Transcript Matematik Öğretiminin Amaç ve İlkeleri

ÖZEL ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
Dr. İlhan KARATAŞ
• Matematik Nedir?
 Matematiğin Doğası?
 Matematik keşif midir? İcat mıdır?
• Matematiğin Ögeleri nelerdir?
• Matematik Nasıl Doğmuştur?
Örgün eğitimde matematik?

İlköğretimin ilk sınıflarından başlayarak, öğretim
programlarında matematiğe geniş bir yer ayrılır.

Sınıflar ilerledikçe öğrencilerin ilgi alanları ve meslek
seçimlerine göre matematiğe ayrılan zaman bir kısım
programlarda daha da çoğalır, diğer programlarda
kısmen azalsa da, dersler arasında, matematik
dersine hemen her zaman yer verilir.

Bu durum, matematiğin ne olduğuna, niçin bu kadar
önemli bulunduğuna dikkat çekmektedir.
Matematik Nedir?



Matematik Yaşamın Soyutlanmış Biçimidir." şeklinde
yapılan tanım herhalde en gerçekçi ve geniş haliyle
matematiği ifade eder.
O halde matematik yaşam kadar eski, yaşamla birlikte
gelişen, insanlık tarihi ile paralel bir gelişim gösteren
bilim dalıdır.
Bu boyutu ile belki de en eski bilim olup diğer
bilimlerin de anasıdır.
…Matematik Nedir?

Bazı kaynaklar "aritmetik, cebir, geometri gibi sayı ve ölçü temeline
dayanarak niceliklerin özelliklerini inceleyen bilimlerin ortak adı“
şeklinde bir tanım vermektedir.

Bu tanım matematiğe sadece ilköğretim düzeyinde bakınca yeterli
görünse de, daha geniş bir açıdan bakıldığında yetersiz
kalmaktadır. Çünkü sayı ve ölçüyü temel almayan matematik de
vardır.

Ayrıca matematik yalnızca niceliklerin özelliklerini değil sistemlerin
özelliklerini de inceler. Ayrıca matematiğin diğer bilimlerden destek
almamak, kendi kendini üretmek gibi özellikleri vardır.
Matematiksel Bilgi nasıl oluşturulur?

Matematik bilginin üretilmesinde izlenen yol matematiğe hastır ve
ispatlama olarak adlandırılır. Bir matematikçi örneklerden yola
çıkmaz, geneli ilgilendiren düşünceyi kanıtlamaya çalışır ve bu
düşünce tüm örnekler için geçerli olur.

Bunu basit bir örnekle açıklayacak olursak, "iki tek sayının toplamı
bir çift sayıdır", düşüncesinin ispatlanması
Elde edilen sonucun herhangi iki tek sayıya uygulanması sadece
bir doğrulamadır.
Matematik düşüncenin geliştirilmesine hakim olan bu yaklaşımın
adı tümdengelim’dir.


…Matematik Nedir?


Tümevarım ile yapılan matematik ispatlar da vardır.
Bunlar ya elemanlarının tamamı incelenebilecek kadar
az olan sonlu kümelerle ilgilidir veya tümdengelimle
ispatın mümkün olmadığı durumlardır. "n tane ardışık
tek sayının toplamı n2'dir". Bu ispat yönteminde de elde
edilen sonuç genel için doğrudur.
İspatlama yaklaşımlarındaki bu durum "Matematiksel
bilgi, deneye dayanmayan ama deneyle
doğrulanabilen bir bilgidir" şeklinde ifade edilebilir.
Matematiğin doğası

Öğretim programının yetersizliği, altyapı, öğretmenin
niteliği önemli sorunlar gibi görünse de bunları
şekillendiren, olgunlaştıran en önemli faktör bizim
eğitimci, matematikçi, öğretmen ve toplum olarak
matematiğe bakışımızdır.

