Transcript Preuzmi

Brojevni sustavi
Tijekom razvoja ljudskog društva nastali
su različiti načini zapisivanja brojeva.
 Način zapisivanja brojeva i njihovo
tumačenje zove se brojevni sustav.

2
Položajni brojevni sustav
Danas je najčešće u uporabi položajni
brojevni sustav.
 Položajni brojevni sustav je sustav kod
kojeg položaj znamenke u zapisu
određuje njenu vrijednost.

3
Položajni brojevni sustav
Svaki je položajni brojevni sustav
određen vlastitim skupom znamenaka.
 Ukupni broj različitih znamenaka naziva
se osnovom ili bazom tog brojevnog
sustava.

4
Dekadski brojevni sustav

U svakodnevnom smo životu navikli
koristiti dekadski brojevni sustav.
Osnova (baza) sustava je 10.
 Za zapis se koriste znamenke:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

5
Dekadski brojevni sustav

Svaka znamenka u nizu ima jedinstvenu
težinsku vrijednost.

Primjer pokazuje da je svaka znamenka
deset puta vrednija od njoj desno
susjedne.
6
Dekadski brojevni sustav

Težinska vrijednost svake znamenke
dobiva se tako da se osnova brojevnog
sustava (u ovome slučaju broj 10)
potencira eksponentom čija vrijednost
ovisi o položaju znamenke u nizu.

Eksponent prve znamenke lijevo od zareza uvijek je 0!
7
Dekadski brojevni sustav

S n znamenaka dekadskog brojevnog
sustava, moguće je prikazati 10n
različitih dekadskih brojeva.
Npr. s 2 znamenke može se prikazati
102 = 100 različitih dekadskih brojeva.
8
Što računalo razumije?
Računala se sastoje od mnogo
elektroničkih sklopova koji raspoznaju
samo dva stanja.
 Zbog takve građe svi podaci koji ulaze u
računalo moraju biti prevedeni u oblik u
kome postoje samo dva stanja.

9
Binarni brojevni sustav

Uobičajeno je u računalu ta dva stanja
označavati
kao 0 i 1.

Brojevni sustav koji ima samo dvije
znamenke naziva se binarni brojevni sustav.

Binarni brojevni sustav je pogodan za prikaz
rada računala jer svaka znamenka
predočuje jedno stanje.
10
Binarni brojevni sustav

Osnova (baza) sustava je 2.

Za zapis se koriste znamenke: 0, 1.

Primjeri binarnih brojeva:
101,
10001001,
111101110111.
11
Oznaka brojevnog sustava

Da bi se razlikovali brojevi različitih
brojevnih sustava uz broj se kao indeks
može zapisati odgovarajuća osnova,
npr.
Binarni broj
Dekadski broj
12
Binarni brojevni sustav

S n znamenaka binarnog brojevnog
sustava, moguće je prikazati 2n različitih
binarnih brojeva.
Npr. sa dvije znamenke - 4 različita
broja:
002
012
102
112
13
Binarni brojevni sustav

Binarni se broj na težinske vrijednosti
rastavlja na istovjetan način kao i
dekadski broj (uz uvažavanje
pripadajuće osnove binarnog brojevnog
sustava).
14
Pretvorba binarni - dekadski

Kao što primjer pokazuje,
izračunavanjem izraza može se dobiti
dekadska protuvrijednost binarnog
broja.
15
Pretvorba dekadski - binarni

Dekadski broj se u binarni pretvara
uzastopnim cjelobrojnim dijeljenjem
broja u dekadskom prikazu s 2 (osnova
brojevnog sustava u kojem se broj želi
prikazati) uz bilježenje ostatka svakog
pojedinačnog dijeljenja.
16
Pretvorba dekadski - binarni

Pri zapisu
rezultata treba
biti oprezan jer
je prvi ostatak
ujedno i
znamenka
najmanje
težinske
vrijednosti!
17
Ostali brojevni sustavi
Čovjek je naviknut rabiti dekadske
brojeve, pa mu je vrlo neprikladno
baratati s binarnim brojevima.
 Zbog toga se često koriste brojevni
sustavi koji omogućavaju skraćeno,
čovjeku prihvatljivije zapisivanje binarnih
brojeva.

