Transcript A n

KOMBINATORIKA
Vežbe
1
Vežbe 1
Osnovna prebrojavanja
2
1. Koliko ima permutacija skupa {1, ... , n} u
kojima:
(a) 1 i 2 su susedi;
(b) 1 i 2 nisu susedi;
(c) 1 stoji ispred 2 (ne mora neposredno);
(d) između 1 i 2 stoji tačno k brojeva?
2. Na koliko načina se n osoba mogu rasporediti za
okrugli sto, ako se dva rasporeda u kojima svaka
osoba ima istog suseda s desne strane ne razlikuju?
3. Koliko različitih delitelja ima broj 1000?
3
4. (a) Ako su p1, p2, ... , pn različiti prosti brojevi
i k1, k2, ... , kn prirodni brojevi, koliko delitelja
ima broj
p1k1 p2k2... pnkn ?
(b) Koji prirodni brojevi imaju neparan broj delitelja?
5. Na koliko načina mogu da se poređaju u niz n nula i
k jedinica, tako da nikoje dve jedinice ne budu susedne?
6. Na polici se nalazi n knjiga. Na koliko načina se
može izabrati k knjiga, tako da nikoje dve nisu od njih
nisu susedne?
4
7. Za okruglim stolom kralja Artura sedi n vitezova,
pri čemu je svaki u svađi sa svoja dva suseda. Na
koliko načina se može izabrati k vitezova, tako da
nikoja dva nisu u svađi?
8. Na polici se nalazi n knjiga. Na koliko načina se može
izabrati k knjiga, tako da između svake dve izabrane
knjige stoji bar l knjiga?
9. Koliko rešenja ima jednačina x + y + z  0 (mod 3)
u skupu {1, 2, ... , 3n}?
10. Koliko rešenja ima jednačina x1 + x2 + ... + xk = n
u skupu: (a) Z+  {0}; (b) Z+ ?
5
11. S koliko nula se završava 1000! ?
12. Iz mesta A u mesto B vode (sl. 1):
(a) 2 puta; (b) 3 puta; (c) k puteva.
k
B
A
B
n
n
A
...
A
B
n
Sl. 1.
Osim njih, postoji još n "poprečnih" puteva. Na koliko
različitih načina može da se stigne iz A u B ako nema
vraćanja unatrag i prelaženja istom deonicom dva ili
više puta?
6
13. Kvadrat n  n podeljen je horizontalnim i
vertikalnim linijama na n2 jediničnih kvadrata.
Koliko na toj mreži ima:
(a) pravougaonika; (b) kvadrata
čija su temena čvorovi mreže i čije su stranice paralelne
linijama mreže?
(c)* Koliko ima kvadrata čija su temena čvorovi
mreže?
n
n
2
1
2
1
1 2
n
1 2
n
7
14. Na pravoj a uočene su tačke A1, ... , Ap, a na njoj
paralelnoj pravoj b tačke B1, ... , Bq. Posmatraju se
sve duži Ai Bj, i = 1, ... , p, j = 1, ... , q. Ako se
nikoje tri ne seku u jednoj tački, koliko ima tačaka
preseka?
15. Na svakoj stranici kvadrata ABCD dato je po n (n  0)
tačaka. Koliko ima trouglova čija su temena uočene tačke
ili temena kvadrata?
12. Na koliko načina se k domina formata 1  2 može
postaviti na označenu traku 1  n, tako da svaka domina
pokriva dva susedna kvadrata?
8
13. Na koliko načina se na 1. red šahovske table mogu
rasporediti 8 belih figura: 1 kralj, 1 dama, 2 topa, 2 lovca
i 2 skakača, tako da su ispunjeni sledeći uslovi:
1o lovci su raznobojni (jedan na belom, drugi na crnom polju);
2o kralj je između topova (ne mora neposredno) ?
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
a
b
c
d
e
f
g
h
a
b
c
d
e
f
g
h
9
14. Na kružnici je uočeno n, n  4, tačaka od
kojih je jedna obojena crveno, dok su sve ostale
crne. Posmatraju se svi mnogouglovi upisani u
kružnicu čija su temana neke od uočenih tačaka.
