Геометрія Лобачевського та теорія відносності Ейнштейна

Грані стикання

Альберт Ейнштейн - в

идатний фізик, творець теорії відносності, один із творців квантової теорії і статистичної фізики.

З 1909 року - професор Цюрихського університету, а потім — Німецького університету в Празі. З 1914 р. – професор Берлінського університету, де завершив створення загальної

теорії відносності,

розвив квантову теорію випромінювання. За відкриття законів

фотоефекта

і роботи в області

теоретичної фізики

Ейнштейн одержав у

1921

р.

Нобелівську премію

.

Альберт Ейнштейн

(1879-1955)

Учений працював і над створенням єдиної теорії поля, що поєднує гравітаційні й електромагнітні взаємодії

.

Наукові праці Ейнштейна зіграли велику роль у розвитку сучасної фізики –

квантової електродинаміки, атомної і ядерної фізики,

фізики

елементарних часток, космології, астрофізики.

Стаття Ейнштейна "

До електродинаміки тіл, що рухаються

" (1905) окреслила засади спеціальної теорії відносності, основні постулати якої:

 

В усіх інерційних системах відліку фізичні процеси відбуваються однаково.

Швидкість світла у вакуумі не залежить від руху джерела або приймача і однакова в усіх напрямах.

Що сприяло виникненню цієї гіпотези?

• Наприкінці 19-го століття фізика зіткнулася з проблемою: неможливістю експериментально визначити швидкість руху Землі відносно ефіру, а, отже, й експериментально підтвердити гіпотезу існування ефіру, на якій ґрунтувалася електродинаміка. • Основні рівняння електродинаміки, побудовані на основі припущення, що електромагнітні хвилі розповсюджуються в певній невагомій речовині, здавалося мали сенс лише в системі відліку, жорстко зв'язаній з цією речовиною.

Досліди Майкельсона (1887) показали, що ефіру, мабуть, не існує. Згодом були відкриті перетворення, відносно яких система основних рівнянь електродинаміки є інваріантною. Ці перетворення отримали назву перетворень Лоренца.

• В 1905 році Альберт Ейнштейн сміливо постулював справедливість рівнянь електродинаміки в будь-якій інерційній системі відліку. • Таким чином, фундаментальна стала - швидкість світла - однакова для будь-якої інерційної системи відліку, а от довжина і час змінюються при переході від однієї системи до іншої за законом, який задають перетворення Лоренца. • Відповідно, будь-який закон фізики повинен бути лоренц інваріантним, включно із законами Ньютона, які повинні бути записані з врахуванням зміни в поняттях довжини і часу. • При малих швидкостях ці зміни дуже незначні і починають проявлятися лише при швидкостях, близьких до швидкості світла.

• Наслідком спеціальної теорії відносності є

принцип причинності

. Будь-яка інформація не може передаватися зі швидкістю, що перевищувала б швидкість світла у вакуумі, інакше завжди знайшлася б система відліку, в якій наслідок передував би причині.

• Оскільки фізичні тіла не можуть рухатися зі швидкістю, більшою за швидкість світла, при наближенні до швидкості світла маса будь якого тіла необмежено зростає.

• З точки зору спеціальної теорії відносності простір і час тісно пов'язані між собою. Їх слід вважати єдиним чотиривимірним многовидом, що має назву „

простір-час

”. • Спостерігачі, що рухаються один відносно одного, по-різному визначають "просторові" і "часовий" напрямки у цьому многовиді. Тому простір і час більше неможливо розглядати як дві окремі сутності.

• Загальна теорія відносності доповнила цю картину тим, що енергія гравітаційного поля (

породжена матерією

мають властивості „кривих” ліній.

) здатна деформувати простір-час так, що „прямі” лінії в просторі та часі

Математики використовують термін „

викривлення

” для позначення будь-якого простору, де геометрія не є Евклідовою.

• • • • Німецький математик Фелікс Клейн в ХІХ ст. довів таку важливу для нас теорему:

Якщо в просторі можливі довільні зсуви і повороти, то це може бути тільки а) простір сталої додатної кривизни з звичайною сферичною геометрією (сума кутів трикутника більша двох прямих); б) плоский простір з нульовою кривизною і геометрією Евкліда (сума кутів трикутника дорівнює двом прямим); в) простір сталої від'ємної кривизни (сума кутів трикутника менша двох прямих).

Сферична геометрія - простір сталої додатної кривизни , в якому сума кутів трикутника завжди більша двох прямих кутів, тобто 180 0

•

Релятивістський простір швидкостей не може мати сферичної геометрії,

бо не може ілюструвати принцип незмінності швидкості світла.

• Крім того дві точки на сфері не визначають однозначно відстані між ними, бо цю відстань можна виміряти і по короткій, і по довгій дузі великого круга. Від цього в просторі швидкостей виникло б багато непорозумінь і двояких трактувань фізичних формул та величин.

• Евклідова геометрія плоского простору з нульовою кривизною, де сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам, тобто 180 скінченності швидкості світла в теорії відносності. 0 , та спосіб додавання швидкостей по правилу паралелограма протирічить • Геометрія Евкліда визначає простір з нескінченою швидкістю поширення взаємодій, який задовольняє принцип відносності Галілея в ньютонівській механіці.

Залишається остання можливість :

Релятивістський простір

швидкостей, що задовольняє принцип відносності Ейнштейна,

повинен мати геометрію Лобачевського

, тобто це простір сталої від'ємної кривизни, в якому сума кутів трикутника менша двох прямих

.

МИКОЛА ІВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСЬКИЙ

М. І. Лобачевський народився 1 грудня 1792 р.

