Transcript Uvod u kvadriranje - Antonija Horvatek
Slide 1
Kvadriranje, korjenovanje i potenciranje
prezentacija 2.
Uvod u kvadriranje
materijal za samoučenje
Slide 2
Ovo je druga u nizu prezentacija kroz koje obrađujemo
cjelinu "Kvadriranje, korjenovanje i potenciranje".
U prošloj smo se prezentaciji prisjetili osnova o
algebarskim izrazima, a u ovoj ćemo naučiti
što je kvadriranje, te osnove o njemu.
Prezentacije su namijenjene učenicima za samoučenje,
npr. u slučaju da su bili bolesni pa nisu prisustvovali nastavi
kad se to obrađivalo, ako su zaboravili neke detalje pa se
žele podsjetiti, a naravno namijenjene su i svima ostalima
koji iz bilo kojeg razloga žele detaljnije proučiti ovo gradivo.
Možda čak i za korištenje na satu dok je nastavnik na bolovanju.
Kroz prezentacije se krećemo jednostavnim klikom miša,
a možemo koristiti i strelice na tipkovnici - za pomake
naprijed, ali i nazad. Možda ponekad poželite ponoviti neki
primjer, ponovo pročitati objašnjenje i sl., pa koristite
strelicu prema gore ili lijevo. Probajte!
Slide 3
Kvadriranje
Kvadriranje je računska operacija kod koje zadani broj
množimo sa samim sobom.
Npr. 7 na kvadrat računamo kao 7·7 i to je 49.
7 na kvadrat zapisujemo 72 .
Dakle, 72 = 7·7 = 49 .
Čemu bi bili jednaki sljedeći kvadrati:
42 = 4·4 = 16
82 = 64
92 = 9·9 = 81
Odmah
2 reci rješenje...
10 = 100
Kako ovo čitamo?
A ovo?
Osam na kvadrat jednako je 64.
Deset na kvadrat jednako je 100.
Koliko je 3 na kvadrat ?
9
Slide 4
Kvadriranje
Općenito, ako je a bilo koji broj:
a2 = a·a
a2 možemo čitati: - a na kvadrat
- a kvadrat
- a na drugu
Kad za neki broj a računamo a2 (kvadrat broja a),
tada kažemo da broj a kvadriramo,
a računska operacija koju pri tom vršimo zove se
kvadriranje.
Slide 5
Kvadriranje
Otkud naziv "kvadriranje" ?
Prisjetimo se:
Formula za površinu kvadrata stranice a je:
a
a
P= a∙a
P = a2
... a sad to
znamo zapisati
i na drugi način...
Dakle, površina kvadrata je a na kvadrat !
Površinu kvadrata dobivamo kvadriranjem njegove stranice.
Od sad pa nadalje zapamti formulu P=a2 i nju koristi prilikom
izračunavanja površine kvadrata. Formulu P=a∙a obično koriste oni
učenici koji još nisu čuli za kvadriranje.
Slide 6
Kvadriranje
Npr. Kolika je površina kvadrata stranice 5 cm ?
a
a
a = 5 cm
P = a2
P = 52
P = 25 cm2
P=?
Površina zadanog kvadrata je 25 cm2 .
Slide 7
Kvadriranje
Dopunimo...
12 =
1
112 =
121
22 =
4
122 =
144
32 =
9
42 =
16
52 =
25
62 =
36
72 =
49
82 =
92 =
Kvadrate prvih 10 brojeva
u trenu13
lako
izračunamo.
2 =
169
Međutim, često
u zadacima pojavljuju
142 = se196
i kvadrati brojeva od 11 do 20,
Nauči
pa je vrlo
naučiti ih napamet,
2 =
15korisno
225
te i njih znati "u trenu".
napamet!