18
Ostali brojevni sustavi
Za skraćeno zapisivanje binarnih
brojeva najčešće se koriste oktalni i
heksadekadski brojevni sustavi.
 Ovi su brojevni sustavi podesni jer su
njihove osnove višekratnici osnove
binarnog sustava (23, 24).

19
Oktalni brojevni sustav

Osnova (baza) sustava je 8.

Za zapis se koriste znamenke:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Svaka se oktalna znamenka može prikazati
s tri binarne znamenke.
20
Pretvorba oktalni - binarni

Pošto se svaka oktalna znamenka može
prikazati s tri binarne znamenke,
jednostavno je oktalni broj pretvoriti u
binarni.
12428 = 10101000102
21
Pretvorba binarni - oktalni

Za pretvorbu binarnog broja u oktalni
potrebno je grupirati binarne znamenke
u skupine po tri, počevši od odjelnog
zareza.
Ako broj znamenaka nije višekratnik broja tri, krajnje se lijeva
skupina binarnih znamenaka nadopunjuje potrebnim brojem
nula.
22
Pretvorba oktalni - dekadski

Oktalni se broj pretvara u dekadski
rastavljanjem broja na težinske
vrijednosti.
23
Pretvorba dekadski - oktalni

Dekadski se broj pretvara
u oktalni uzastopnim
cjelobrojnim dijeljenjem
broja u dekadskom
prikazu s osnovom
brojevnog sustava, s 8,
uz bilježenje ostatka
svakog pojedinačnog
dijeljenja.
24
Heksadekadski brojevni sustav
Osnova (baza) sustava je
16.
 Za zapis se koriste
znamenke:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A, B, C, D, E, F.
 Svaka se heksadekadska
znamenka može prikazati
s četiri binarne
znamenke.

25
Pretvorba heksadekadski - binarni

Pošto se svaka heksadekadska
znamenka može prikazati s četiri
binarne znamenke, jednostavno je
heksadekadski broj pretvoriti u binarni.
2A216 = 10101000102
26
Pretvorba binarni - heksadekadski

Za pretvorbu binarnog broja u
heksadekadski potrebno je grupirati
binarne znamenke u skupine po četiri,
počevši od odjelnog zareza.
110100102 = D216
27
Pretvorba heksadekadski - dekadski

Heksadekadski se broj pretvara u
dekadski rastavljanjem broja na težinske
vrijednosti.
28
Pretvorba dekadski - heksadekadski

Dekadski se broj
pretvara u
heksadekadski
uzastopnim
cjelobrojnim dijeljenjem
broja u dekadskom
prikazu, s osnovom
brojevnog sustava, s
16, uz bilježenje
ostatka svakog
pojedinačnog dijeljenja.
29
Binarno zbrajanje



Osnovne se aritmetičke radnje u binarnom
brojevnom sustavu izvode prema zadanim
pravilima.
Za zbrajanje vrijedi:
Prijenos (jedan dalje) se prenosi u susjedni
stupac s lijeve strane.
30
Binarno zbrajanje

Kao primjer
treba zbrojiti
brojeve 110112 i
10112.
31
Binarno oduzimanje
Oduzimanje brojeva može se svesti na
zbrajanje.
 Da bi to bilo moguće, umanjitelj treba
pretvoriti u negativan broj. Primjerice, 5
– 3 = 5 + (–3).
 Negativni se brojevi u binarnom
brojevnom sustavu predočuju s pomoću
dvojnoga komplementa.

32
Dvojni komplement
umanjenik i umanjitelj svesti na jednak broj
znamenaka (umanjitelju dodati s lijeve
strane potreban broj nula),
b) svaku “0” umanjitelja pretvoriti u “1” i svaku
“1” pretvoriti u “0”; tako dobiveni broj zove se
komplement broja,
c) komplementu
pribrojiti “1”;
nastaje dvojni
komplement.
a)
33
Binarno oduzimanje

Nakon što se umanjeniku pribroji dvojni
komplement umanjitelja, treba odbaciti
krajnje lijevu jedinicu da bi rezultat bio
ispravan.
rezultat: 100002
34
Binarno množenje
I množenje binarnih brojeva se svodi na
zbrajanje.
 Valja paziti na potpisivanje znamenaka!

35