Kojih ima više, onih kod kojih je jedno teme
crveno ili onih čija su sva temena crna?
15. Na koliko načina se iz niza 1, 2, ... , 2n mogu izabrati
tri različita broja koja obrazuju aritmetičku progresiju?
16. Koliko najviše ima permutacija skupa {1, 2, ... , n},
takvih da su svaka dva broja susedna u najviše jednoj
permutaciji?
10
17. Odrediti maksimalan broj poskupova skupa
od n elemenata, takvih da je presek svaka dva
neprazan.
18.* Da li za svaki prirodan broj n postoji permutacija
a1 ... an brojeva 1, ... , n, takva da za svaki par ai, aj
njihova aritmetička sredina nije jednaka nijednom broju
koji stoji između njih?
11
Vežbe 2
Binomna i polinomna formula
12
1. Dokazati identitete:
n
n
i
= 4n ;
(a)
3
i
i=0
Σ
n
n
= n 2n  1 ;
(b)
i
i
i=1
Σ
n
n
(c)
(i + 1)
= n 2n  1 ; (d)
i
i=0
Σ
n
(e)
Σ
i=1
1
i+1
n
Σ
i2
i=1
n
= n (n + 1) 2n  2 ;
i
n
1
=
(2n + 1  1) .
n+1
i
2. Dokazati identitete:
n
n
n
(a)
( 1)i i
= 0;
i
i=1
Σ
(b)
Σ
i=1
( 1)i
i+1
n
1
= n+1 .
i
3. Dokazati identitete:
k
(a)
Σ
i=0
m
i
n
ki
m+n
=
;
k
n
(b)
Σ
i=0
n
i
2
2n
= n .
13
3. Dokazati identitete:
(a)
n
n+1
n+k
n+k+1
;
+ ... + n
=
n +
n
n+1
(b)
n
n+1
n+k
n+k+1
+ ... + k
=
.
k
0 +
1
4. Dokazati identitet
n
i
i
n
=
k
k
nk
ik
(a) algebarski; (b) kombinatorno.
5. Dokazati identitet
n
Σ (
i=k
1)i
n
i
i
=
k
( 1)k za n = k
0 za n > k
14
Paskalov trougao
0
0
1
1
1
0
3
0
4
0
5
0
3
1
4
1
5
1
2
2
2
1
2
0
4
2
5
2
3
3
3
2
4
3
5
3
4
4
5
4
5
5
15
n
k
k=0
nivo
1
1
3
1
4
1
1
5
4 = 22
1
3
3
6
10
2 = 21
1
2
4
3
1 = 20
1
2
1.
2
1
n=0
5
1
4
10
8 = 23
1
16 = 24
1
5
1
32 = 25
n
0
n
= broj puteva od
do
k
0
k
2. Suma brojeva na i-tom nivou = 2i
16
6. Dokazati da za polinomne koeficijente važi identitet
n
i1 i2 ... ik
=
n1
i1  1 i2 ... ik
+
n1
i1 i2  1 ... ik
+ ... +
n1
i1 i2 ... ik  1
.
7. Odrediti koeficijent uz x5 u razvoju trinoma (1 + x + x2 )8 .
8.* Koji od trinoma (1 + x2  x3)100 i (1  x2 + x3)100 ima veći
koeficijent uz x20 u svom razvoju?
9. Ako je p prost broj, a x1, ... , xn celi brojevi, dokazati da je
(x1 + x2 + ... + xn ) p  x1p + x2p + ... + xnp (mod p) .
10. (Fermat) Ako je p prost broj, a n ceo broj, dokazati da je
n p  n (mod p) .
17
Vežbe 3
Formula uključenja-isključenja
18
1. Koliko ima prirodnih brojeva manjih od 106 koji nisu
deljivi ni sa jednim od brojeva: (a) 2, 3, 5; (b) 4, 6, 8?
2. Koliko ima celih brojeva u skupu {1, 2, ... , 103} koji su deljivi
sa 3, a nisu deljivi ni sa 5, ni sa 7?
