Transcript Презентација_Бројеви1

Brojevi
• Korišćenje matematičkih simbola u bilo kom vidu
(počev od cifara pa do složenih matematičkih
oznaka) predstavlja rutinsku stvar koja ne
zahteva razmišljanje o njenom nastanku.
• Uglavnom se odnosimo prema matematičkom
aparatu kao da je oduvek postojao i to u obliku
koji danas koristimo.
• Ova iluzija podstaknuta je i činjenicom da mi svoje
prvo matematičko znanje stičemo tako rano da se
toga i ne sećamo.
• Štaviše, skloni smo verovanju da su neki od
apstraktnih pojmova (kao pojam broja ili decimalni
sistem) intuitivni.
• Međutim, ne sme se zaboraviti da je sadašnjem
stanju u ovoj oblasti prethodio dug period od oko
6000 godina postepenog razvoja matematike u
kome je matematička apstrakcija dala neke od
najbriljantnijih doprinosa ljudskoj misli.
• Tako fascinantan tok pronalazaka u matematici ne
postoji ni u jednoj drugoj nauci.
• Uporedo s njim došlo je do razvoja matematičke
simbolike i terminologije.
• Nezgrapna i nejasna u početku, ona se razvila do
današnjeg elegantnog i mnogo razumljivijeg oblika u
procesu koji još uvek traje i predstavlja rastuće
polje stalno promenljivih oblika apstraktnih
pojmova.
• Civilizacija i matematika su se istovremeno razvijale.
• Matematika je oduvek za čovečanstvo bila velika
vrednost, a njena korist neprestano raste.
• Ustvari možemo reći da je matematika bila neophodna
čoveku u njegovom savladavanju prirode i formirajući
njegovo mišljenje uticala je na celokupni ljudski
razvitak.
• U jednom pogledu matematika je vrlo specifična među
ostalim naukama: ni jedan njen rezultat ne može
zastareti daljim razvojem nauke.
• Jednom dokazana teorema ne može postati neistinita,
samo se tokom daljeg razvoja može pokazati kao
specijalan slučaj neke uopštenije istine. Matematička
znanja ne podležu reviziji, njihova ukupna zaliha
neprestano raste.
• Numerički termini izražavaju neke od
najapstraktnijih pojmova koje je stvorio ljudski
um.
• Međutim, proces njihovog kreiranja bio je spor i
dugotrajan.
• Koncept apstraktnog broja je proizvod duge i
lagane kulturne evolucije koja zadire duboko u
vreme pre pisane istorije.
• Kao što je rekao Bertrand Rasel (Russell, 18721970), britanski matematičar i filozof, bile su
potrebne hiljade godina dok je shvaćeno da par
fazana i dva dana imaju zajedničku karakteristiku
– broj 2.
• Dugo se smatralo da je najstariji postojeći
matematički artefakt od značaja egipatsko
vladarsko žezlo, za koje se veruje da datira
približno iz 3100. godine pre nove ere.
• Na žezlu je napisano nekoliko brojeva reda
miliona i stotina hiljada, napisanih egipatskim
hijeroglifima, kojima su zabeleženi
preuveličani rezultati uspešnog vojnog
pohoda.
• Međutim, nedavno je pronađen znatno stariji
artefakt koji se takođe odnosi na brojanje.
• Na ručnom alatu od kosti nalaze se zarezi
aranžirani prema određenim numeričkim
obrascima zajedno sa komadom kvarca koji
je pričvršćen za glavu ručice.
• Artefakt je poznat kao kost iz Išanga, a
pronađen je na obali Edvardovog jezera u
Republici Kongo.
• Smatra se da datira iz perioda između 9000
i 6500 godina pre nove ere.
• Dakle, sasvim je moguće da se začeci
matematike nisu desili ni u Egiptu ni u
Mesopotamiji, već u afričkim predelima
južno od Sahare.
• Neka plemena u Južnoj Americi čak i danas
broje pomoću šake: ,,Jedan, dva, tri, četiri,
šaka, šaka-i-jedan", itd.
• Seoski kalendari u Nemačkoj koristili su
petični sistem sve do kraja osamnaestog
veka.
