2.2 Geometrija in merjenje

2.2.1 Kratko o pouku geometrije Geometrija ima pomembno mesto v matematiki, ker: • omogoča raziskovanje fizičnega sveta, • se ukvarja z vizualizacijo, risanjem in konstruiranjem figur, • omogoča reprezentacijo pojmov v matematiki, ki sami po sebi niso geometrijski, • ker je sama po sebi primer matematičnega sistema in • ker je estetska.

• •

http://www.mcescher.com/

http://www.geocities.com/mojsplet8/v en32-prevare/prevare2.html

Geometrija v pojmih po naši osnovni šoli = učenje o geometrijskih načelu 'korak za korakom‘.

Katere prostore, poleg Evklidskega, še poznamo?

Lobachevsky, Bolyai Riemann

• Topologija: panoga geometrije, ki obravnava topološke lastnosti geometričnih figur, to pomeni take lastnosti, ki se ohranjajo pri zveznih preslikavah (preslikava ne povzroči nobenih pretrganj).

• Möbiusov trak: primer topološke ploskve

• Kleinov program: razvrstitev geometrij glede na transformacije

Fraktalna geometrija

http://colos1.fri.uni-lj.si/~sis/GRAFIKA/FRACTALS/whaiIsFractal.html

http://colos1.fri.uni lj.si/~sis/GRAFIKA/FRACTALS/CREATING_FRACTALS/creating_fractals.

html

Raziskave Piageta: prostorska predstavljivost pri otroku se prične z zaznavanjem preprostih topoloških relacij (trileten otrok nariše kvadrat, trikotnik kot krog (vsi trije so topološko ekvivalentni)), nato s projekcijo in nazadnje z Evklidskim prostorom. Koncept projekcije doda konceptu topologije ‘pogled na stvar’ (predmet). V Evklidskem prostoru pa se otrok ukvarja z razdaljami oz. merjenjem.

Topološko ekvivalentni. Pa jih otrok res zazna tako?

Vir: Dickson, L., Brown, M., Bibson, O. (1991) Children Learning Mathematics. London: Cassell Education.

2.2.2 Proces abstrahiranja pojmov v geometriji: a) Empirična abstrakcija (v ospredju so objekti in za konstruiranje znanja so pomembne lastnosti teh objektov). Na podlagi fizične izkušnje s predmeti učenec spozna lastnosti predmetov (na primer, ker se valj kotali, ima krivo ploskev).

Pri aritmetiki so v ospredju postopki; govorimo o psevdo empirični abstrakciji.

Poznamo še refleksivno abstrakcijo; postopki in objekti v neki fazi postanejo sestavni del novega objekta, postopka.

b) Kompleksnost geometrije pa obvladujemo tudi s pomočjo jezika. Zaznavanje oblik je bistveno, vendar le s pomočjo jezika lahko ustvarimo hierarhijo pojmov v geometriji. Primer: kvadrat je pravokotnik, kvadrat je romb…

• • • Poznamo tri stopnje v pridobivanju geometrijskega znanja po Van Hielu: vizualna, opisna ter teoretična.

Teoretična stopnja

Učenec zna deduktivno izpeljati relacije med geometrijskimi pojmi oziroma zna dokazovati v geometriji.

Proces učenja Faze učenja: razlaganje in povezovanje prosto opazovanje vodeno opazovanje posredovanje informacij Opisna stopnja

Učenec prepozna geometrijske oblike na podlagi opisa njihovih lastnosti.

Faze učenja: razlaganje in povezovanje prosto opazovanje vodeno opazovanje posredovanje informacij Vizualna stopnja

Učenec prepozna geometrijske oblike.

Empirična abstrakcija ≈ vizualna stopnja  začetno učenje o geometrijskih pojmih izhaja iz konkretnih predmetov oziroma tridimenzionalnih objektov

2.2.3

Metodični koraki poučevanja geometrije 'od telesa k točki‘ na začetku šolanja • Izkušnje s tridimenzionalnimi modeli.

• Povezovanje geometrijskih modelov s predmeti iz okolice.

• Pridobivanje lastnosti geometrijskih modelov.

• Izdelovanje modelov geometrijskih teles iz različnih materialov.

• Odtiskovanje, obrisovanje geometrijskih teles.

ploskev modelov

Prednosti obravnave ‘od telesa k točki’: • omogoča mehkejši prehod med predšolskim in šolskim obdobjem, • zadosti matematičnim kriterijem, • je učencem bolj razumljiva (upošteva učenca in njegovo razvojno stopnjo).