162 =
256
64
182 =
324
81
192 =
361
202 =
400
102 = 100
Stoga ćemo i njih sad navesti,
172 = nauči
289napamet!
a ti ih svakako
Slide 8
Kvadriranje
12 =
1
112 =
121
12 = 1
22 =
4
122 =
144
22 = 4
32 =
9
132 =
169
32 = 9
42 =
16
142 =
196
42 = 16
52 =
25
152 =
225
62 =
36
162 =
256
72 =
49
172 =
289
82 =
64
182 =
324
92 =
81
192 =
361
92 = 81
202 =
400
02 = 0
102 = 100
Uočimo kroz ove
primjere
52 = koja
25 je
veza između
zadnje
62 znamenke
= 36
zadanog broja i
72 znamenke
= 49
zadnje
kvadrata!
2
8 = 64
Slide 9
Kvadriranje
Provjerimo jesi li shvatio:
1. Jedna od sljedeće dvije jednakosti nije točna.
Možeš li brzo reći koja? Kako znaš?
292 = 784
Zadnja znamenka od 292 mora biti 1
jer je 92=81.
282 = 784
2. Koja jednakost ovdje nije točna?
132 = 169
132 = 196
Zadnja znamenka od 132 mora biti 9
jer je 32=9.
Slide 10
Kvadriranje
Do sad smo kvadrirali samo prirodne brojeve.
Što je s kvadratima negativnih brojeva, razlomaka i
decimalnih brojeva?
Proučimo i njih...
Slide 11
Kvadrati negativnih brojeva
Ako npr. želimo kvadrirati -7 , to zapisujemo kao
(-7)2
i računamo -7∙(-7) = 49 .
Zapamtimo:
Ako kvadriramo negativan broj, moramo ga staviti u zagradu.
(-7)2 = -7·(-7) = 49
(-6)2 = 36
(-3)2 = -3·(-3) = 9
Odmah 2
reci
(-10)
= rješenje...
100
(-8)2 = -8·(-8) = 64
Kojeg su predznaka rješenja?
Rješenja su pozitivna!
Zapamtimo:
Što misliš, hoće li kvadrat negativnog broja uvijek biti pozitivan? Zašto?
Kvadrat negativnog broja je uvijek pozitivan broj!
Hoće, jer pri kvadriranju broj množimo sa samim sobom, a vrijedi: -·- = +
Kvadrat ne može biti negativan!
.
Slide 12
Kvadrati negativnih brojeva
(-9)2 = 81
Pri kvadriranju negativnog broja možemo razmišljati i ovako:
Prvo ću kvadrirati minus, a onda 9.
Minus na kvadrat daje plus (jer je -∙-=+), a plus ne pišem...
a 9 na kvadrat daje 81.
02 = 0
Odmah reci rješenje...
Nula je jedini broj čiji kvadrat nije pozitivan.
(nula nije ni pozitivna ni negativna)
Svi ostali brojevi imaju pozitivne kvadrate!
Slide 13
Kvadrati negativnih brojeva
Kako rješavamo zadatke poput -72 (bez zagrade),
zasad nećemo razjašnjavati.
O tome ćemo učiti u sljedećoj lekciji (tj. sljedećoj
prezentaciji).
Slide 14
Kvadriranje razlomaka
Ako želimo kvadrirati razlomak, i njega moramo staviti u zagradu!
52
Npr.
( )
5
__
7
2
5
5
25
= __ · __ = __
7
7
49
Kako izračunati taj kvadrat?
72
(-3)2
( )
-3
__
4
2
( )
-2
__
9
2
-3 -3
9
= __ · __ = __
4
4
16
Uočimo kako odmah
iz zadanog razlomka
dobiti kvadrat
(bez međukoraka
s množenjem)!
Kvadriramo brojnik i
kvadriramo nazivnik!
42
4
= __
81
Minus
Jednostavno...
...
Možeš
na
dva
kvadrat
na
li odmah
kvadrat
daje
reći
daje
plus
rješenje?
4...
(njega
...
devet
na
kvadrat
daje
81. u rezultatu ne pišemo)...
Slide 15
Kvadriranje decimalnih brojeva
Kad kvadriramo decimalni broj, ne moramo pisati zagradu.
?
Traži se kvadrat od
Npr.
0.72 = 0.7·0.7 = 0.49
Kako izračunati
Izračunaj
taj kvadrat?
pismeno...
0.032 = 0.03·0.03 = 0.0009
Izračunaj pismeno...
1.92 = 1.9·1.9 = 3.61
Izračunaj pismeno...
Možeš li uočiti kako odmah
iz zadanog decimalnog broja
dobiti kvadrat
(bez međukoraka s množenjem)?
0.7 .
Kad bismo iz 0.7 izbacili
točku, dobili smo broj 7 .
Njega kvadrirajmo!
Koliko je 72 ? 49
I sad još u broju 49 stavimo
decimalnu točku tako da u njemu
bude dvostruko više decimalnih
mjesta nego u početnom broju.
Dobivamo 0.49 .
(U 0.7 smo imali jednu decimalu,
pa tu trebaju biti dvije - to je
dvostruko više.)
Time smo došli do rješenja.
Na taj način napamet možemo
kvadrirati decimalni broj, ako
početni broj nije presložen...
Slide 16
Kvadriranje decimalnih brojeva
Kad kvadriramo decimalni broj, ne moramo pisati zagradu.
Npr.
0.72 = 0.7·0.7 = 0.49
?
0.032 = 0.03·0.03 = 0.0009
1.92 = 1.9·1.9 = 3.61
Možeš li uočiti kako odmah
iz zadanog decimalnog broja
dobiti kvadrat
(bez međukoraka s množenjem)?
Traži se kvadrat od 0.03 .
Kad bismo iz 0.03 izbacili
točku, dobili smo broj 3 .
Njega kvadrirajmo!
Koliko je 32 ? 9
I sad još u broju 9 stavimo
decimalnu točku tako da u njemu
bude dvostruko više decimalnih
mjesta nego u početnom broju.
Dobivamo 0.0009 .
(U 0.03 smo imali dvije decimale,
pa tu trebaju biti četiri - to je
dvostruko više.)
Time smo došli do rješenja.
Slide 17
Kvadriranje decimalnih brojeva
Kad kvadriramo decimalni broj, ne moramo pisati zagradu.
Npr.
0.72 = 0.7·0.7 = 0.49
0.032 = 0.03·0.03 = 0.0009
?
1.92 = 1.9·1.9 = 3.61
Možeš li uočiti kako odmah
iz zadanog decimalnog broja
dobiti kvadrat
(bez međukoraka s množenjem)?
Traži se kvadrat od 1.9 .
Kad bismo iz 1.9 izbacili
točku, dobili smo broj 19 .
Njega kvadrirajmo!
Koliko je 192 ? 361
I sad još u broju 361 stavimo
decimalnu točku tako da u njemu
bude dvostruko više decimalnih
mjesta nego u početnom broju.
Dobivamo 3.61 .
(U 1.9 smo imali jednu decimalu,
pa tu trebaju biti dvije - to je
dvostruko više.)
Time smo došli do rješenja.
Slide 18
Kvadriranje decimalnih brojeva
Kad kvadriramo decimalni broj, ne moramo pisati zagradu.
Npr.
0.72 = 0.7·0.7 = 0.49
0.032 = 0.03·0.03 = 0.0009
1.92 = 1.9·1.9 = 3.61
Provjerimo jesmo li dobro razumjeli!
Pokušaj kvadrirati na maloprije opisani brži način:
0.22 = 0.04
(-1.4)2 = 1.96
0.0012 = 0.000 001
(-0.17)2 = 0.0289
1.62 = 2.56
1.12 = 1.21
Slide 19
Kvadriranje nekih prirodnih brojeva
Izračunajmo sljedeće kvadrate:
302 = 30·30 = 900
7002 = 700·700 = 490 000
8 0002 = 8 000·8 000 = 64 000 000
Uoči s koliko nula završava zadani broj, a s koliko njegov kvadrat!
Usporedi! Što zaključuješ?
Kvadrat završava s dvostruko više nula nego zadani broj!
Možeš li odmah reći rješenje:
602 = 3600
1202 = 14 400
(6
na 2kvadrat
je 36
i dopišemo dvostruko
više
nula,
dvije
nule.)
2 =
500
= 250
000
1 800
3 tj.
240
000
(5 na kvadrat je 25 i dopišemo dvostruko više nula, tj. četiri nule.)