• Maje, Asteci i Kelti imali su dvadesetični
sistem, što je odgovaralo ukupnom broju
prstiju na rukama i nogama, istovremeno
dajući svedočanstvo o bosonogom periodu
čovečanstva.
• “Brojanje pomoću tela” je
definisanje brojeva pomoću
određenih delova ljudskog tela, kao
što su glava, oči, uši, ruke, itd.
• Ovakvo brojanje koriste neki
primitivni narodi.
• Na primer, jedno pleme Papuanaca
na jugoistoku Nove Gvineje broji na
sledeći način:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
desni mali prst
desni prst ,,prstenjak"
desni srednji prst
desni kažiprst
desni palac
desni ručni zglob
desna obrva
desno rame
desno uvo
desno oko
levo oko
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
nos
usta
levo uvo
levo rame
leva obrva
levi ručni zglob
levi palac
levi kažiprst
levi srednji prst
levi prstenjak
levi mali prst
• Kod primitivnih naroda, pa čak i nekih
naprednijih, uobičajeno je da verbalno
brojanje prate određeni gestovi. Na primer,
u nekim plemenima reč ,,deset" često je
propraćena udarcem dlana o dlan a reč ,,šest"
ponekad je propraćena brzim zamahom jedne
ruke pored druge.
• Karl Meninger tvrdi da se neka afrička
plemena mogu razlikovati i etnički
klasifikovati na osnovu toga da li brojanje
počinju levom ili desnom rukom, da li savijaju
prste i da li okreću dlanove ka telu ili od tela.
• Opšte je mišljenje da cifre koje danas koristimo,
takozvane arapske cifre, kao i simbol za nulu
potiču iz Indije.
• Dva najstarija zapisa pojavili su se, prvi u Brahmi
sredinom trećeg veka pre nove ere, drugi u
Gvalioru.
• Suštinska odlika Hindu matematike bilo je
uvođenje simbola za nulu.
• Bez nule pozicioni sistem zapravo ne bi mogao da
postoji.
• Ovaj pronalazak omogućio je razvoj od
indoarapskih cifara do današnjeg brojnog sistema
sa pozicionom vrednošću.
• Šezdesetih godina 20. veka gospođa Abdelkri
Budžibar, direktor Muzeja u Maroku, izložila je
javnosti svoju interesantnu i prilično ubedljivu
studiju o tome kako je nepoznati arapski
matematičar mogao pre nekih hiljadu godina da
oblikuje takozvane arapske brojeve, odnosno cifre
od 0 do 9.
• Ona smatra da su cifre formirane prema
kriterijumu da svaka sadrži odgovarajući broj
uglova, kao što je prikazano na slici.
• Dakle, cifra broja ,,jedan" sadrži jedan ugao, cifra
broja ,,dva" ima dva ugla, broja ,,tri" ima tri ugla, i
tako dalje.
• Nula je, naravno oblikovana tako da nema uglova.
Arapski astrolog Aben Ragel, iz desetog ili jedanaestog veka,
sugerisao je atraktivan mada istorijski nedokazan prikaz cifara
dat na slici ispod.
Ovakva maštovita obrazloženja proističu iz želje amatera da
proniknu u ključ misterije, nedostupan i ekspertima.
G. H. HARDY: Bulletin of the American
Mathematical Society, 35 (1929), 818
• “Elementarna teorija brojeva je najbolji predmet
za rano matematičko obrazovanje.
• Ona zahteva vrlo malo predznanja, a predmet
njenog proučavanja je opipljiv i vrlo blizak.
• Proces rezonovanja koji ona upotrebljava je
prost, opšti i izabran.
• Ona je jedina od matematičkih grana koja
privlači prirodnu ljudsku radoznalost‘”.
• Brojevi su fascinirali ljude od najranijih početaka
civilizacije.
• Na primer, još u Vavilonu, hiljadu godina pre
Pitagore, matematičari su znali kako sistematski da
odrede Pitagorine brojeve, tj. cele brojeve koji
čine stranice pravouglog trougla.
• Pitagora je otkrio da muzička harmonija zavisi od
odnosa malih celih brojeva i zaključio da je sve u
prirodi broj, odnosno da je sve uređeno na osnovu
broja.