3. Koliko ima prirodnih brojeva koji su delitelji bar jednog od
brojeva 1040 i 2030?
4. Koliko ima brojeva u skupu:
(a) {1, 2, ... , 104};
(b) {103, 103 + 1, ... , 104}
koji nisu ni potpuni kvadrati, ni potpuni kubovi?
19
5. Na koliko načina se slova a, a, a, b, b, b, c, c, c, mogu
poređati u niz, tako da:
(a) nikoja 3 uzastopna slova nisu jednaka;
(b)* nikoja 2 uzastopna slova nisu jednaka?
6. Na koliko načina se mogu poređati u niz 3 Engleza, 3 Francuza
i 3 Nemca, tako da:
(a) nikoja 3 sunarodnika nisu susedna;
(b)* nikoja 2 sunarodnika?
7. Koliko ima permutacija a1 a2 ... an skupa {1, 2, ... , n}, takvih
da je ai  i za svako i{1, 2, ... , n}?
8. Koliko ima permutacija a1 a2 ... an skupa {1, 2, ... , n}, takvih
da je ai = i za tačno k, 0  k  n, elemenata i{1, 2, ... , n}?
20
deranžman (besporedak, rastroj)
n
1
1
1
Dn = n! (1 
 ... + (1)n ) = n! (1)i 1
+
1!
2!
n!
i!
i=0
Σ
9. Dokazati da za broj deranžmana Dn važe identiteti:
(a) Dn = (n  1) (Dn  1 + Dn  2 ) ;
(b) Dn = n Dn  1 + (1)n .
10. Dokazati da je Dn paran broj ako i samo ako je n neparan.
11. Koliko ima permutacija skupa {1, 2, ... , n}, n  2, u kojima
i + 1 ne stoji neposredno iza i za svako i{1, 2, ... , n  1}?
12. Na koliko načina se polja šahovske table mogu obojiti sa
8 različitih boja, tako da se u svakoj vrsti pojavljuju sve boje i
u svakoj koloni svaka dva susedna polja su različito obojena?
21
13. Odrediti broj celobrojnih rešenja jednačine
x1 + x2 + x3 = 15
ako je:
(a) x1  0, x2  0, x3  0;
(b) x1  1, x2  2, x3  3.
14. Odrediti broj celobrojnih rešenja jednačine
x1 + x2 + x3 = 15
ako je 0  x1  5, 0  x2  6, 0  x3  7.
15. Odrediti broj celobrojnih rešenja jednačine
x1 + x2 + x3 = 28
ako je 3  x1  9, 0  x2  8, 7  x3  17.
22
16. Dokazati da je broj celobrojnih rešenja jednačine
x1 + x2 + ... + xn = r
gde je 1  xi  k, jednak
n
Σ (
i=0
1)i
n
i
r  ki  1
n1
.
17. Dokazati da za Stirlingove brojeve 2. vrste S(m, n) važi:
n
(a) S (n, n  1) =
;
2
n
n
(b) S (n, n  2) =
3 +3 4 .
18. Ako je n  k  1, dokazati da je
S (n, k) = S (n  1, k  1) + k S (n  1, k) .
23
19. Odrediti broj najkraćih puteva iz A u B na mreži
B
Z
X
Y
A
(a) koji prolaze kroz X i Z;
(b) koji prolaze kroz X i ne prolaze kroz Z;
(c) koji ne prolaze deonicom XY;
(d) koji ne prolaze kroz bar jedan od čvorova X i Z ?
24
20. Odrediti broj najkraćih puteva iz A u B na mreži
B
C
DE
H
J
G
I
F
A
(a) koji ne prolaze ni kroz jedan od odsečaka CD, EF, GH, IJ ;
(b) koji prolaze kroz tačno dva od odsečaka CD, EF, GH, IJ .
25
21. Odrediti broj najkraćih puteva iz A u B na mreži
B
F
C
D
E
A
ako su odsečci CD, DE i DF uklonjeni.
