Transcript Prosti i složeni brojevi

Prosti i složeni brojevi
Created by Inna Shapiro ©2008
Definicija
Za prirodan broj kažemo da je prost
ako on ima točno 2 djelitelja - broj
1 i samoga sebe .
Prvih deset prostih brojeva su:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i 29.
Brojevi koji imaju više od dva
djelitelja nazivaju se složeni.
Broj 1 nije ni prost ni složen.
Zadatak 1.
U jednoj je obitelji šestero djece.
Petero njih je starije od najmlađeg
djeteta za 2, 6, 8, 12 i 14 godina.
Koliko je koje dijete staro ako su
godine svih njih prosti brojevi?
Rješenje
Najmlađe dijete ima 5,
a ostali 7, 11, 13, 17 i 19 godina.
Zadatak 2.
Marija je napisala četiri uzastopna
prosta broja. Zatim ih je
pomnožila i dobila umnožak čija
je posljednja znamenka bila 0.
Koje je brojeve Marija napisala?
Koliki je umnožak dobila?
Rješenje
Kako je zadnja znamenka umnoška
jednaka 0, zaključujemo da je umnožak
djeljiv sa 10, a onda on mora biti djeljiv
i sa 2 i sa 5. Pošto je Marija napisala
proste brojeve, oni ne mogu biti djeljevi
sa 2 i 5, osim ako je napisala upravo i
brojeve 2 i 5.
Otuda zaključujemo da je Marija napisala
brojeve 2, 3, 5 i 7.
Umnožak je:
2 · 3 · 5 · 7 = 210
Zadatak 3.
Ja li rezultat donjeg izraza prost broj:
20012001 + 20072007 ?
Rješenje
Zadnja znamenka od 20012001 je 1.
Zadnja znamenka od 20072007 je
neparan broj jer je 2007 neparan
broj, a umnožak neparnih brojeva je
također neparan.
Stoga će zadnja znamenka od
20012001 + 20072007 biti parna, pa će i
taj broj biti paran. Stoga je on djeljiv
s 2, pa ne može biti prost!
Zadatak 4.
Danijel ima devet kartica s
brojevima 1, 2, …, 9.
Složio je te kartice u nekom
redoslijedu i dobio
deveteroznamenkasti broj.
Može li se dogoditi da on tako
dobije prosti broj? A složeni?
Rješenje
Zbroj znamenaka tog broja je
1 + 2 + … + 9 = 45,
a broj 45 je djeljiv s 3.
Stoga je i zadani broj djeljiv s 3, pa
ne može biti prost.
Dakle, Danijel na taj način može
dobiti samo složene brojeve.
Zadatak 5.
Učitelj je na ploču napisao devet
brojeva:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
i tražio učenike da između njih stave
znakove “+” i “-” tako da rezultat
bude dvoznamenkasti prosti broj.
Na koliko se načina može riješiti taj
zadatak?
Rješenje
Kao prvo, ne može se dobiti rezultat veći
od 45 jer je 1+2+…+9 = 45.
Imamo deset dvoznamenkastih prostih
brojeva koji su manji od 45:
11,13,17,19,23,29,31,37,41,43.
Evo kako ih možemo dobiti:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 - 8 – 9 = 11
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = 13
1 + 2 + 3 + 4 - 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 17
Rješenje (nastavak)
1+2+3-4+5+6+7+8
1–2+3+4+5+6+7+8
1+2+3+4+5+6+7-8
1+2+3+4+5+6-7+8
1+2+3–4+5+6+7+8
1-2+3+4+5+6+7+8
2–1+3+4+5+6+7+8
– 9 = 19
– 9 = 23
+ 9 = 29
+ 9 = 31
+ 9 = 37
+ 9 = 41
+ 9 = 43
Zadatak 6.
Pokušaj naći dva različita
dvoznamenkasta prosta broja takva
da oni zadovoljavaju:
 kad jednom od njih zamijeniš
znamenke, dobivaš drugi broj
 razlika tih brojeva je kvadrat
nekog prirodnog broja.
Rješenje
Dvoznamenkasti prosti brojevi mogu završavati
samo sa 1, 3, 7 ili 9. Stoga imamo samo četiri
dvoznamenkasta prosta broja koja mogu biti
zapisana sa istim znamenkama (ali u
obrnutom redoslijedu):
• 31 i 13 ,
31 – 13 = 18 ;
• 71 i 17 ,
71 – 17 = 54 ;
• 97 i 79 ,
97 – 79 = 18 ;
• 73 i 37 ,
73 – 37 = 36 , a vrijedi 36 = 62.