• Leopold Kroneker je rekao:
• ''Bog je stvorio cele brojeve, sve ostalo je delo
ljudi''.
• Pojam prirodnog broja, koji se pojavljuje kao
rezultat postepenog apstrahovanja – osnova je
čitavog daljeg razvoja matematike.
• Izučavanje osobina prirodnih brojeva, koje je
započeto u primitivnom obliku od strane generacija
davno otišlih matematičara, zauzima veliko mesto
u savremenoj matematici, čineći osnovni sadržaj
jedne od njenih vodećih grana, koju mi nazivamo
teorija brojeva.
• Prilikom razmatranja prirodnih brojeva
primećujemo, da među njima postoje brojevi sa
veoma raznovrsnim osobinama.
• Tako, na primer, među prirodnim
brojevima izdvajamo proste brojeve i
naravno, postavlja se pitanje kakav je
njihov raspored u skupu prirodnih
brojeva.
• Takođe primećujemo, na primer, da među
prirodnim brojevima postoje brojevi, koji
se ne mogu predstaviti u obliku sume dva
kvadrata prirodna broja i postavljamo
pitanje, koji brojevi imaju baš te osobine
i koliko se često sreću takvi brojevi.
• U teoriji brojeva, naravno, u prvom redu se
izdvajaju i razmatraju oni problemi, koji su
duboko i dovoljno neposredno vezani za
izučavane objekte i koji su važni za
konstrukciju matematike u celini.
• Neki teorijsko – brojčani zadaci nastaju već u
okviru školskog kursa aritmetike.
• Istorijski, teorija brojeva je nastala kao
neposredni razvoj aritmetike.
• U sadašnje vreme, u teoriju brojeva se
uključuje znatno širi krug pitanja, koja izlaze iz
okvira izučavanja prirodnih brojeva.
• U teoriji brojeva razmatraju se ne samo
prirodni, već i celi, a takođe i racionalni
brojevi.
• Za savremenu teoriju brojeva karakteristična je
primena veoma raznovrsnih metoda istraživanja,
tako, na primer, mnogi problemi teorije brojeva,
mogu biti, naravno, formulisani u geometrijskom
obliku, i za rešavanje takve vrste zadataka se
primenjuju geometrijska rasuđivanja
(geometrijska teorija brojeva).
• U savremenoj teoriji brojeva široko se koriste
metode matematičke analize, recimo prilikom
izučavanja pitanja, vezanih za raspored prostih
brojeva, veoma često se mora primenjivati teorija
funkcija kompleksne promenljive.
• Teorijsko – brojčana istraživanja u
kojima se prvenstveno koriste
metode matematičke analize čine
sadržaj značajnog dela teorije
brojeva, koji je dobio naziv –
Analitička teorija brojeva.
• Razvoj teorije brojeva tesno je i neposredno
vezan sa razvojem celog niza grana
matematike.
• Teorija brojeva široko koristi ne samo
metode, koje su razrađene u graničnim
matematičkim disciplinama, nego i sama utiče
na formiranje tih disciplina.
• Niz pitanja teorije brojeva nalazi primenu u
praksi; na primer, u teoriji telefonskih
mreža, u kristalografiji, biologiji, hemiji, kod
problema parketiranja, prilikom rešavanja
nekih zadataka teorije aproksimacija i
svakako najzanimljivija u kriptoanalizi.
• Elementarna teorija brojeva (teorija kongruencija,
teorija forme, neodređene jednačine).
• Ovom delu pripadaju pitanja teorije brojeva, koja su
neposredno vezana za razvoj teorije deljivosti, i
pitanja o predstavljanju brojeva u određenom obliku.
• Još opštiji je zadatak rešavanja sistema
neodređenih jednačina, tj. jednačina, u kojima
vrednosti nepoznatih moraju biti obavezno celi
brojevi.
• Neodređene jednačine zovu se takođe i Diofantove
jednačine, jer je Diofant bio prvi matematičar, koji
je sistematski razmotrio takve jednačine.
• Mi uslovno nazivamo taj deo – Elementarna teorija
brojeva, jer se ovde često primenjuju obični
aritmetički i algebarski metodi istraživanja.
• Algebarska teorija brojeva
• Ovom delu pripadaju pitanja vezana za
izučavanje različitih vrsta algebarskih
brojeva.
• Diofantove aproksimacije
• Ovom delu pripadaju pitanja vezana za
izučavanje aproksimacije realnih brojeva
racionalnim.
• Diofantovim aproksimacijama slična su
pitanja izučavanja aritmetičke prirode
raznih vrsta brojeva, koja su tesno
vezana sa istim krugom ideja.
• Savremenu teoriju brojeva
možemo uglavnom podeliti na
sledeće grane:
• Analitička teorija brojeva
• U ovaj deo ulaze pitanja teorije brojeva za čije
se izučavanje moraju koristiti metode matematičke
analize.
• Naravno, podela teorije brojeva na ovakve delove
nije standardna.
• Ponekad se izdvaja kao poseban deo teorije brojeva
– Geometrijska teorija brojeva, a iz opšteg kruga
pitanja Diofantovih aproksimacija izdvaja se –
Teorija transcedentnih brojeva.
• Osim toga, treba imati u vidu da veoma često
moramo imati posla sa istraživanjima, koja je
nemoguće ograničiti u okvire jednog određenog dela
(grane).
• Teoriju brojeva kao posebnu oblast matematike
moguće je razmatrati samo ako se počne od
radova Diofanta (vreme njegovog života nije
tačno poznato, verovatno III vek naše ere).
• Diofant je razotkrio niz zadataka o
predstavljanju brojeva u određenom obliku i još
opštije probleme rešavanja neodređenih
jednačina sa celim i pozitivnim racionalnim
brojevima.
• Upravo ti problemi kasnije su postali polazna
tačka i baza čitave teorije forme, odakle se
razvila teorija Diofantovih aproksimacija.
• U sadašnjem smislu teoriju brojeva kao nauku
treba smatrati počev od radova francuskog
matematičara P. Ferma (1601 – 1655), koji je
došao do osnovnog rezultata teorije
deljivosti za zadati prost broj i koji je rešio
niz važnih zadataka teorije neodređenih
jednačina.
• Dvadeseti vek je dao suštinske promene u
analitičkoj teoriji brojeva, čiji je razvoj bio
vezan za usavršavanje već poznatih metoda, a
naročito za stvaranje sasvim novih metoda.
• Problemi teorije brojeva se dele na dve
vrste.
• Prvoj vrsti pripadaju oni za koje su poznati
metodi rešavanja, ali za čiju primenu su
ponekad potrebna vrlo dugačka
izračunavanja.
• Drugoj vrsti pripadaju problemi za koje
metodi rešavanja nisu poznati.
• Elektronske mašine i savremeni računari se
mogu primeniti samo za rešavanje prve vrste
problema.
• Od početka računarske ere, programeri
testiraju svoje sposobnosti, kvalitet
svojih programa i moć računara
rešavajući probleme iz teorije brojeva i
otkrivajući razne kuriozitete u toj
oblasti.
• U ranoj fazi bilo je vrlo popularno
izračunavanje broja π sa velikom
tačnošću i slični problemi.
• Otkrivanje prostih brojeva nije nikada
izgubilo popularnost i verovatno i neće.
• Broj kao jedan od najelementarnijih
apstraktnih pojmova, koji je oduvek bio
usko povezan sa praktičnim životom,
razvijao se uporedo s opštim napretkom
ljudske svesti.
• Moglo bi se reći da je nivo razvijenosti
pojma broja u jakoj korelaciji sa
stepenom razvijenosti određene ljudske
zajednice, pa čak i to da je, u određenom
smislu, karakterisao pojedine kulture i
civilizacije.
• Poznata je činjenica da se kod primitivnih
naroda pojam broja iscrpljuje na shvatanju
nekoliko početnih prirodnih brojeva, da bi
se već kod Starih Grka duboko shvatio
smisao prirodnih brojeva i pozitivnih
razlomaka.
