Slide 1

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 2

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 3

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 4

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 5

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 6

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 7

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 8

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 9

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 10

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 11

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 12

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 13

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 14

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 15

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 16

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 17

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 18

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 19

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 20

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 21

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek


Slide 22

Mira Čuvidić
Učiteljica razredne nastave

ZA BISTRE GLAVICE
Ova prezentacija namijenjena je učenicima
4. razreda, ali i svima ostalima koji vole rješavati
zanimljive matematičke zadatke.
Uz nju možete sami naučiti mnoge
zanimljivosti i zakonitosti u matematici.

1. Koliko različitih dvoznamenkastih brojeva možemo
napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, ako sve
znamenke moraju biti međusobno različite?
Raspolažemo sa 5 znamenaka,
D J
D J
od kojih 0 ne može biti na prvom
3 0
1 0
mjestu.
Stoga prvu znamenku
3 1
1 2
možemo izabrati na 4 načina
3 2
1 3
(bilo koja znamenka osim nule),
a drugu isto na 4 načina (bilo
1 4
3 4
koja znamenka osim one koju
2 0
4 0
smo izabrali za prvo mjesto).
2 1
4 1
Rješenje: 4 ∙ 4 = 16
2 3
4 2
Postoji 16 takvih brojeva.
2 4
4 3
To vidimo i iz tablica.

2. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako sve znamenke moraju biti međusobno različite?
Rješenje:
Raspolažemo sa 6 znamenaka.
Nula ne može biti na prvom mjestu. Stoga prvu
znamenku možemo izabrati na 5 načina.
Druga znamenka može biti bilo koja od preostalih 5
znamenaka (ne može biti samo ona koju smo zapisali
na prvo mjesto),
treća može biti bilo koja od preostale 4 znamenke
(bilo koja osim prve i druge znamenke),
a četvrta bilo koja od preostale 3 znamenke.

Račun:

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300
Odgovor: Možemo napisati 300 takvih brojeva.

3. Koliko različitih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 5 načina (0 ne može biti
na prvom mjestu).
Drugu, treću i četvrtu biramo na 6 načina (na ta
mjesta možemo napisati bilo koju od šest
ponuđenih znamenki).
Račun:

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 080
Odgovor: Možemo napisati 1 080 takvih brojeva.

4. Koliko različitih parnih četveroznamenkastih brojeva
možemo napisati pomoću znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ako se znamenke mogu ponavljati?

Rješenje:
Prvu znamenku biramo na 6 načina (bilo koja
znamenka osim nule),
drugu i treću znamenku na 7 načina (bilo koja),
a četvrtu znamenku na 4 načina (mora biti parna,
a od ponuđenih znamenki parne su 0, 2, 4 i 6).
Račun: 6 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 4 = 1 176
Odgovor: Možemo napisati 1 176 takvih brojeva.

5. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je
prva i posljednja znamenka 9?

Rješenje:
Prvu i posljednju znamenku možemo izabrati na
samo jedan način jer to mora biti znamenka 9 (niti
jedna druga znamenka ne može biti na prvom niti na
posljednjem mjestu).
Ostale znamenke možemo izabrati na 10 načina
(postoji ukupno 10 znamenki: 0, 1, 2, ..., 9).

Račun: 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 · 1 = 1 000
Odgovor: Možemo napisati 1 000 takvih brojeva.

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?

Izbroji...

6. Na Aninom rođendanu bilo je petero djece. Svi su
se međusobno rukovali. Koliko je ukupno bilo
rukovanja ?
Račun:
Svako dijete rukovalo se sa svima, osim sa samim
sobom. Znači, svatko se rukovao 4 puta.
Budući da je djece bilo petero, računamo:
5 ∙ 4 = 20 .
Ali, pri tom smo svako rukovanje brojali dva puta (npr.
kad se prvo dijete rukovalo s drugim, tada se i drugo
rukovalo s prvim), pa rezultat moramo podijeliti s 2,
20 : 2 =10 .
Odgovor: Bilo je ukupno 10 rukovanja.
Jesi li i brojanjem dobio taj rezultat?

7. Na jednom dalekom planetu ima 10 svemirskih
stanica i sve su međusobno povezane redovitim
raketnim linijama. Koliko raketnih linija ima na tom
planetu ?

Rješenje:
Svaka svemirska stanica povezana je s 9 ostalih
stanica (sa svima osim sa sobom).
Znači, množimo 10 ∙ 9 = 90 .
Međutim, umnožak trebamo podijeliti s 2 jer smo
svaku vezu brojali 2 puta (npr. prva je stanica
povezana s drugom, a i druga je s prvom, a to je
jedna te ista veza).
90 : 2 = 45
Odgovor: Na tom planetu ima 45 raketnih linija.

8. Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju
barem jednu znamenku 7 ?
Rješenje:
Svih troznamenkastih brojeva ima: 9 ∙10 ∙ 10 = 900 .
(Prva znamenka je bilo koja osim nule, dakle možemo je izabrati na 9
načina, a drugu i treću na 10 načina.)

Onih troznamenkastih brojeva koji nemaju niti jednu znamenku 7,
ima 8 ∙ 9 ∙ 9 = 648 .
(U ovom slučaju prva znamenka je bilo koja osim nule i sedmice, pa je
možemo izabrati na 8 načina, a druga i treća je bilo koja osim sedmice,
dakle njih biramo na 9 načina.)

Troznamenkasti brojevi koji imaju barem jednu sedmicu:
900 - 648 = 252 .
Ima 252 troznamenkasta broja koji imaju barem jednu sedmicu.