Dakle, rješenje su brojevi 37 i 73.
Zadatak 7.
Mario ima dvije kartice sa prostim
brojevima A i B.
Zadnja znamenka od zbroja
A2+B2 jednaka je 9.
Možeš li otkriti koliki su A i B ?
Rješenje
Ako zbroj A2+B2 dvaju brojeva završava sa 9, onda je
jedan od pribrojnika (A2 ili B2) paran, a drugi
neparan.
Kvadrat bilo kojeg neparnog broja je neparan, a parnog
broja paran, pa zaključujemo da je paran kvadrat
zapravo kvadrat broja 2 (jer ne postoje drugi parni
prosti brojevi). Dakle, ili je A=2 ili B=2.
Pretpostavimo da je A = 2. Tada je A2=4, pa zadnja
znamenka od B2 mora biti 5. Stoga B 2 mora biti
djeljiv s 5, a onda i B mora biti djeljiv s 5. Pošto je B
prosti broj, zaključujemo da je B = 5.
Dakle, A = 2 , B = 5.
Tada je A2 + B2 = 29 .
Zadatak 8.
Ana ima tri karice sa različitim
znamenakama.
Zaključila je da od njih može složiti
6 različitih troznamenkastih prostih
broja.
Dokaži da je to nemoguće!
Rješenje
Ako je zadnja znamenka troznamenkastog broja parna,
onda je taj broj djeljiv s 2, pa ne može biti prost.
Otuda zaključujemo da su sve Anine znamenke
neparne.
Također zaključujemo da na njezinim karticama ne može
biti broj 5, jer je troznamenkasti broj koji završava s 5,
djeljiv s 5, pa ne može biti prost.
Dakle, na Aninim karticama su znamenke 1, 3, 7 ili 9.
Međutim, koje god od te tri znamenke ona imala, od njih
ne možemo složiti 6 prostih brojeva jer:
 Ako ima 1,3,7, tada je 371 = 53 · 7;
 Ako ima 1,3,9, tada je 319 = 29 · 11;
 Ako ima 1,7,9, tada je 791 = 113 · 7;
 Ako ima 3,7,9, tada je 793 = 61 · 13.
Zadatak 9.
Možeš li naći prost broj A takav da
su brojevi (A + 10) i (A + 14)
također prosti brojevi?
Nađi sva moguća rješenja.
Rješenje
Ako broj A podijelimo brojem 3, ostatak tog dijeljenja
može 0, 1 ili 2. Stoga broj A možemo zapisati na
jedan od sljedeća tri načina:
1. A = 3 · k ,
pri čemu je k neki prirodni broj,
2. A = 3 · k + 1 , pri čemu je k neki prirodni broj,
3. A = 3 · k + 2 , pri čemu je k neki prirodni broj.
Ako je A = 3 · k, onda je A djeljiv s 3, pa može biti
prost samo ako je A=3. Tada je A+10 =13 i A+14=17,
a to su također prosti brojevi.
Ako je A=3·k+1 , tada je A+14=3·k+15 , a taj je broj
djeljiv s 3, pa ne može biti prost.
Ako je A=3·k+2, tada je A+10=3·k+12 , pa je u ovom
slučaju taj broj djeljiv s 3 i ne može biti prost.
Dakle, jedino rješenje je A=3.
Zadatak 10.
Brojevi 3, 5 i 7 su uzastopni neparni
brojevi, a uz to su i prosti.
Postoje li još koja tri uzastopna
neparna broja koja su prosta?
Rješenje
Ne postoje! Dokažimo to:
Pretpostavimo da imamo tri uzastopna neparna broja.
Označimo ih sa A, A + 2 i A + 4.
Broj A nije djeljiv s 3 jer je prost. Stoga on pri
dijeljenju s 3 ima ili ostatak 1 ili ostatak 2, pa ga
možemo napisati ili kao A=3·k+1 ili A=3·k+2 , pri
čemu je k neki prirodni broj.
Ako je A= 3·k+1, tada je A+2 djeljiv s 3, pa on nije
prost broj.
A ako je A= 3·k+2, tada je A+4 djeljiv s 3, pa on nije
prost broj.
Dakle, ne postoje takvi brojevi (osim 3, 5 i 7).
Autorica prezentacije:
Inna Shapiro
Originalnu prezentaciju na engleskom jeziku
možete naći na:
http://www.raisesmartkids.net/
Prevela s engleskog: Antonija Horvatek
Najtoplije zahvaljujem kolegici Inni Shapiro na dopuštenju da ovu
prezentaciju stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/