22. Na koliko načina se čvorovi figura na slici mogu obojiti sa n
boja, tako da su svaka dva susedna čvora različito obojena.
(a)
(b)
(c)
26
Vežbe 4
Rekurentne relacije
27
1. Rešiti rekurentne relacije:
(a) an = 3an  1  2an  2 , a0 = 2, a1 = 3;
(b) an  6an  1 + 9an  2 = 0 , a0 = 2, a1 = 3;
(c) 2an = an  1 + an  2 , a0 = 0, a1 = 1;
(d) an = 2(an  1  an  2) , a0 = 1, a1 = 1;
(e) an  7an  1 + 15an  2  9an  3 = 0 , a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3.
2. Rešiti rekurentne relacije:
(a) an =
1
a
 3 , a0 = 2 (3 +  3 ) ;
2 n1
(b) an = 3an  1  4n , a0 = 2 ;
(c) an  2an  1 = 32n , a0 = 1 ;
(d) an  2an  1 = 32n  4n , a0 = 1 .
28
3. Rešiti rekurentne relacije:
(a) an + an  1  2an  2 = 2n  2 , a0 = 0, a1 = 0 ;
(b) an  4an  1 + 4an  2 = 2n , a0 = 0, a1 = 3 .
4. Rešiti rekurentnu relaciju
an = pan  1 + q , a0 = r .
5. Rešiti rekurentne relacije:
(a) an an  1 = 1010 , a0 = 1, an > 0 ;
(b)
an
an  1
2
an  1
= a
n2
1
, a0 = 4 , a1 = 1 .
29
6. Rešiti sisteme rekurentnih relacija:
(a) an + 2an  1  4bn  1 = 0
bn + 5an  1  7bn  1 = 0
(b) an = an  1  bn  1
bn = an  1 + 3bn  1
a0 = 1 , b0 = 5 .
a1 = 4 , b1 = 1 ;
7. Odrediti vrednost determinante An reda n, ako su p i q
konstante različite od nule.
0
1
p+q
pq
0
0
1
p+q
pq
0
0
1
p+q
...
...
...
0
0
0
0
0
0
0
0
...
...
0
0
0
0
...
...
0
0
0
0
...
0
...
pq
...
An =
p+q
...
...
p+q
pq
1
p+q
. .
.
30
8. Na koliko načina se traka 1  n može "parketirati"
pločicama 1  1 i 1  2?
n
9. Na koliko načina se traka 2  n može "parketirati" pločicama:
n
(a)
(d)*
;
(b)
i
i
?
;
(c)
i
;
31
2
1
x1 = 3 + 6
x2, 3
=
 172 + 12  177 +
2
 1
3
12

8
3
i3
2
3  172 + 12  177
 172 + 12  177 
4
3
1
6
 2,2056
3
3  172 + 12  177
3
 172 + 12  177 
8
3
3  172 + 12  177
3
  2,2056  0,6655i
f (x) = x3  2x2  1
32
10. Ako je Fn n-ti Fibonačijev broj, gde je
Fn = Fn  1 + Fn  2
F0 = 0 , F1 = 1 ,
dokazati da za svako n  1 važe identiteti:
(a) F1 + F2 + ... + Fn = Fn + 2  1 ;
(b) F2 + F4 + ... + F2n = F2n + 1  1 ;
(c) F1 + F3 + ... + F2n  1 = F2n ;
(d) F1  F2 + F3  ... + ( 1)n + 1 Fn = ( 1)n + 1 Fn  1 + 1 .
11. Ako su m i n prirodni brojevi, n  2, dokazati da je:
(a) Fm + n = Fm Fn  1 + Fm + 1 Fn ;
(b) Fn + 1 Fn  1  Fn2 = (1)n ;
(c) ( Fn , Fn + 1 ) = 1 .
33
12. Odrediti vrednost determinante An reda n
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
...
...
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
...
...
0
0
0
0
. .
.
...
...
...
...
0
...
...
...
...
An =
1
1
1
1
1
.
13. Koliko ima bijekcija f : {1, 2, ... , n}  {1, 2, ... , n},
takvih da je
| f (i)  i |  1
za svako i  {1, 2, ... , n} ?
