Brojevi u starim kulturama

Ivana Šovagović, studentica Odjela za matematiku

Brojevni sustav Egipta

(3000. g. pr. Kr.)

HIJEROGLIFI

• • • pismo se sastoji od raznih simbola i sličica ima 7 simbola pomoću kojih zapisujemo brojeve baza 10

Primjer:

= 125 = 1973 = 2235102

HIJERATSKI BROJEVI

• mijenjali su se tijekom vremena • Boyer ( prije 50 godina) Korišteni pojedinačni znakovi za: • • •

jedinice (1, 2,…9)

• desetice (10, 20,…90) • stotice(100, 200,…900) • tisućice (1000, 2000,…9000) nisu bili pisani u sustavu mjesnih vrijednosti adicijski sustav

Primjeri:

1800 p.n.e

1600 p.n.e

Demotski brojevi

     nastalo u 8 st. pr. Kr iz hijeratskih brojeva drugačiji način zapisivanja brojeva -> isti princip kao hijeratski brojevi 664-525. pr. Kr -> glavno pismo koristilo se do polovice 5. st pr. Kr Demotski sustav brojeva će preuzeti i Stari Grci

Demotsko pismo se dijeli na tri perioda:

   rano demotsko pismo (650 - 400 p.n.e.) srednje kasno (ptolomejsko) demotsko pismo (400 - 30. p.n.e.) (rimsko) demotsko pismo (30. p.n.e. - 452)

RAZLOMCI

Poznavali su samo jedinične razlomke zapisivali tako da zapišu nazivnik i iznad njega stave simbol otvorenih usta Specijalni znakovi su postojali samo za

⅔ i ¾ Primjer: oko boga Horusa cjelokupni simbol oka ima vrijednost 1

6 7  1 2  1 3  1 42

Babilonski brojevni sustav

(oko 2000. g. pr. Kr.)

u početku koristili pet simbola

Danas:

za prikaz brojeva koristili "jedinice" i "desetice" koriste dva simbola  

1 ili 60 10 Primjer:

broj 95:

60+30+5

baza 60

Primjer:

Brojevni sustav s bazom šezdeset u babilonskoj matematici

Tablica recipročnih brojeva Objašnjenje

a

 9

je

1

a

 6  60  1  40  60  2

Grčki brojevni sustav

(oko 900. pr. Kr. – 200. poslije Kr.)

Imali dva usporedna brojevna sustava

Prvi je bio zasnovan na početnim slovima imena brojeva Primjer:

= 5678

Baza 10

Drugi je upotrebljavao sva slova grčkog alfabeta i tri iz feničkog Primjer:

= 269

Adicijski sustav brojeva

Rimski brojevni sustav

(400. pr. Kr. - 600. poslije Kr.)

 jedan je od najpoznatijih brojevnih sustava u povijesti ljudske civilizacije  jedan znak predstavlja jednu vrijednost  nije osnovan na nekom baznom broju  osnovne znamenke u rimskom brojevnom sustavu su

I, V, X, L, C, D, M

( ima ih sedam)

NEPOZICIJSKI brojevni sustav Vrijednost znamenki I V

 

1 5 X



L



C



D



M



10

50 100 500 1000

Pravila za pisanje rimskih brojeva

 Ako su znamenke napisane jedna do druge tako da desna nije veća od lijeve, onda se vrijednosti znamenki zbrajaju

Primjer

(zbrajanje znamenki)

L X V I I = L+X+V+I+I = 50+10+5+1+1 = 67

 Ako su znamenke napisane tako da je vrijednost lijeve znamenke manja od desne, onda se vrijednost lijeve znamenke oduzima od vrijednosti desne

Primjer

(oduzimanje znamenki)

IV = 4 IX = 9

Što je sa brojevima koji su veći ili jednaki 4000 ?

V X

= 5 000 = 10 000

L D

= 50 000 = 500 000

M

= 1 000 000

Mane sustava:

•

Njegova ograničenost

•

Nema decimalnih brojeva

•

Velik broj znamenaka za velike brojeve

•

Nepostojanje nule

Latinski nazivi rimskih brojeva

I

- unus, una ,unum XI – unadecim

II

- duo, duae, duo XII – duodecim

III IV V

- quinque XV - quinquedecim

VI

- sex XVI - sedecim

VII

- septem XVII - septedecim

VIII IX

- tres, tria XIII - tresdecim - quattuor XIV - quattuordecim - octo XVIII - duodeviginti - novem XIX - unadeviginti

X

- decem XX - viginti

XXIV

- quattuoretviginti XXX – triginta

• najprije računali ˝na prste˝ • u 2. tisućljeću prije Krista imali su imali simbole za brojeve

Primjer:

= 4359 = 5080

baza 10

2000.god. pr. Kr.

kasnije se računalo pomoću štapića • brojevi od 1 - 5 bili su prikazivani kao horizontalne crtice • brojevi od 6 – 9 su prikazivani kao jedan vertikalni štapić te kombinacija od nekoliko horizontalnih štapića 400.god pr.Kr

• nakon uvođenja negativnih brojeva, štapići za računanje su se izrađivali u dvije boje: - crveni za pozitivne - crni za negativne brojeve

s vremenom kinesko se pismo malo promijenilo i oblikovalo suvremeni kineski znakovi za brojeve

Čitanje kineskih brojeva

1 2 3 4 5 6 7 8

- ichi - ni - san - shi ili yon - go - roku - shichi ili nana - hachi

9 10

- kyu – ju

100

– hyaku

1000

- sen

10 000

- man

Brojevni sustav Maya

(indijansko pleme, srednja Amerika, 3.-10. st.)

zapisivali brojeve pomoću samo 3 simbola:

0  puževa kućica ili 1  točka 5  crta

Baza 20

tablica s brojevima

Brojevni sustav Azteka

(srednja Amerika, 15.-16. st.)