Slide 20
I na kraju, jedan trikić...
Kako napamet kvadrirati brojeve čija je zadnja znamenka 5 ?
Evo recepta:
Npr.
8 5 2 = 7225
Uočimo znamenku prije 5! To je 8 .
Pomnožimo broj 8 s njegovim sljedbenikom!
8· 9 = 72
Sljedbenik broja 8 je broj __.
9
Zapišemo 72 u rezultat...
i dopišemo 25!
Time je zadatak riješen; našli smo kvadrat broja 85.
Zapamtimo:
Ako neki broj završava znamenkom 5,
onda njegov kvadrat završava s 25!
Slide 21
I na kraju, jedan trikić...
Kako napamet kvadrirati brojeve čija je zadnja znamenka 5 ?
Evo recepta:
Npr.
8 5 2 = 7225
3 5 2 = 1225
Uočimo znamenku prije 5! To je 3 .
Pomnožimo broj 3 s njegovim sljedbenikom!
3· 4 = 12
Sljedbenik broja 3 je broj __.
4
Zapišemo 12 u rezultat...
i dopišemo 25!
Time je zadatak riješen; našli smo kvadrat broja 35.
Slide 22
I na kraju, jedan trikić...
Kako napamet kvadrirati brojeve čija je zadnja znamenka 5 ?
Evo recepta:
Npr.
8 5 2 = 7225
3 5 2 = 1225
2 5 2 = 625
Što ćemo ovdje množiti?
2·3 = 6
I dopišemo...
Slide 23
I na kraju, jedan trikić...
Kako napamet kvadrirati brojeve čija je zadnja znamenka 5 ?
Evo recepta:
Npr.
8 5 2 = 7225
3 5 2 = 1225
2 5 2 = 625
7 5 2 = 5625
2025
4Odmah
5 2 =reci
rješenje...
10 5 2 = 11025
Slide 24
Time smo došli do kraja prezentacije.
Sve prezentacije iz ovog ciklusa možete naći na
http://public.carnet.hr/~ahorvate .
Slide 25
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
ožujak 2010.
Slide 26
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Kvadriranje, korjenovanje i potenciranje
prezentacija 2.
Uvod u kvadriranje
materijal za samoučenje
Slide 2
Ovo je druga u nizu prezentacija kroz koje obrađujemo
cjelinu "Kvadriranje, korjenovanje i potenciranje".
U prošloj smo se prezentaciji prisjetili osnova o
algebarskim izrazima, a u ovoj ćemo naučiti
što je kvadriranje, te osnove o njemu.
Prezentacije su namijenjene učenicima za samoučenje,
npr. u slučaju da su bili bolesni pa nisu prisustvovali nastavi
kad se to obrađivalo, ako su zaboravili neke detalje pa se
žele podsjetiti, a naravno namijenjene su i svima ostalima
koji iz bilo kojeg razloga žele detaljnije proučiti ovo gradivo.
Možda čak i za korištenje na satu dok je nastavnik na bolovanju.
Kroz prezentacije se krećemo jednostavnim klikom miša,
a možemo koristiti i strelice na tipkovnici - za pomake
naprijed, ali i nazad. Možda ponekad poželite ponoviti neki
primjer, ponovo pročitati objašnjenje i sl., pa koristite
strelicu prema gore ili lijevo. Probajte!
Slide 3
Kvadriranje
Kvadriranje je računska operacija kod koje zadani broj
množimo sa samim sobom.
Npr. 7 na kvadrat računamo kao 7·7 i to je 49.
7 na kvadrat zapisujemo 72 .
Dakle, 72 = 7·7 = 49 .
Čemu bi bili jednaki sljedeći kvadrati:
42 = 4·4 = 16
82 = 64
92 = 9·9 = 81
Odmah
2 reci rješenje...
10 = 100
Kako ovo čitamo?
A ovo?
Osam na kvadrat jednako je 64.
Deset na kvadrat jednako je 100.
Koliko je 3 na kvadrat ?