9. Ivana je zamislila neki broj. Dodala mu je 449,
zbroj pomnožila sa 6, od umnoška oduzela 1200,
te razliku podijelila s 200 i dobila 9.
Koji je broj na početku zamislila Ivana?

Računamo unatraške:
9 ∙ 200 = 1800
1800 + 1200 = 3000
3000 : 6 = 500
500 - 449 = 51
Odgovor: Ivana je zamislila broj 51.
Provjeru napravi sam...

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Rješenje:
Sadnuk pun jabuka ima masu 25 kg, a sanduk do pola
napunjen jabukama 15 kg. Stoga ona količina jabuka
koja tu nedostaje ima masu 10 kg.
Dakle, jabuke iz pola sanduka imaju masu 10 kg,
a onda jabuke iz cijelog sanduka imaju masu 20 kg.
Otuda zaključujemo da je masa praznog sanduka
25 kg - 20 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.

10. Sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
a sanduk do polovice napunjen jabukama ima
masu 15 kg.
Kolika je masa samog sanduka?
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način:
Ako sanduk do polovice napunjen jabukama ima masu
15 kg, onda dva sanduka do polovice napunjena
jabukama imaju masu 30 kg.
Budući da jedan sanduk s jabukama ima masu 25 kg,
iz toga zaključujemo da je masa sanduka
30 kg - 25 kg = 5 kg.
Odgovor: Masa sanduka je 5 kg.
Naravno, došli smo do istog rješenja kao i prvim postupkom.

11. Nađi 2010. znamenku u nizu brojeva
1234567891011…
Rješenje:
Prvih 9 znamenaka jednoznamenkasti su brojevi.
Nakon njih slijede dvoznamenkasti brojevi. Njih je 9 · 10 = 90, te je
za njihov zapis korišteno 90 · 2 = 180 znamenaka.
To je (za sad) ukupno 9 + 180 = 189 znamenki.
Nadalje, troznamenkastih brojeva je ukupno 9 · 10 · 10 = 900
i oni imaju zajedno 900 · 3= 2700 znamenaka.
Budući da nas zanima 2010. znamenka, ona pripada nekom od tih
troznamenkastih brojeva.
Budući da troznamenkastim brojevima pripadaju sve znamenke iza
one na 189. mjestu, njih je 2010 - 189 = 1821.
Izračunajmo koliko je troznamenkastih brojeva zapisano s toliko
znamenki: 1821 : 3 = 607
Koji je 607. troznamenkasti broj? 9 + 90 + 607 = 706
Odgovor: 2010. znamenka u nizu je znamenka 6 (iz broja 706).

12. Nađi 1707. znamenku u nizu brojeva
12345678910…
13. Nađi 1623. znamenku u nizu brojeva
12345678910…

Rješenja:
12. To je znamenka 5 (iz znamenka broja 605).
13. To je znamenka 7 (zadnja znamenka broja 577).

14. Koliko je troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Troznamenkastih brojeva ima ukupno 900.
900 : 4 = 225 ih je djeljivo sa 4.
900 : 12 = 75 ih je djeljivo sa 3 i 4.
225 - 75 = 150 ih je djeljivo s 4 a nije djeljivo s 3.
Odgovor: Ima 150 troznamenkastih brojeva koji su
djeljivi s 4, a nisu djeljivi s 3.

15. Koliko je četveroznamenkastih brojeva
koji su djeljivi s 5, a nisu djeljivi s 3?
Rješenje:
Četveroznamenkastih brojeva ima 9000.
9000 : 5 = 1800 ih je djeljivo s 5.
9000 : 15 = 600 ih je djeljivo s 5 i s 3.
1800 - 600 = 1200 ih je djeljivo s 5 a nije s 3.
Odgovor: Takvih brojeva je 1200.

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =

Sparimo prvi i posljednji broj...
Sparimo drugi i predzadnji broj...
Koji je idući par?
Koji je zadnji par?

16. Izračunaj zbroj svih brojeva do 100.
Rješenje:
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ...+ (50 + 51) =
= 50 · 101 = 5 050
Koliki su zbrojevi u zagradama?
U svakoj zagradi zbroj je 101.
Koliko zagrada imamo?
Ima ih 50 (svih ukupno je 100 brojeva).

Zbroj svih brojeva do 100 je 5 050.

17. Izračunaj zbroj svih parnih brojeva do 1000.
Rješenje:
2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 =
= (2 + 1000) + (4 + 998) + (6 + 996) + ...
= 250 · 1002 = 250 500

Kako ćemo sad sparivati?
Koliko je takvih parova?
Takvih je parova 250 jer do 1000 imamo 500
parnih brojeva.
Traženi zbroj je 250 500.

18. Koliko stranica ima knjiga ako je za
označavanje svih stranica te knjige uporabljeno 348
znamenaka?
Rješenje:
Za označavanje prvih 9 stranica treba 9 znamenaka
(jednoznamenkasti brojevi stranica),
a za idućih 90 dvoznamenkastih brojeva stranica treba
2 ∙ 90 = 180 znamenaka.
To je ukupno 9 + 180 = 189 znamenaka.
Preostalih 348 - 189 = 159 znamenaka uporabljene
su za troznamenkaste stranice.
Tu su 159 : 3 = 53 troznamenkasta broja.
Koji je 53. troznamenkasti broj?
9 + 90 + 53 = 152
Knjiga ima 152 stranice.

Autorica prezentacije:

Mira Čuvidić
https://sites.google.com/site/4razredosrajic/

KRAJ

Uz dopuštenje autorice manje izmjene unijela:
Antonija Horvatek
http://public.carnet.hr/~ahorvate

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu prezentaciju
stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek