Transcript Broj PI

BROJ π
ŠTA JE
π
?
O broju π razgovaraju matematičar, fizičar i
inženjer.
Matematičar: “Pi je broj koji predstavlja odnos
obima i prečnika kruga.”
Fizičar: “Pi je 3.1415927 ± 0.0000001.”
Inženjer: “ Pi je oko 3.”
U početku beše krug...
• pronalazeći ga svuda u prirodi, gledajući puni mesec,
posmatrajući kapljice kiše na površini mora, čak i pre početka
civilizacije ljudi su crtali krugove
• onda čovek stvori kvadrat !
• krug je postao simbol neizmerljivog, beskonačnog, mističnog i
božanski savršenog, a kvadrat upućuje na konačno, izmjerljivo,
poznato i nekako ljudski savršeno
• konstruisati (lenjirom i šestarom) kvadrat površine jednake
površini kruga jedan je od najstarijih matematičkih problema
(poznat kao KVADRATURA KRUGA)
• mnogima je i danas neshvatljivo da jedan tako jednostavan
zadatak zapravo nema rešenja
• istorija računanja broja π započinje kao pokušaj rešavanja tog
problema
Praktični Egipćani
• Egipćani su želeli pronaći vezu između kruga i kvadrata kako bi
merili posede ili gradili hramove
• Rhindov papirus je prvi pisani pokušaj rešavanja problema
kvadrature kruge (1650. godine p.n.e)
• Ahmes, autor papirusa kaže: “odreži
1
od prečnika
9
kruga i nad ostatkom konstruiši kvadrat; on ima površinu jednaku
površini kruga”
• iako Egipćane famozni odnos, koji je svoje ime π dobio tek 3000
godina kasnije, uopštee nije zanimao, iz zapisa
256
proizlazi kako je on jednak
(a to je približno 3.16049.....)
81
• prilično tačno s obzirom na vreme, zar ne?
Pametni Grci
• Arhimed iz Sirakuze ( 287. – 212. g. p.n.e) računa obim
krugu opisanih i upisanih mnogouglova, shvativši kako je
obim kruga negde između
• krećući od pravilnog šestougla i stigavši tako do
96-ougla, Arhimed dobija:
10
1
3  3
71
7
• (vrednost tačna do na desetohiljaditih! 3.14185)
Arhimedova preciznost je zadivljujuća ako uzmemo u
obzir da nije poznavao simbol za nulu niti decimalni zapis
• 200 godina kasnije je čuveni astronom Ptolomej utvrdio
da odnos (količnik) između obima i prečnika kruga iznosi
3
17
120
(  3.14166667 )
Arhimed
Ne dirajte moje
krugove !
(noli trubare circulus
meos)
A šta kažu Rimljani?
• na vrhuncu moći svog carstva (27.g.p.n.e – 476.g.n.e)
Rimljani su tvrdoglavo koristili 3
da je 3
1
tačnija vrednost
7
1
8
za π, iako su znali
1
• razlog je bio vrlo jednostavan: lakše je raditi sa
8
(polovina polovine od polovine).
• čak je i njihovo pravilo za kvadraturu kruga glasilo:
podeli kružnicu na četiri jednaka dela i nad jednom
četvrtinom konstruiši kvadrat, površine će biti
jednake! to bi značilo da je π = 4.
• s tom činjenicom zaista je neverovatno kako su
izgradili svoje carstvo!
Kosooki π
• Tsu Ch’ungchihu (veliki astronom 5. veka),
upisujući u krug mnogouglove, od šestougla
sve do mnogougla s 24576 stranica(!!!),
zaključuje
16
3
da je π približno 113 (oko 3.1415929)
• u idućih hiljadu godina niko nije došao do
tačnije aproksimacije!
(na žalost, ova aproksimacija dugo nije ni bila
poznata izvan Kine!)
π u Indiji
• Brahmagupta, najpoznatiji indijski matematičar iz 7.
veka
• računajući obime upisanih mnogouglova sa 12, 24, 48 i
96 stranica redom je dobijao za broj π
9.65, 9.81, 9.86, 9.87, a onda brzopleto i posve
pogrešno zaključio kako se broj π približava broju 10
• kasnije se ta vrednost iz Indije proširila u Evropu i
koristila se u matematici kroz celi srednji vek
Dugo, dugo ništa, a onda...
• Prvi milenijum, u Europi obeleženo je “mračnim”
srednjim vekom
• No, nauka svoje plodno tlo tada pronalazi u arapskom
svetu (poznaju nulu i decimalan zapis)
• krajem prvog milenijuma arapsko učenje se širi na
zapad i Evropljani preuzimaju arapske brojeve, nulu i
decimalni zapis te snabdeveni novim “oružjem” kreću u
nove osvajačke pohode na nauku
• početkom 13. veka u Italiji Leonardo iz Pize, poznatiji
kao Fibonacci procenjuje da je
 3
39
 3.141818
275
... utakmica počinje
• veći napredak u računanju broja π
nije učinjen sve do 16. veka kad je
živeo i delovao francuski
matematičar, pravnik po struci,
Francois Viete
• on je, koristeći Arhimedovu
metodu računanja obima upisanih i
opisanih mnogouglova (od pravilnog
šestougla sve do mnogougla sa
393216 stranica!) dobio:
3.1415926535 < π < 3.1415926537
loptu hvataju Holanđani...
• matematičar koji je svoj život
posvetio pronalaženju što većeg
broja decimala broja π bio je
Ludolf van Ceulen
• izračunavajući π Arhimedovom
metodom, koristio je
mnogouglove s više od 32
milijarde stranica
• kad je 1610. godine umro,
legenda kaže da su mu na
nadgrobnu ploču uklesali broj π
sa 35 decimala
...gol daje Leonard Euler...
• nemački
matematičar
Leonard Euler
(1707.-1783.) otkriva
puno dobrih i brzih
formula
• jedna od njih je:
1
1
1
 2  2  2  ...
6
1
2
3
2
...a tek je počelo!
• trenutni rekord je 1.2411 triliona cifara
(2002. Dr. Kanada, Tokio)
... ukratko
Egipćani
2000.g.p.n.e
256
81
Grci, Arhimed
300.g.p.n.e
Rimljani
27.g.p.n.e-476.g.n.e
3
10
1
 3
71
7
16
113
3
1
8
Kina
5.vek
Indija, Brahmagupta
7.vek
Italija, Fibonacci
13.vek
Francuska, Viete
16.vek3.1415926535 < π < 3.1415926537
3
10
 3
Nizozemska, L. van Ceulen 17.vek
Njemačka, L. Euler
18.vek
39
 3.141818
275
35 decimala
2
6

1
1
1


 ...
2
2
2
1
2
3
zanimljivosti ...
• krug zaklapa ugao od3600 , a na 359., 360. i
361. mestu u zapisu broja π nalaze se upravo
cifre 3, 6, i 0!
• Albert Einstein rođen je 14. marta
• međunarodni dan broja π je 14. mart
... ni to nije sve
• broj π možemo odrediti i eksperimentalno igrajući se:
potreban vam je prazan list papira A3 i kutija šibica
• na papiru nacrtajte niz paralelnih pravih  razmaknutih
za dužinu šibice, potom s visine od oko 40-tak cm
bacite šibice i prebrojte koliko šibica seče neku od
pravih
• radi veće tačnosti bacanje ponovite više puta (što više
to bolje!!!) kad vam dojadi, podelite udvostručeni broj
svih šibica koje ste bacili sa ukupnim brojem šibica
koje su presekle prave
2 · broj svih šibica
broj svih šibica koje seku prave
 π
...a kako stojite s pamćenjem?
•
jedna od zanimljivijih metoda je smišljanje rečenica u kojima dužina
pojedine reči odgovara pojedinoj cifri broja π
•
(1918. Ruđer Bošković, prvih 30 decimala)
Nek i sada i vazda slavljeno
3
1
4
1
5
9
na Zemlji jeste ime onoga
2
6
5
3
5
Arhimeda, helenskog mudraca!
8
9
7
Domišljat bio on kao Ptolomej;
9
3
2
3
8
Svet plamen on podade nama tad;
4
6
2
6
Kad kružnicu baš on odredio
3
8
računajuć.......
3
2
4
3
7
9
Možda se i u vama probudi pesnička duša?!
π, π, π
PREČNIK
I JOŠ MALO...
PREČNIK
PREČNIK
Autorica prezentacije:
Kristina Vučić i Sandra Gračan
Najtoplije zahvaljujem autoru na dopuštanju
da prezentaciju prilagodim srpskom jeziku i
objavim na web stranicama škole.
Dalibor Bošković
[email protected]
Literatura:
• Sandra Gračan: "S π na kavu", časopis "Matematika i škola" br.
4, Element, 2000.g.
• Damir Brozović, Marina Čobanov: "Broj π i vjerojatnost", časopis
"Matematika i škola" br. 9, Element, 2001. g.