Vaja za zbranost

Moja zbranost je danes: • 16 t … odlična • 12-15t … zelo dobra • 8-11t … dobra • 1-7t … drugič bo boljša

2.2.4 Geometrijski pojmi v prvih dveh triadah Matematične definicije in opredelitve pojmov za učence • Geometrijsko telo … 1.r. 

3. r

.: geometrijsko telo, rob, ploskev, oglišče

Telo je predmet, ki je omejen s ploskvami, oglišči in robovi.

5.r.:

kvader, kocka, mreža kvadra in kocke

Vsaka kocka je kvader, saj ima vse lastnosti kvadra.

Mrežo kvadra oz. kocke pokažemo s primerom (telo razrežemo vzdolž nekaterih robov).

• Geometrijski lik … 1.r. 

3.r.:

trikotnik (štirikotnik, petkotnik, šestkotnik…), skladnosti likov, simetrija (simetrija se obravnava že v 2. razredu)

Lik, ki je omejen s tremi ravnimi črtami, je trikotnik.

Ravne črte, ki omejujejo lik, so stranice. Točke, v katerih se stikata po dve stranici, so oglišča. (Oglišča pri likih ne označimo s križci, zgolj s točko.)

Lika, ki se prekrivata, sta skladna.

Oblika, ki jo lahko prepognemo tako, da dela drug drugega prekrivata, je simetrična. Črta, po kateri obliko prepognemo, je simetrala. (Enaka definicija je v 4.r.)

??Kaj je simetrija? Katere simetrije poznamo? Primer dejavnosti: izrezovanje simetričnih oblik.

4.r

.: krog, krožnica, središče, polmer, premer

Krožnica je sklenjena kriva črta, ki omejuje krog.

5.r

.: kvadrat, pravokotnik

Kvadrat je štirikotnik. Vse lastnosti pravokotnika ima tudi kvadrat. Kvadrat je pravokotnik. Vsak pravokotnik ni kvadrat. Vse lastnosti kvadrata niso tudi lastnosti pravokotnika.

6.r

.: ravnina, kot, skladnost kotov, notranjost, zunanjost, rob kota, ostri, pravi, topi, iztegnjeni, udrti kot, središčni kot, krožni izsek, krožni lok

Zamislimo si, da ravno ploskev nadaljujemo v vse smeri brez konca, pa dobimo ravnino. Lik je omejen del ravnine.

Poltraka s skupnim izhodiščem določata dva kota.

Tudi dve daljici lahko oklepata kot.

Kota, ki drug drugega prekrivata, sta skladna.

Oznake za kote:  ,  A,  ABC

Središčni kot je vsak kot, ki ima vrh v središču kroga.

S krogoma, ki ju prerežemo vzdolž premerov, oblikujemo krožni izsek. Krožnemu izseku pripada središčni kot in krožni lok.

• Črta …enodimenzionalna geometrična zvezna tvorba, 1.r.  1.r.  3.r sled svinčnika

1.r.:

ravna, kriva črta

2.r.

:(sklenjena, nesklenjena, presečišče črt, slednjega ne poimenujejo, zgolj označijo s križcem in z veliko tiskano črko),

4.r

.: premica, daljica, poltrak, vzporednica, pravokotnica, sečnica:

Na obeh straneh neomejeno ravno črto imenujemo premica

Oznaka: mala tiskana črka (npr. p, tudi premica AB).

Daljica AB je ravna črta, ki povezuje točki A in B. Točki A in B imenujemo krajišči daljice.

Oznaka: daljica AB (krajišči ponavadi označimo s križci).

Na eni strani omejeno ravno črto imenujemo poltrak.

Oznaka: mala tiskana črka (npr. l), označimo tudi krajišče poltraka.

Dve ravni črti, ki se ne sekata, sta vzporedni. Premici, ki se ne sekata, sta vzporedni.

Oznaka: p II r

Pravokotnosti ne opredelimo (zakaj??), ampak pokažemo s primerom in protiprimerom.

Oznaka: p  r

Premici, ki se sekata, sta sečnici.

5.r.:

medsebojna lega premice in točke, sekanta, mimobežnica, dotikalnica (tangenta), tetiva Oznaka: A  p

Premica, ki seka krožnico, je sekanta krožnice.

Premica, ki s krožnico nima nobenih skupnih točk, je mimobežnica krožnice.

Premica, ki ima s krožnico le eno skupno točko, je dotikalnica te krožnice. Pravimo ji tudi tangenta.

Tetiva je daljica, ki ima krajišči na krožnici.

?? Oznake.