İlköğretim, ortaöğretim ve yükseköğretim
kademelerindeki geleneksel matematik öğretimi,
matematiği günlük ihtiyaçlardan uzak, soyut ilke ve
prensipleri olan, ayrı ayrı öğrenilmesi zorunlu
denklem ve formüllerden oluşan bir uğraş alanı
olarak görülmektedir.
…..matematiğin doğası

Öğrenciye bu şekilde sunulan matematik öğrenci için soğuk,
sevimsiz, ezberlenerek öğrenilmesi gereken bir derse
dönüşmektedir.

Sonuç olarak öğrenciler matematiği her yerde kullanabilecekleri
bir araç olarak değil de matematik sınavları için öğrenilmesi
gereken bir ders olarak görmektedirler.

Oysa, matematik öğretiminin amacı öğrenciye matematiksel
düşünme ve matematiği bir iletişim aracı olarak kullanma
becerilerini kazandırmak olmalıdır.
…..matematiğin doğası


Bu amacı gerçekleştirebilmemiz için önce
öğretmenin kendisinin matematiğe doğru
bakmasını ve doğru görmesini sağlamalıyız.
Şimdi matematiğin doğasını tanımamıza
yardım edecek tartışma konularını sırasıyla
ele alalım.
MATEMATİK BİR KEŞİF MİDİR?




Kimine göre matematik salt uygulamadan çıkmıştır. Kimine göre
sezgilerin ürünüdür.
Kimine göre her ikisini içinde barındıran gizemli bir yapıya sahiptir.
Kimine göre matematiğin ortaya koyduğu bilgiler, kuşku duyulmayacak
düzeyde güvenilirdir.
Kimilerine göre doğruluğuna karar veremediğimiz bilgiler içermektedir.
Biz burada şu sorulara cevap vermeye çalışalım;
 Matematikçi ortaya koyduklarını bulmuş mudur yoksa icat mı etmiştir?
 Matematikçi ortaya koyduklarını sezgi yoluyla mı keşfetmiştir?
 Matematikçi kaşif midir?

Matematikçi mucit midir?
…keşif ya da icat…

Çalışan matematikçiler kendilerini hafta boyunca
platonist (eflatuncu) olarak görürler hafta sonu ise
formalist olarak görürler.

Matematikçiler matematik yaparken kendilerinden
emindirler. Öyle ki, onlar nesnel gerçekler ortaya
çıkardıklarını düşünürler.

Ancak, ortaya koyduklarıyla ilgili felsefi açıklamalar
yapmak durumunda kaldıklarında eflatuncu bir tavır
alırlar.
…..keşif ya da icat…

Matematikçiler nasıl çalışıyor, nasıl araştırmalar yapıyor?

Bütün matematikçilerin Andrew Willes gibi kendini izole ederek
uzun ve gizemli bir çalışma içine girdiği söylenemez.

Elbette, matematikte Willes’ın çalışması gibi bireysel çalışmalar
çoğunluktadır. Ancak bu çalışmalar seminerlerde, lisansüstü
derslerde, dergilerin değerlendirme süreçlerinde hakemlerden
alınan dönütlerin tartışılmasıyla şekillenir ve tamamlanır.

Masa başında kitapların arasında bireysel olarak başlayan
matematiksel çalışma sosyal etkileşim süreci içerisinde
tamamlanmaktadır.
…..keşif ya da icat…

Matematiği bir keşif olarak görenler, fizikçiler gibi olguları doğrudan
gözleme ve test etme gibi şanslarının olmadığını düşünürler.

Onlara göre, matematiksel doğruları matematikçiler önce sezgileri
yoluyla keşfederler sonrada onların formal ispatlarını yaparlar.

Keşif fikrini savunanlar için matematiksel nesneler ve bilgiler gerekli,
mükemmel, ezeli ve ebedidir.

Bizden önce vardılar bizden sonra da var olmaya devam edecekler.

Böylece, matematik doğadaki ilişkilerin doğal bir örüntüsü olarak ortaya
çıkmaktadır.

Bir başka deyişle, bu örüntüler var ve biz onları keşfediyoruz. Matematik
orada hazırdır, vardır, olduğu yerde yeniden keşfedilmektedir.
….keşif ya da icat…..


Matematiği bir icat olarak gören görüşe göre ise matematiksel
bilgi tamamlanmamış ve sürekli gelişme halindedir.
Böylece, onun mükemmelliğinden ve kesinliğinden söz etmek
oldukça zordur.

Bu iddiayı yaparlarken matematiksel bilgilerin öznel olarak
matematikçilerin kafasında rasgele ortaya çıktığını ima
etmemektedirler.

Onlara göre, matematik insan zihninin bir ürünü olduğuna göre
matematikçiler her zaman dünyamız için yeni temsiller icat
edebilirler.
….keşif ya da icat…..

Doğada gözlediğimiz birçok ilişki doğrusal ilişkidir. Bunları
denklemlerle ifade ederiz. Bu denklemlerin çözümü için oluşturulan
lineer denklem sistemleri matrislerle temsil edilebilmektedir.

Matrisler bir yerde vardı da matematikçiler denklem sistemlerini
çözmek için matrislerimi keşfetti? Yoksa matrisler bir kavram olarak
ortaya çıktı ve matematikçilerin katkılarıyla bugünkü halini aldı?

Descardes’le birlikte matematiğin gelişmesinde dönüm noktası olan
koordinat düzlemi keşif midir yoksa icat mıdır?

Gauss’un koordinat düzleminde y eksenini sanal eksen kabul ederek
kompleks sayıları tanımlaması keşif midir icat mıdır?
Matematik Nasıl Doğmuştur?
Matematiğin doğuşuyla ilgili iki temel yaklaşım vardır;

Bunlardan birincisi, matematiği insanın kendisinin icat ettiği,

ikincisi ise, matematiğin evrende var olduğu insanın onu zaman içinde
farkettiğidir.

İkinci görüşü destekleyen doğal kanıtlar oldukça fazladır. Doğada herşey
kararlı davranmaktadır. Bir filize dizili yaprakların filize yapışma noktaları
arasında eşit açılar vardır. Fasulye filizi; çubuğa tırmanırken tam bir helis
çizmektedir. Bir helis bir noktadan belli yüksekliğe dolanarak çıkmak için en
kısa yoldur.

Arı peteği düzgün altıgendir. Düzgün altıgen düzlemi homojen
örtebilen çokgensel bölgeler arasında bir köşeden en az sayıda
ayrıt çıkarmak suretiyle yapılanıdır. Böylece en az malzeme ile
düzlemi parsellemek mümkün olmaktadır.

Gök cisimleri konik yollar üzerinde koşarlar. Ayçiçeğinin tohumları,
biri sağa diğeri sola dönen ve birbirini kesen iki grup logaritmik
sarmal şekline dizilmişlerdir.

Işık düzleme deyince, dik doğrultuyla eşit açı yaparak yansır.
Doğada ve evrendeki kararlılığın matematikle iç içeliği apaçıktır.
Bundan ötürüdür ki, matematik yapmakla evreni ve evren içindeki
olayları açıklayacak bilgi üretilir.
Ayçiçeği Tohumları İki Logaritmik Sarmal Şeklinde Dizilir

Sonuç olarak matematik;
insan zihninin çevreden aldığı esin ve ilk hareketle, soyutlama
yapmak suretiyle ürettiği bir bilgidir. Bu bilgi evrendeki diğer
olayları (sistemleri) açıklamak için bir model oluşturmaktadır.

İleri düzeyde matematik yapmak için çevrenin etkisine ihtiyaç
kalmamakta mevcut matematik materyal ve düşüncenin kendisi
yeterli bir çevre oluşturmaktadır.

Yani bir yerden sonra matematik kendi sorularını, buna bağlı
olarak da araştırmalarını ortaya koymaktadır. Bu duruma
matematiğin her alanından örnekler bulmak kolaydır.