в Нижньому Новгороді у сім'ї повітового землеміра.

Після закінчення Казанської гімназії був зарахований до університету 14 лютого 1807 р. У 1814 р. Лобачевському було надано звання ад'юнкта (доцента), а ще через два роки—професора. З цього часу починається його тридцятирічна професорська діяльність у рідному університеті. У 1827 р. обраний ректором університету, який став центром освіти та наукової діяльності всього краю. Лобачевський як ректор користувався заслуженим авторитетом і повагою. Рада університету обирала його на цю посаду шість разів підряд (1827— 1846).

Але світову славу вченого йому принесли геніальні дослідження в галузі геометрії. У 1829 p., Лобачевський опублікував у журналі «Казанский вестник», що видавався співробітниками університету, статтю «Про начала геометрії».

Микола Іванович Лобачевський (1792—1856 pp.)

Історія створення гіперболічної геометрії

• Джерелом геометрії Лобачевського слугувало питання аксіоми про Паралельні прямі, котра відома також як П'ятий постулат Евкліда (під цим номером твердження, еквівалентне до наведеної аксіоми про паралельні прямі, що фігурує у списку постулатів в «Началах» Евкліда). Цей постулат, складніший порівняно з іншим, викликав спроби довести його на основі інших постулатів.

Все в природі повинно бути виміряно, все може бути пораховано.

Історія створення гіперболічної геометрії

   

Ось неповний список учених, що займались доведенням V постулату до XIX ст.:

давньогрецькі математики

Прокл

двома паралельними),

Птолемей

(II ст.), (V ст.) (доведення Прокла базується на припущенні скінченності відстані між

Ібн-аль-Хайсам

з Іраку (кінець X ст. — початок XI ст.) (Ібн-аль-Хайсам намагався довести V постулат, виходячи з припущення, що кінець рухомого перпендикуляру до прямої описує прямую лінію), іранський математик

Омар Хайям

половина XI — початок XII вв.), (друга азербайджанський математик

Насиреддин Тусі

(XIII ст.) (Хайям та Насиреддин при доведенні V постулату виходили з припущення, що дві збіжні прямі не можуть при продовженні стати розбіжними при перетині),

Омар Хайям

Історія створення гіперболічної геометрії

• німецький математик

К

.

Клавій

(1574), • італійські математики

П. Катальді

(вперше в 1603 надрукував роботу, повністю присвячену питанню паралельних прямих),

Дж. Бореллі

(1658),

Дж. Вітале

(1680), • англійський математик

Джон Волліс

(1663, опубліковано в 1693) (Уолліс грунтує доведення V постулату на припущенні, що для кожної фігури існує подібна їй, але не рівна фігура).

Доведення вказаних вчених зводились до заміни V постулату іншими припущеннями, що здавались більш очевидними.

Дж. Бореллі

Суть геометрії Лобачевського

Лобачевський розв'язав задачу, яку протягом більш як двох тисяч років марно намагалися розв'язати багато видатних учених-математиків: він довів, що V постулат Евкліда не можна дістати як теорему з інших постулатів і аксіом, які містяться в «Началах» Евкліда. Він довів також, що Евклідова геометрія не є єдино можливою геометрією. Це спростовувало ідею німецького професора Канта про те, що людина народжується з уявленням про зовнішній світ, де діє лише Евклідова геометрія.

Суть геометрії Лобачевського

Геометрія Лобачевського

— геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за виключенням аксіоми про паралельність, що замінюється на наступну аксіому:

через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.

Моделі геометрії Лобачевського

•

А 1

Аксіоми геометрії Лобачевського

Яка б не була пряма, існують точки, що їй належать і точки, що їй не належать. Через довільні дві точки можна провести пряму, і тільки одну.

A В С a

•

А 2

Аксіоми геометрії Лобачевського

З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

A В С a

• А

3

Аксіоми геометрії Лобачевського

Будь який відрізок має певну довжину, більшу 0. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин його частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

В A С

•

А 4

Аксіоми геометрії Лобачевського Будь-яка пряма площини розбиває цю площину на дві півплощини.

С •

А 5

Аксіоми геометрії Лобачевського

Будь-який кут має градусну міру більшу 0. Розгорнутий кут дорівнює 180 0 .

Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що виходить з вершини кута і проходить між його сторонами.

О А



ВАО

 

САО

 

ВАС

В

Аксіоми геометрії Лобачевського

• А

6

На будь-якому промені від його початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, і тільки один.

С A В

Аксіоми геометрії Лобачевського

• А

7

Від будь-якої півпрямої в задану півплощину можна відкласти кут певної градусної міри, меншої 180 0 , і тільки один.

• А

8

Аксіоми геометрії Лобачевського

Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, в заданому розміщенні відносно даної півпрямої.

• А

9

Аксіоми геометрії Лобачевського

Через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.

В геометрії Лобачевського в площині через точку Р що лежить поза даною прямою

а

проходить нескінчена кількість прямих, що не перетинають

а

. З них паралельні до

а

називаються тільки дві. Пряма від

A CE

до

B

називається рівнобіжною (паралельною) до прямої , якщо:

AB

в напрямку точки

B

і

E

пряма

CE

лежать по одну сторону від прямої

AC

; не перетинає пряму

AB

, але всякий промінь, що проходить всередині кута

ACE

, перетинає промінь

AB

. Аналогічно означається пряма, рівнобіжна до

AB

в напрямку від

B

до

A

.

Всі інші прямі, що не перетинають дану, називаються

ультрапаралельними

.

Аксіоми стереометрії

С 1 . Яка б не була площина існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй.

C A  С 2 . Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

 A a  С 3 . Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

A a b