Transcript Brojevni sustavi1

• Brojevni sustav je zajednički naziv za skup
pravila pomoću kojih se jednoznačno zapisuju
brojevi. Pravila opisuju kako se brojevi zapisuju
(znamenke), kao i kako se zapis jednoznačno
tumači. Važno svojstvo brojevnog sustava je
mogućnost zapisa svih (ili barem prirodnih)
brojeva.
• Jedan od prvih sustava u svijetu bio je hijeroglifski
brojevni sustav, koji je nastao u Egiptu (3000 –
2500) godina prije Krista, a bio je desetinski
(dekadski) i nepozicijski.
• Kasnije se javlja i prvi oblik pozicijskog brojevnog
sustava koji su izmislili Babilonci oko 2000 godine
prije Krista. Njihov pozicijski brojevni sustav imao
je bazu šezdeset, ali jedini nedostatak toga
sustava je bilo što nije imao nulu, što je, naravno
stvaralo teškoće pri raznim operacijama s
brojevima.
• Današnji „moderan“ pozicijski brojevni sustav
stvorili su Indijci, a bio je to brojevni sustav s
bazom deset i nulom kao znakom
(znamenkom) toga sustava. Taj su brojevni
sustav na naše prostore donijeli Turci, prilikom
ratnih pohoda na daleke zemlje istoka (Indije).
Hrvati su imali svoj vlastiti brojevni sustav i to
na bazi glagoljice.
Brojevni sustavi
Sastoje se od:
• skupa znakova (znamenaka)
• pravila za pisanje tih znakova (znamenaka)
Dijele se na:
• pozicijske brojevne sustave:
–
–
–
–
dekadski brojevni sustav
binarni brojevni sustav
oktalni brojevni sustav
heksadekadski brojevni sustav
• nepozicijske brojevne sustave:
– sustav rimskih brojeva
• mješoviti brojevni sustave:
– babilonski brojevni sustav
– rezidualni brojevni sustav (RBS)
Nepozicijski brojevni
• Nepozicijski brojevni sustavi su oni kod kojih
značenje pojedinog znaka (znamenke) ne ovisi
o položaju u zapisanom broju, ali oni imaju
nekoliko nedostataka:
• obavljanje aritmetičkih operacija je složeno
• za zapisivanje većih brojeva moraju se uvoditi
novi znakovi
• Najpoznatiji nepozicijski brojevni sustav
je sustav rimskih brojeva
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
On se sastoji od sljedećih znamenaka:
Znamenka
Vrijednost
I
1
V
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1000
Kod rimskih brojeva oznaka V za broj pet zapravo
simbolizira ruku koja ima pet prstiju, dok oznaka X za broj
deset simbolizira dvije ruke
Pravila za zapisivanje tih znamenaka su:
• ako se nekoliko jednakih znamenaka nađe jedna uz
drugu, onda se vrijednosti tih znamenaka zbrajaju (npr.
CCC = C + C + C, odnosno 300), a najviše ih stoji tri
• ako uzastopno stoje zapisane dvije različite znamenke
od kojih je ona lijeva veće vrijednosti, onda se njihove
vrijednosti zbrajaju (npr. LX = L + X, odnosno 60)
• ako uzastopno stoje zapisane dvije različite znamenke
od kojih je ona lijeva manje vrijednosti, onda se njihove
vrijednosti oduzimaju tako da se lijeva manje
vrijednosti oduzme od desne veće vrijednosti (npr. XL =
L – X, odnosno 40)
Primjeri:
•
•
•
•
XC + VIII=IIC
90 + 8= 98
DLXIV – CCLII = CCCXII
564 - 252 = 312
Pozicijski brojevni sustavi
• oni kod kojih vrijednost zapisanih znamenaka ovisi o
položaju u zapisanom broju. 124, 421
• Svaki pozicijski brojevni sustav ima
svoju bazu, znamenke i najveći element.
• U pozicijskim brojevnim sustavima upotrebljava se
ograničeni broj znamenki s tim da njihova vrijednost
ovisi o položaju u zapisanom broju. Otuda su ti sustavi
dobili svoj naziv.
• Baza je broj različitih znamenki u određenom
brojevnom sustavu.
• Najveći element je najveća znamenka sustava i iznosi
baza-1. (zato što zapisujemo i 0)
PRIMJER
•
6452)=6*1000+4*100+5*10+2*1=6 452
•
•
Vrijednost broja jednaka je zbroju svih mjesnih vrijednosti
3210-BROJEVNA MJESTA
•
6452 (10 ) = 6*1000(103)+4*100(102)+5*1(101)+2*1(100)=6 452
• 105=10*10*10*10*10=100 000
•
10111
•
Brojevna mjesta jednaka su eksponentima baze(10 NA 0,1,2,3…) pa ih stoga
nazivamo:
od decimalne točke s desna na lijevo (nulto, prvo, drugo, …)
od decimalne točke s lijeva na desno (minus prvo, minus drugo, …)
Mjesna vrijednost određuje se umnoškom (produktom) elemenata s
odgovarajućom potencijom (težinom) –
(iz Primjera mjesna vrijednost znamenke 4 na drugom mjestu je 4 • 102= 400)
5= 5*101
•
•
•
•
•
• Računala zbog tehničkih mogućnosti kreiranja samo dvaju
stabilnih stanja (prekidač) koriste sustav s bazom 2,
odnosno binarni sustav.
• Radi lakšeg baratanja s binarnim brojevima koriste
se oktalni sustav s bazom osam i heksadecimalni sustav s
bazom 16.
• Iz babilonskih vremena smo naslijedili heksagezimalni
sustav s bazom 60. Danas dijelove tog sustava koristimo za
prikazivanja vremena (1 sat=60 minuta= sekunda) i kutova.
• U trgovini se također koristi i sustav s bazom 12. Taj sustav
je praktičan jer je broj 12 djeljiv s dva, tri, četiri i šest.
Količinu 12 često zovemo tucet ili duzina.
Tablica baza, znamenaka i najvećih elemenata najpoznatijih brojevnih sustava
Brojevni sustav
Baza
Znamenke
DEKADSKI
10
OKTALNI
8
0,1,2,3,4,5,6,7
7
BINARNI
2
0,1
1
HEKSADEKADSKI
16
0-15
15
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Najveći element
9
Dekadski broj
Binarni broj
0
000
1
001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
111
8
1000
9
1001
10
1010= A
11
1011= B
12
1100= C
13
1101= D
14
1110= E
15
1111= F
•
•
•
•
•
•
0,1
0 ili 1
1 Z= 2 STANJA, NB 1
2 Z= 2*2= 4 STANJA, 3NB
5 Z= 2*2*2*2*2=32 STANJA, 31 NB
3 Z= 2*2*2=8 STANJA, 7
•
•
•
•
542 (10)=
(2)
1025 (10)=
(2)
89 (10) =
(2)
I obrnuto iz (2) u (10)