9
Slide 4
Kvadriranje
Općenito, ako je a bilo koji broj:
a2 = a·a
a2 možemo čitati: - a na kvadrat
- a kvadrat
- a na drugu
Kad za neki broj a računamo a2 (kvadrat broja a),
tada kažemo da broj a kvadriramo,
a računska operacija koju pri tom vršimo zove se
kvadriranje.
Slide 5
Kvadriranje
Otkud naziv "kvadriranje" ?
Prisjetimo se:
Formula za površinu kvadrata stranice a je:
a
a
P= a∙a
P = a2
... a sad to
znamo zapisati
i na drugi način...
Dakle, površina kvadrata je a na kvadrat !
Površinu kvadrata dobivamo kvadriranjem njegove stranice.
Od sad pa nadalje zapamti formulu P=a2 i nju koristi prilikom
izračunavanja površine kvadrata. Formulu P=a∙a obično koriste oni
učenici koji još nisu čuli za kvadriranje.
Slide 6
Kvadriranje
Npr. Kolika je površina kvadrata stranice 5 cm ?
a
a
a = 5 cm
P = a2
P = 52
P = 25 cm2
P=?
Površina zadanog kvadrata je 25 cm2 .
Slide 7
Kvadriranje
Dopunimo...
12 =
1
112 =
121
22 =
4
122 =
144
32 =
9
42 =
16
52 =
25
62 =
36
72 =
49
82 =
92 =
Kvadrate prvih 10 brojeva
u trenu13
lako
izračunamo.
2 =
169
Međutim, često
u zadacima pojavljuju
142 = se196
i kvadrati brojeva od 11 do 20,
Nauči
pa je vrlo
naučiti ih napamet,
2 =
15korisno
225
te i njih znati "u trenu".
napamet!
162 =
256
64
182 =
324
81
192 =
361
202 =
400
102 = 100
Stoga ćemo i njih sad navesti,
172 = nauči
289napamet!
a ti ih svakako
Slide 8
Kvadriranje
12 =
1
112 =
121
12 = 1
22 =
4
122 =
144
22 = 4
32 =
9
132 =
169
32 = 9
42 =
16
142 =
196
42 = 16
52 =
25
152 =
225
62 =
36
162 =
256
72 =
49
172 =
289
82 =
64
182 =
324
92 =
81
192 =
361
92 = 81
202 =
400
02 = 0
102 = 100
Uočimo kroz ove
primjere
52 = koja
25 je
veza između
zadnje
62 znamenke
= 36
zadanog broja i
72 znamenke
= 49
zadnje
kvadrata!
2
8 = 64
Slide 9
Kvadriranje
Provjerimo jesi li shvatio:
1. Jedna od sljedeće dvije jednakosti nije točna.
Možeš li brzo reći koja? Kako znaš?
292 = 784
Zadnja znamenka od 292 mora biti 1
jer je 92=81.
282 = 784
2. Koja jednakost ovdje nije točna?
132 = 169
132 = 196
Zadnja znamenka od 132 mora biti 9
jer je 32=9.
Slide 10
Kvadriranje
Do sad smo kvadrirali samo prirodne brojeve.
Što je s kvadratima negativnih brojeva, razlomaka i
decimalnih brojeva?
Proučimo i njih...
Slide 11
Kvadrati negativnih brojeva
Ako npr. želimo kvadrirati -7 , to zapisujemo kao
(-7)2
i računamo -7∙(-7) = 49 .
Zapamtimo:
Ako kvadriramo negativan broj, moramo ga staviti u zagradu.
(-7)2 = -7·(-7) = 49
(-6)2 = 36
(-3)2 = -3·(-3) = 9
Odmah 2
reci
(-10)
= rješenje...
100
(-8)2 = -8·(-8) = 64
Kojeg su predznaka rješenja?
Rješenja su pozitivna!
Zapamtimo:
Što misliš, hoće li kvadrat negativnog broja uvijek biti pozitivan? Zašto?
Kvadrat negativnog broja je uvijek pozitivan broj!
Hoće, jer pri kvadriranju broj množimo sa samim sobom, a vrijedi: -·- = +
Kvadrat ne može biti negativan!
.