Örneğin "üçgen; doğrusal olmayan üç noktayı ikişer
ikişer birleştiren doğru parçaların kümesidir"
tanımını biz yapmaktayız ve muhtemelen bu
tanımlamanın çevreyi tanıma ve açıklamayla kısmen
bir ilgisi vardır.
Ne var ki üçgende yüksekliklerin, açıortayların,
kenarortayların bir noktada kesişmesi, dokuz nokta
çemberinin varlığı vs. çevreden ilgisiz, mevcut
matematik bilgi üzerindeki araştırma ile ortaya çıkan
gerçeklerdir.

Matematiğin nasıl doğduğu, matematikçilerin
matematikle uğraşma biçimlerine bakılarak da
açıklanabilir. Matematikçilerin, matematiği kullanma ya
da matematik çalışma biçimleri iki başlık altında
düşünülebilir.
Birincisi araç veya ihtiyaç olarak matematik, ikincisi amaç
olarak matematik
1. Araç Olarak Matematik
İnsanların gereksinimleri doğrultusunda
oluşmuştur. Ölçüler, dört işlem tekniği buna
örnek olarak gösterilebilir.
2. Amaç Olarak Matematik
Bilme ihtiyacının ürünüdür, bir düşünme ve
doğruyu arama uğraşıdır.
Amaç Olarak Matematik

Matematik bu anlamda bir araç değil amaçtır ve
yalnızca "Bilme ihtiyacının ürünüdür, bir düşünme ve
doğruyu arama uğraşıdır." Matematik bu uğraşın
sonucunda ortaya çıkmıştır.
Teorik matematikçilerin benimsedikleri bu anlayışı
haklı gösterecek pek çok örnek vardır. Örneğin; "x2 - 1
= 0 denkleminin çözümü vardır ve çözüm x = ±1 dir.
Öyleyse x2 + 1 = 0 denkleminin de bir çözümü
olmalıdır"; sezgisi sanal sayıların tanımlanmasını ve
buna bağlı olarak karmaşık sayılar kümesinin
kurulmasını beraberinde getirmiştir. Karmaşık
sayılarda, analitik fonksiyonlar teorisini doğurmuştur.
…Amaç Olarak Matematik


Daha basit bir örnek olarak "Bir üçgende üç yüksekliğin bir
noktada kesişmesi"ni göz önüne alalım. Bu sonucun her üçgen
için doğru olup olmadığının araştırılması, bu düşünceyi ilginç
bulan, "Acaba tüm üçgenlerde böyle mi?" diye kafa yoran
insanın işidir ve matematik bu tür yaklaşımlarla üretilmiştir.
Üretilen matematiğin herhangi bir ihtiyacı karşılamasının ya da
kullanılıp kullanılmamasının önemi yoktur.
Yani, matematik uygun zihinsel ortamlarda, zihnin kendine bir
soru sorması ile başlamaktadır. Bu soru "bilme ve anlama"
diyebileceğimiz entellektüel bir duygudan kaynaklanır. Bu
duygu da bir ihtiyacın sonucudur.
Sonuç olarak matematik;

matematiğe karşı duyarlı kişilerin düşünme gücü sayesinde
oluşmakta ve kendi iç devinimi ile gelişmektedir. Pratik ihtiyaçların
ürettiği matematik de vardır.

Matematiğin ilk gelişmeye başladığı yer olarak kabul edilen
Mezopotamya, Mısır ve Çin'de nehir taşmaları sonucu kaybolan
arazi sınırlarını belirleme ihtiyacı ölçmeyi ve düzlemsel şekillerin
tanınmasını, nehirin ne zaman taşacağı ise takvimle ilgili ilk bilgilerin
ortaya çıkmasını sağlamıştır.

Harplerde üstün gelebilmek, doğal afetlere karşı koyabilmek gibi
ihtiyaçlar matematiksel temellere dayanan birçok yeni buluşun
yapılmasına yol açmıştır.
Özetle;

matematik alanında yapılan araştırmaların az bir kısmı pratik
ihtiyaçlardan, çoğu "bilme ve anlama“ tutkusundan ileri gelmiştir
ve soyuttur.

17. yy.'da Galileo, top mermilerinin parabolik bir yol izlediğini,
Kepler, gezegenlerin güneş çevresinde elips yörüngeler
çizdiklerini ortaya koymuştur.

Bunlar ve daha önce verdiğimiz örnekler göz önüne alınınca,
evrenin en ince ayrıntısından tümüne kadar bir yapılar kompleksi
olduğu, matematiğin de bu yapıların (sistemlerin)
açıklanmasında başvurulan bir bilim olduğu görülüyor.
MODERN-KLASİK MATEMATİK AYRIMI




Klasik matematik daha çok aritmetik ağırlıklı, cebirsel işlemlerin
yürütülerek problemlerin çözüldüğü ve Euclid’in tanımladığı
geometrik nesnelerin üzerine kurulan geometrinin ele alındığı
matematiktir.
Modern matematik küme ve grup kavramlarını kullanarak
matematiksel yapıları yeniden tanımlamaktadır.
Artık modern matematikte doğru noktalar kümesi, çember ise
bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir, yansıma
dönüşümü ise bir grup yapısına sahiptir.
Bir vektör uzayı tanımlarken belirli özellikleri sağlayan işlemler
tanımlamalıyız.
……..modern-klasik matematik ayrımı

Böylece, modern matematikte tanımlanan bir
matematiksel yapı bir başka matematiksel yapıda
kullanılabilmektedir.

Modern matematik ile birlikte, belli semboller ve
formüller
kullanılarak
yapılan
soyutlamalar
birbirinden bağımsız gibi görünen işlem ve
algoritmalar kendi içinde tutarlı ve bağlantılı hale
gelmiştir.
……..modern-klasik matematik ayrımı



Modern matematik reformunun savunucuları yeni
nesillerin karşısına birbirinden bağımsız olmayan
örüntü ve kavramlara dayanan bir düşünme
yönteminin oluşturduğu daha çok keşfetme, problem
çözme ve kanıtlama etkinliği olan bir matematik
çıkarma iddiasındaydılar.
Bu amaçla, önce birbirinden ayrı iki ders olarak
okutulan aritmetik ve geometri dersleri tek bir
öğretim programı olarak yeniden düzenlendi.
Modern matematik programında aritmetiksel
işlemler, uzay geometrisi, logaritma gibi konuların
yerine kümeler, cebirsel işlemler, olasılık ve istatistik
konuları ağırlık kazandı.
PÜR VE UYGULAMALI MATEMATİK




Değerli olan matematik, uygulanabilirliği olan matematik midir?”
Uygulamalı matematikçiler, pür (salt kuramsal) matematikle
uğraşanları gerçek dünyadan soyutlanmış fil dişi kulesine
çekilenlere benzetmekte ve onların yaptıklarının yararsız
çalışmalar olduğunu söylemektedir.
Uygulamalı matematik; çevremizi, fiziksel dünyamızı
algılamada, yorumlamada bize yardım eder.
Fiziksel dünyamızda gözlediğimiz durumların veya olguların
karşılıklı ilişkileri ve içerdikleri kavramlarla birlikte
matematikselleştirilmeleri matematiğin yararcı yanını gösterir.
………pür ve uygulamalı matematik



Matematiğin daha az yararcı olan yanı pür
matematiktir.
Matematiğin güzellik ve zihni uyandırması boyutu ile
pür matematikçiler ilgilenmektedir. Onlar için önemli
olan yapılanın estetik olması ve entelektüel(bilgelik)
doyuma ulaştırmasıdır.
Bu nedenle Hardy’nin dediği gibi pür matematikçinin
üzerinde uğraştığı sorunların, problemlerin uygulama
alanı bulması, işe yaraması, faydalı olması gibi bir
endişesi yoktur (Hardy, 1973).
…pür ve uygulamalı matematik

Hardy Hint matematikçisi Ramanujan ile ilgili bir
anısında onu hasta yatağında ziyarete gittiğini,
Ramanujan’a hastaneye plaka numarası 1729
olan bir taksi ile geldiğini söyleyince
Ramanujan’ın kendisine bu sayının sıradan bir
sayı olmadığını iki küpün toplamı olarak iki ayrı
şekilde yazılabilen en küçük sayı olduğunu
söylediğini hayretle anlatmaktadır.