• Zatim je trebalo proći skoro 2000 godina
da bi negativni brojevi ''dobili pravo
građanstva'' u matematici, dok je spoznaja
realnog, broja kao potrebe ljudskog uma da
kvantitativno izrazi i opiše svaki (realni i
misaoni) proces merenja, stara nešto više od
stotinak godina.
PRIRODNI I CELI BROJEVI
• Prvo matematičko znanje koje stičemo je
znanje o prirodnim brojevima.
• U toku školovanja, u osnovnoj i srednjoj školi,
stečeno znanje ne podvrgavamo kritici.
Radimo sa nekim konkretnim prirodnim
brojevima, ispitujemo svojstva koja imaju i
pripisujemo ih svim prirodnim brojevima.
• Uvereni smo da možemo sabrati i pomnožiti
bilo koja dva prirodna broja, da za sabiranje
i množenje važe komutativni i asocijativni
zakon i slično.
• Nedostatak koji imaju prirodni
brojevi, da jednačina a + x = b nije
rešiva u ovom skupu za b < a,
otklanjamo uvođenjem skupa celih
brojeva.
• Slično, kao u slučaju prirodnih
brojeva, prihvatamo da postoji zbir i
proizvod svaka dva cela broja, a
sabiranje i množenje celih brojeva
učimo preko pravila.
• Za razliku od (elementarne) geometrije, koja je
aksiomatski zasnovana još u drevnoj Grčkoj (Euklid
i drugi), aksiomatske postavke raznih vrsta brojeva
su stare stotinak godina.
• Intuicija prirodnog broja bila je dovoljno čvrsta
osnova aritmetike.
• Aksiomatizacijom aritmetike nije poljuljana
sigurnost intuitivnog shvatanja broja.
• Zadatak aksiomatizacije aritmetike je njeno
logičko oblikovanje: izdvajanje osnovnih
aritmetičkih pojmova (određivanjem njihovih
osnovnih svojstava) dovoljnih za izgradnju
deduktivnog sistema aritmetike.
Prirodni brojevi
• Svi se pisci razmatranja o brojevima slažu da su
prirodni brojevi bili prvi apstraktni pojmovi kod
ljudi.
• Brojanje istovrsnih predmeta, kao i dodavanje još
jednog primerka zbirci istovrsnih primeraka, čini
sigurnu osnovu za apstrakciju prirodnog broja.
• Prvi zapis o prelasku sa konkretnog brojanja na
apstraktno datira iz 3001. godine p.n.e.
• Na jednoj sumerskoj glinenoj pločici prikazan je
broj 33 pomoću tri kružića (desetice) i tri zareza
(jedinice), zapisanih ispod kružića.
• Zajedno sa znakom za ćup, koji se nalazi pored, ceo
zapis bi se mogao pročitati kao 33 ćupa ulja.
• Prirodni brojevi su poznat objekat N = {1, 2,
3,…}.
• Intuitivno se podrazumeva da iza svakog broja
sledi broj, te da se nabrajanje može odvijati
bez ograničenja.
• Oznaka N za skup prirodnih brojeva je prvo
slovo latinske reči naturalis=prirodno.
• Radi jednostavnijeg dokazivanja potrebno je
preciznije fiksirati našu intuiciju o brojevima.
• To ćemo učiniti koristeći Peanovu aksiomatiku.
Peanova aksiomatika temelji deduktivni
aritmetički sistem na trima osnovnim
pojmovima: prirodan broj, sledbenik, 1.
• Aksiomatika prirodnih brojeva, koja se
danas izlaže, se po formi donekle
razlikuje od izvorne.
• Strukturu prirodnih brojeva uvodimo
kao uređenu trojku (N, ‘, 1), gde N je
neprazan skup, ‘ (prim) je operacija
dužine jedan i 1 je konstanta iz N, tako
da važi:
 
(P1) x 1  x'
(1 nije sledbenik nijednog prirodnog broja.)
(P2) x, y x'  y '  x  y
(Ako su sledbenici dva broja jednaki, onda su ta
dva broja jednaka.)
• (P3) (Aksioma indukcije.) Ako je M  N koji
•
•
•
•


zadovoljava uslove:
• (1) 1  M i
• (2)
xx  M  x  M
• onda je M = N.
'