм і його властивості.
Властивості паралелограма
Доведення
•
А
D
В
C
Теорема (властивості паралелограма)
У паралелограма:
1) протилежні сторони рівні;
2) протилежні кути рівні;
3) Діагоналі точкою перетину діляться
пополам.
Розглянемо трикутники АВС і СDА.
У них сторона АС – спільна, ∠1=∠3, як
внутрішні різносторонні при АD║ВС та січній
АС, ∠2=∠4, як внутрішні різносторонні при
АВ ║CD та січній АС. З рівності трикутників
АВС і CDA (за ІІ ознакою) випливає, що
AB=CD, AD=BC, ∠B=∠D. А оскільки
∠1+∠2=∠3+∠4, то ∠BAD=∠BCD. Отже
властивості 1 і 2 доведено
З рівності ∠1=∠3, ∠2=∠4, як внутрішніх
різносторонніх при AD║BC і січних AC і BD,
слідує рівність трикутників СОВ і COD за
другою ознакою.
Звідси випливає, що АО=СО, ВО=DO,
тобто точка о є серединою кожної з
діагоналей АС і ВD.
Теорему доведено повністю.
Ознаки паралелограма
Теореми про ознаки паралелограма
А
В
А
В
С
D
А
С
АD=ВС, АD║ВС
Якщо протилежні сторони
чотирикутника попарно рівні, то цей
чотирикутник – паралелограм.
АВ=DС, АD=ВС АВ=DС, АD=ВС
В
О
D
АВ=DС, АВ║DС
С
D
Якщо дві протилежні сторони
чотирикутника паралельні і рівні, то цей
чотирикутник – паралелограм.
Якщо діагоналі чотирикутника точкою
перетину діляться навпіл, то цей
чотирикутник – паралелограм.
АО=ОС, DО=ОВ
Види паралелограмів
Прямокутник
А
В
D
С
А
В
Прямокутником називається
паралелограм, у якого всі кути прямі.
Оскільки АВСD є окремим випадком
паралелограма, він має всі властивості
паралелограма: АВ=DС і АD=ВС, АВ║DС і
АК║ВС, ∠А=∠С і ∠В=∠К
АО=ОС, DО=ОВ
Теорема (властивість прямокутника)
Діагоналі прямокутника рівні
Нехай дано АВСD. ΔАDC і ΔBСD – прямокутні,
і ΔАDC=ΔBCD за двома катетами (DC спільний,
АD=BC як протилежні сторони прямокутника
D
~
С
Звідси випливає рівність гіпотенуз цих
трикутників, тобто АС=ВD, що й треба було
довести.
Опорна задача
Якщо всі кути чотирикутника прямі,
то цей чотирикутник – прямокутник.
Доведіть
А
D
В
С
Нехай у чотирикутнику АВСD
∠А=∠В=∠С=∠D=90º. Кути А і В є
внутрішніми односторонніми при
прямих АD і ВС та січній АВ.
Оскільки сума цих кутів становить 180º,
То за ознакою паралельності прямих
АD║BC. Аналогічно доводимо
паралельність сторін АВ і СD.
Отже, за означенням паралелограма
АВСD – паралелограм. А оскільки всі
кути паралелограма прямі, то АВСD –
паралелограм.
Види паралелограмів
Ромб
В
Ромбом – називається паралелограм, у
якого всі сторони рівні.
Теорема (властивості ромба)
Діагоналі ромба перпендикулярні й ділять
його кути навпіл.
А
С
Нехай діагоналі ромба перетинаються в
Оскільки
сторони ромба рівні, то ΔАВС рівнобедточці О.
ренний з основою АС, а за властивістю діагоналей
паралелограма точка О – середина АС.
Отже ВО – медіана рівнобедреного трикутника,
Яка водночас є його висотою і бісектрисою. Це
означає, що ВD АС, тобто діагоналі ромба перпендикулярні, і ∠АВD = ∠СВD, тобто ВD – бісектриса
кута АВС. Аналогічно доводимо, що діагоналі є і
Бісектрисами й інших його кутів
Види паралелограмів
Квадрат
А
В
Квадратом називається
прямокутник, у якого
всі сторони рівні
АВ=ВС=СD=АD
D
Інакше можна сказати, що
квадрат – це прямокутник,
який є ромбом. Дійсно,
оскільки квадрат є
прямокутником і ромбом і,
звісно ж, довільним
паралелограмом, то:
С
1) Усі сторони квадрата рівні;
2) Усі кути квадрата прямі;
3) Діагоналі квадрата рівні,
перпендикулярні, є бісектрисами його
кутів і діляться точкою перетину навпіл.
Зв‫׳‬язок між окремими видами паралелограмів.
Рівносильні твердження.
За означеннями довільного паралелограма і його окремих видів ми можемо
схематично зобразити зв‫׳‬язок між ними
паралелограми
прямокутники
ромби
квадрати
Означення, які описують одну і ту ж фігуру називаються –
рівносильними.
- квадратом називається ромб із прямими кутами;
- прямокутником називається паралелограм із рівними
діагоналями.
Трапеція
Означення трапеції
А
В
D
А
Трапецією називається чотирикутник, у
якого дві сторони паралельні, а дві інші
не паралельні.
Паралельні сторони АВ і СD називаються
основами трапеції.
Непаралельні сторони АD і ВС називаються
C бічними сторонами трапеції.
Сума кутів, прилеглих до бічної
сторони, дорівнює 180º
В
∠А+∠D=180º
∠В+∠С=180º
Висотою трапеції називається
перпендикуляр, проведений з точки однієї
основи до прямої, яка містить іншу основу.
D
С
Трапеція
А
Окремі види трапецій
Прямокутною трапецією
називається трапеція, у якій одна
із сторін перпендикулярна до
основ
В
D
АD
C
K
L
AB, AD
Рівнобедреною трапецією
називається трапеція, у якій бічні
сторони рівні
KM=LN
M
DC
N
Трапеція
B
A
K
Теорема (властивість рівнобічної
трапеції)
У рівнобічній трапеції кути при основі
рівні
C
L
D
∠B=∠C
∠A=∠D
Нехай ABCD – дана трапеція, AD║BC, AB=CD.
Проведемо висоти ВК і CL з вершини тупих кутів і розглянемо прямокутні
Трикутники АВК і DCL. У них АВ=CD як бічні сторони рівнобедреної
трапеції, ВК=СL як відстані між паралельними прямими АD і ВС. Отже,
Δ АВК= ΔDCL за гіпотенузою і катетом. Звідси випливає, що ∠А=∠D. Кути
трапеції В і С також рівні, оскільки кожний із кутів доповнює до 180° кут при
більшій основі. Теорему доведено.
Має місце також обернене твердження ( ознака рівнобедреної трапеції ):
Якщо у трапеції кути при основі рівні, то така трапеція рівнобедрена.