1729= (12)3 +(1)3 ve 1729=(10)3 +(9)3 .
…pür ve uygulamalı matematik

Matematiğe bu açıdan baktığımızda onu güzel sanatların bir
dalı olarak görebiliriz. Tıpkı bir ressam gibi pür matematikçi de
üzerinde çalıştığı konuyu kendisini zengin edeceği veya günün
birinde uygulama alanı bulacağı için tamamlamaz. Onu sırf
güzellik, zevk, bilgelik yönünden doyuma ulaşmak için çözmeye
ve tamamlamaya çalışır.

Pür matematikçilerin ortaya koydukları ürünlerin pratikte
uygulanıp uygulanmadığı onların umurunda değildir. Ele
aldıkları problemleri bir zihinsel etkinlik, bir eğlence olarak
görürler ve onları çözdükçe zevk alırlar, haz duyarlar.
…pür ve uygulamalı matematik

x2 + a = 0 tipinden denklemlerin çözümü
tanımlanmasına yol açmıştır.
1  i
gibi bir sayının
Başlangıçta bir saçmalık olarak nitelendirilen bu tanım
a + bi şeklinde sanal sayıların kurulmasına zemin oluşturdu.


Durgun bir suya düşen taşın oluşturduğu halkaların denklemini
yazmak uygulamada ne gibi bir öneme sahip olacaktır?

1800’lerde bir çok matematikçi mesailerini(zamanlarını)
denklemlerinin kurulmasına harcamıştır.

Oysa biliyoruz ki, 1864 yılında Maxwell elektriği açıklayabilmek için bu
dalga denklemini kullanmıştır.
dalga
………pür ve uygulamalı matematik

Yine benzer şekilde, 1888’de Hertz radyo dalgalarını
deneysel olarak belirleyip dalga denklemlerinin
uygulanabilirliğini göstermiştir.

Hilbert’in üzerinde çalıştığı integral denklemleri
yaklaşık 100 yıl sonra kuantum fiziğinde kullanım alanı
bulmuştur.

Riemman’ın
Euclid
dışı
geometrisinin
uzay
hesaplamalarında kullanılması arasında da yaklaşık
100 yıl fark vardır.
………pür ve uygulamalı matematik

Başlangıçta tamamen bir fantezi olarak görünen
fuzzy-logic(bulanık mantık) günümüzde kontrol
sistemlerinde, bilgisayar yazılımlarında geniş
uygulama alanı bulmuştur.

Belki bugünün matematikçilerinin üzerinde çalıştığı
yararsız ve fantezi gibi görünen bir çok konu 2100
yılında fizikçilerin, sosyal bilimcilerin vazgeçilmez
uygulaması olacaktır. Kim bilir?
…pür ve uygulamalı matematik

Sonuç olarak, bir matematiksel ürün ister başlangıçta
gözlenen bir durumun veya olgunun
matematikselleştirilmesi olarak ortaya çıksın isterse de
tamamıyla kuramsal olarak ortaya çıksın bugün
görüyoruz ki o mühendislikte, fen bilimlerinde,
teknolojide ve gündelik hayatta geniş bir uygulama alanı
bulmaktadır.

Her alanda olduğu gibi matematikte de tek yanlı olmak
kamplara ayrılmak yanlış olur. Bugünün
matematikçilerinin de böyle bir kamplaşmaya ihtiyacı
yoktur.