34
14. Na koliko delova dele ravan n (n  1) kružnica ako
se svake dve seku i nikoje tri ne prolaze kroz istu tačku?
15. Koliko ima nizova a1a2 ... an, gde ai  {0, 1, 2}, u kojima
nikoje dve jedinice nisu susedne?
16. Koliko ima nizova a1a2 ... an, gde ai  {0, 1, 2}, u kojima
nikoje dve nule i nikoje jedinice nisu susedne?
17.* Krug je podeljen na n (n  1) isečaka kao na slici. Na koliko
načina se isečci mogu obojiti sa k (k  3) boja, tako da svaka dva
susedna isečka budu različito obojena?
. . . ..
.
.
3
n1
n
1
2
35
18.* Koliko ima nizova a1a2 ... an, gde ai  {0, 1, 2, 3}, u
kojima se svaka dva susedna elementa razlikuju tačno za 1?
19.* Koliko ima nizova a1a2 ... a2n , gde ai  {1, 1}, koji
zadovoljavaju sledeća dva uslova:
2n
10
Σa =0;
i
i=1
k
20
Σa 0
i
za  k = 1, 2, ... , 2n  1 ?
i=1
20.* (red pred kasom) Pred praznom bioskopskom kasom stoji
2n osoba od kojih n ima 0,5 eura, a preostalih n 1 euro. Ulaznica
košta 0,5 eura. Na koliko načina tih 2n osoba mogu formirati red,
tako da nema zastoja pri plaćanju. (Svaka osoba može da kupi
ulaznicu i, ako ima 1 euro, dobije kusur.)
36
21.* Na koliko načina se može postaviti n  2 levih i n  2
desnih zagrada da bi se označio redosled množenja u
proizvodu a1a2 ... an ? Na primer, za n = 4 ((a1 a2) a3)a4,
(a1 a2) (a3 a4) itd.
22.* Na kružnici je dato 2n (n  1) tačaka. Na koliko načina
se one mogu spojiti sa n tetiva, tako da se nikoje dve ne seku?
37
Vežbe 5
Generativne funkcije
38
1. Odrediti generativne funkcije za sledeće nizove:
(a) ai =
1 0in
0 in
(b) bi = 1
i = 0, 1, ...
(c) ci = (1)i
i = 0, 1, ...
(d) di = i (i  1)
i = 0, 1, ...
m
(e) ei =
i
m  fiksno i = 0, 1, ...

(f) fi =
i
R
39
2. Odrediti generativne funkcije za sledeće nizove:
(a) (ai) = (1, 1, ... )
(b) (bi) = (1, k, k2, ... , kn, ... )
(c) (ci) = (1, 2, 3, ... , n, ... )
(d) (di) = (0, 1, 2, 3, ... , n, ... )
(e) (ei) = (0, 12, 22, 32, ... , n2, ... )
(f) ( fi ) = (0, 13, 23, 33, ... , n3, ... )
40
3. Odrediti broj načina da se 10 jednakih slatkiša podeli
trojici dečaka tako da nijedan dečak ne dobije više od 4
slatkiša.
4. Odrediti broj načina da se 40 jednakih kuglica rasporede u 7
različitih kutija, tako da u kutiji 1 bude bar 3, a najviše 10 kuglica.
5. Odrediti broj načina da se 100 jednakih stolica razmeste u 4
različite prostorije, tako da u svakoj prostoriji bude 10, 20, 30, 40
ili 50 stolica.
6. Koliko ima 4n-elementnih multi-podskupova multi-skupa
M = {(3n)  x, (3n)  y, (3n)  z},
ako nN ?
41
7. Koliko ima 3n-elementnih multi-podskupova multiskupa
M = {n  x1, n  x2, ... , n  xm},
ako n, mN i n, m  3?
8. Naći broj celobrojnih rešenja jednačine
x + 3y + 5z = 100
ako je x  0, y  1, z  1.
9. Koliko ima celih brojeva između 0 i 1010  1 čiji je zbir cifara
jednak 48?
42