Koristili četiri simbola

1  zrno kukuruza  20  zastava 400  stabljika kukuruza 8000  lutka od kukuruza

Primjer:

= 39 = 9000 baza 20 = 9287

Indijski brojevni sustav

• Indijski način zapisivanja brojki bio je temelj europskom načinu zapisivanja koji je danas jako proširen • prvi put se pojavljuje nula (vjerojatno od 4. st., sigurno od 9. st.) sunya -> praznina • uvođenje negativnih brojeva

Imali su tri različita tipa brojevnih sustava:

• KHAROSTHI (oko 400.-200. pr. Kr.) • BRAHMI (oko 300. pr. Kr.) • GWALIOR (oko 850. poslije Kr.)

Brahmi

(1. stoljeće poslije Kr.) • dekadski brojevni sustav – znamenke 1,….9

• iz njega se razvio arapski brojevni sustav • prvi pravi pozicijski sustav • imali su posebne simbole i za veće brojeve: 10, 20, 30, 40, ... , 90, 100, 200, 300, 400, ..., 900, 1000, ...

Arapski brojevni sustav

Tri tipa aritmetike

1. Računalo se na prste – brojevi se pišu riječima 2. Seksadecimalni sustav – brojevi označeni arapskim slovima

3. Indijski dekadski sustav

• brojke koje danas koristimo nazivaju se ” arapske brojke ’’ • nasljeđene iz indijskog Brahmi sustava • iz zapadno arapskih brojki razvile su se današnje europske brojke • sastoje se od znamenaka:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

• pozicijski brojevni sustav

Japanski brojevni sustav

U Japanu se koriste dva sustava brojeva:  

jedan je originalno japanski drugi je kineski koji je prihvaćen prije oko 1000 godina

Preko broja deset koriste se samo kineski brojevi

1

Hitotsu – Jedan

2 3

Futatsu – Dva Mittsu / Mi

4

Yottsu / Yon

5

Itsutsu

6

Muttsu / Mu – Tri – Pet – Četiri – Šest

7

Nanatsu / Nana / Sebun – Sedam

8 9

Yattsu / Ya / Hatsu / Eito Kokonotsu – Devet

10

To / Too – Deset – Osam

Afrički brojevni sustav

800 godina prije Krista Feničani donijeli zapadno azijski brojevni sustav Rimljani podučavaju sjevernoafričke studente o grčkoj geometriji Većina ljudi u sjevernoj i istočnoj Africi je koristila indijski brojevni sustav brojevni sustav koji se temelji na bazi 10, a dijelom na bazi 20 

narod Yoruba

Narod Yoruba

Koristili brojevni sustav koji se temelji na bazi 10 , a dijelom na bazi 20 U knjizi

Africa Counts

, Claudia Zaslavsky, opisuje brojevni sustav Yoruba

Čitanje brojeva Yoruba 20 40 200 400

= ogun = ogun meji = igba = irinwo

Objašnjenje Yoruba brojevnog sustava

Brojevi od 1 do 10 imaju jedinstvene nazive Brojevi 11, 12, 13 i 14 se zapisuju: 11=10+1 13=10+3 12=10+2 14=10+4 Brojevi od 15 do 19 su napisani pomoću oduzimanja od broja 20 Brojevi 21, 22, 23 i 24 se zapisuju: 21=20+1 23=20+3 22=20+2 24=20+4 Brojevi od 25 do 29 zapisuju se kao oduzimanje od 30 Svaki broj veći od 30 se zapisuje kao određeni broj puta 20 → plus/minus desetica i jedinica

Primjer:

35 = (2 · 20) - 5 47 = (3 · 20) - 10 - 3 51 = (3 · 20) - 10 + 1 55 = (3 · 20) - 5 67 = (4 · 20) - 10 - 3 73 = (4 · 20) - 10 + 3 86 = (5·20) - 10 - 4 117 = (6·20) - 3

Literatura

         Baze u drugim i način kulturama, Doc. dr. sc. Blaženka Divjak Povijest Matematike1, Franka Miriam Bruckler http://free-bj.htnet.hr/zbjelanovic/index.html

http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/prva.htm

http://www.skole.hr/ucenici/os_nizi?news_hk=5283&news_id=183&mshow=345 http://www.prenhall.com/divisions/esm/app/ph elem/multicult/html/chap3.html

http://www.historyforkids.org/learn/africa/science/numbers.htm

http://sh.wikipedia.org/wiki/Egipatski_brojevi http://sh.wikipedia.org/wiki/Gr%C4%8Dki_brojevi