Slide 12
Kvadrati negativnih brojeva
(-9)2 = 81
Pri kvadriranju negativnog broja možemo razmišljati i ovako:
Prvo ću kvadrirati minus, a onda 9.
Minus na kvadrat daje plus (jer je -∙-=+), a plus ne pišem...
a 9 na kvadrat daje 81.
02 = 0
Odmah reci rješenje...
Nula je jedini broj čiji kvadrat nije pozitivan.
(nula nije ni pozitivna ni negativna)
Svi ostali brojevi imaju pozitivne kvadrate!
Slide 13
Kvadrati negativnih brojeva
Kako rješavamo zadatke poput -72 (bez zagrade),
zasad nećemo razjašnjavati.
O tome ćemo učiti u sljedećoj lekciji (tj. sljedećoj
prezentaciji).
Slide 14
Kvadriranje razlomaka
Ako želimo kvadrirati razlomak, i njega moramo staviti u zagradu!
52
Npr.
( )
5
__
7
2
5
5
25
= __ · __ = __
7
7
49
Kako izračunati taj kvadrat?
72
(-3)2
( )
-3
__
4
2
( )
-2
__
9
2
-3 -3
9
= __ · __ = __
4
4
16
Uočimo kako odmah
iz zadanog razlomka
dobiti kvadrat
(bez međukoraka
s množenjem)!
Kvadriramo brojnik i
kvadriramo nazivnik!
42
4
= __
81
Minus
Jednostavno...
...
Možeš
na
dva
kvadrat
na
li odmah
kvadrat
daje
reći
daje
plus
rješenje?
4...
(njega
...
devet
na
kvadrat
daje
81. u rezultatu ne pišemo)...
Slide 15
Kvadriranje decimalnih brojeva
Kad kvadriramo decimalni broj, ne moramo pisati zagradu.
?
Traži se kvadrat od
Npr.
0.72 = 0.7·0.7 = 0.49
Kako izračunati
Izračunaj
taj kvadrat?
pismeno...
0.032 = 0.03·0.03 = 0.0009
Izračunaj pismeno...
1.92 = 1.9·1.9 = 3.61
Izračunaj pismeno...
Možeš li uočiti kako odmah
iz zadanog decimalnog broja
dobiti kvadrat
(bez međukoraka s množenjem)?
0.7 .
Kad bismo iz 0.7 izbacili
točku, dobili smo broj 7 .
Njega kvadrirajmo!
Koliko je 72 ? 49
I sad još u broju 49 stavimo
decimalnu točku tako da u njemu
bude dvostruko više decimalnih
mjesta nego u početnom broju.
Dobivamo 0.49 .
(U 0.7 smo imali jednu decimalu,
pa tu trebaju biti dvije - to je
dvostruko više.)
Time smo došli do rješenja.
Na taj način napamet možemo
kvadrirati decimalni broj, ako
početni broj nije presložen...
Slide 16
Kvadriranje decimalnih brojeva
Kad kvadriramo decimalni broj, ne moramo pisati zagradu.
Npr.
0.72 = 0.7·0.7 = 0.49
?
0.032 = 0.03·0.03 = 0.0009
1.92 = 1.9·1.9 = 3.61
Možeš li uočiti kako odmah
iz zadanog decimalnog broja
dobiti kvadrat
(bez međukoraka s množenjem)?
Traži se kvadrat od 0.03 .
Kad bismo iz 0.03 izbacili
točku, dobili smo broj 3 .
Njega kvadrirajmo!
Koliko je 32 ? 9
I sad još u broju 9 stavimo
decimalnu točku tako da u njemu
bude dvostruko više decimalnih
mjesta nego u početnom broju.
Dobivamo 0.0009 .
(U 0.03 smo imali dvije decimale,
pa tu trebaju biti četiri - to je
dvostruko više.)
Time smo došli do rješenja.
Slide 17
Kvadriranje decimalnih brojeva
Kad kvadriramo decimalni broj, ne moramo pisati zagradu.
Npr.
0.72 = 0.7·0.7 = 0.49
0.032 = 0.03·0.03 = 0.0009
?
1.92 = 1.9·1.9 = 3.61
Možeš li uočiti kako odmah
iz zadanog decimalnog broja
dobiti kvadrat
(bez međukoraka s množenjem)?
Traži se kvadrat od 1.9 .
Kad bismo iz 1.9 izbacili
točku, dobili smo broj 19 .
Njega kvadrirajmo!
Koliko je 192 ? 361
I sad još u broju 361 stavimo
decimalnu točku tako da u njemu
bude dvostruko više decimalnih
mjesta nego u početnom broju.
Dobivamo 3.61 .
(U 1.9 smo imali jednu decimalu,
pa tu trebaju biti dvije - to je
dvostruko više.)
Time smo došli do rješenja.
Slide 18
Kvadriranje decimalnih brojeva
Kad kvadriramo decimalni broj, ne moramo pisati zagradu.
Npr.
0.72 = 0.7·0.7 = 0.49
0.032 = 0.03·0.03 = 0.0009
1.92 = 1.9·1.9 = 3.61
Provjerimo jesmo li dobro razumjeli!
Pokušaj kvadrirati na maloprije opisani brži način:
0.22 = 0.04
(-1.4)2 = 1.96
0.0012 = 0.000 001
(-0.17)2 = 0.0289
1.62 = 2.56
1.12 = 1.21
Slide 19
Kvadriranje nekih prirodnih brojeva
Izračunajmo sljedeće kvadrate:
302 = 30·30 = 900
7002 = 700·700 = 490 000
8 0002 = 8 000·8 000 = 64 000 000
Uoči s koliko nula završava zadani broj, a s koliko njegov kvadrat!
Usporedi! Što zaključuješ?
Kvadrat završava s dvostruko više nula nego zadani broj!
Možeš li odmah reći rješenje:
602 = 3600
1202 = 14 400
(6
na 2kvadrat
je 36
i dopišemo dvostruko
više
nula,
dvije
nule.)
2 =
500
= 250
000
1 800
3 tj.
240
000
(5 na kvadrat je 25 i dopišemo dvostruko više nula, tj. četiri nule.)
Slide 20
I na kraju, jedan trikić...
Kako napamet kvadrirati brojeve čija je zadnja znamenka 5 ?
Evo recepta:
Npr.
8 5 2 = 7225
Uočimo znamenku prije 5! To je 8 .
Pomnožimo broj 8 s njegovim sljedbenikom!
8· 9 = 72
Sljedbenik broja 8 je broj __.
9
Zapišemo 72 u rezultat...
i dopišemo 25!
Time je zadatak riješen; našli smo kvadrat broja 85.
Zapamtimo:
Ako neki broj završava znamenkom 5,
onda njegov kvadrat završava s 25!
Slide 21
I na kraju, jedan trikić...
Kako napamet kvadrirati brojeve čija je zadnja znamenka 5 ?
Evo recepta:
Npr.
8 5 2 = 7225
3 5 2 = 1225
Uočimo znamenku prije 5! To je 3 .
Pomnožimo broj 3 s njegovim sljedbenikom!
3· 4 = 12
Sljedbenik broja 3 je broj __.
4
Zapišemo 12 u rezultat...
i dopišemo 25!
Time je zadatak riješen; našli smo kvadrat broja 35.
Slide 22
I na kraju, jedan trikić...
Kako napamet kvadrirati brojeve čija je zadnja znamenka 5 ?
Evo recepta:
Npr.
8 5 2 = 7225
3 5 2 = 1225
2 5 2 = 625
Što ćemo ovdje množiti?
2·3 = 6
I dopišemo...
Slide 23
I na kraju, jedan trikić...
Kako napamet kvadrirati brojeve čija je zadnja znamenka 5 ?
Evo recepta:
Npr.
8 5 2 = 7225
3 5 2 = 1225
2 5 2 = 625
7 5 2 = 5625
2025
4Odmah
5 2 =reci
rješenje...
10 5 2 = 11025
Slide 24
Time smo došli do kraja prezentacije.
Sve prezentacije iz ovog ciklusa možete naći na
http://public.carnet.hr/~ahorvate .
Slide 25
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
ožujak 2010.
Slide 26
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/