Transcript Маријана Стефановић – Изопериметријски проблеми

7.03.2013.
IZOPERIMETRIJSKI PROBLEM (NEJEDNAKOSTI)
MARIJANA STEFANOVIĆ
Zadatak izoperimetrije
Pod izoperimetrijskim problemom podrazumeva se
problem određivanja figure najveće površine u zadatoj
familiji figura koje imaju jednake obime (perimetron na
grčkom znači obim).
Spomenimo nekoliko karakterističnih problema tog tipa:
 među n-touglovima zadatih dužina stranica odrediti onaj
koji ima najveću površinu;
 među n-touglovima zadatog obima i zadatih uglova
odrediti onaj koji ima najveću površinu;
 među n-touglovina zadatog obima odrediti onaj koji ima
najveću površinu.
ISTORIJAT
 u čuvenim Euklidovim “Elementima” naveden je sledeći
zadatak: U zadati trougao upisati paralelogram najveće
površine.
 u XVII veku Kepler je rešio zadatak o cilindru najveće površine
upisanom u loptu.
 u XIX veku Štajner je rešio zadatak određivanja tačke u
ravni trougla čiji je zbir rastojanja od temena minimalan.
 Izoperimetrijskim problemom bavili su se matematičari
antičke Grčke. Legenda o postanku Kartagine govori da je
grad bio sagrađen na zemljištu koje se moglo ograničiti
konopcem određene dužine.
 Didona je mitska feničanska carica, osnivateljka drevnog
grada Kartagine u Africi. Po predanju, Didona se
dogovorila sa plemenima starosedeocima severne obale
Afrike da joj ustupe parče zemlje, u granicana volovske
kože. Međutim, Didona nije kožom pokrila mali deo
zemlje, kako su to zamišljali vladari primorja, već se
poslužila lukavstvom. Isekla je kožu na tanke kaiševe i
vezala ih u jednu dugu traku. Zatim se Didona susrela sa
zadatkom – da ovom trakom ogradi deo zemlje koji će
imati najveću površinu. Pitanje koje je tada bilo pred
Didonom nije se prosto svodilo na izoperimetrijski
zadatak, jer je mogla da koristi obalu mora, i ogradivši deo
pripijen uz more, dobije veću teritoriju nego da je izabrala
deo udaljen od mora.
 Zadatak izoperimetrije je formulisan na sledeći način:
među svim krivama ravni obima L (pod obimom figure
ćemo podrazumevati dužinu krive koja ograničava tu
figuru) , pronaći onu koja ima najveću površinu.
 Nije teško naslutiti da je rešenje osnovnog
izoperimetrijskog problema krug. U savremenoj
matematici postoji više dokaza ove činjenice.
Štajnerov dokaz
 Prvi značajan pokušaj da reši ovaj problem učinio je
Štajner (Steiner) u XIX veku.On je dao pet dokaza da je
krug rešenje izoperimetrijskog problema. Međutim, svi
njegovi dokazi imaju nedostatak nije dokazana
egzistencija rešenja.
 ZADATAK 1. Dokazati, da ako bilo kakva tetiva ispupčene
figure φ , koja deli obim na pola, deli površinu figure na
dva nejednaka dela, onda postoji figura φ', koja ima isti
obim kao i φ a veću površinu.
 Rešenje: Ako tetiva ispupčene figure deli obim na dva
jednaka dela, a površinu na dva nejednaka dela, onda ćemo,
ako veći od tih delova u odnosu na tetivu odvojimo i tim
odvojenim delom zamenimo manji deo, dobiti figuru , sa
istim obimom kao i , a većom površinom.
ZADATAK 2 Dokazati da ako je ispupčena figura φ različita od
kruga ,onda postoji figura φ', koja ima isti obim kao i Φ , a
veću površinu.
Elementaran dokaz
izoperimetrijske
nejednakosti
 Teorema: Za svaki poligon obima L i površine A važi:
 Dokaz: Dovoljno je dokazati nejednakost za konveksan
poligon
.Iz temena A poligona, možemo nacrtati
duž AQ tako da polazni poligon podelimo na 2 poligona i
onda imamo:
 i
 površina poligona zadovoljava nejednakost
.
Zaključak
Kao prilog možemo formulisati nekoliko zadataka koji su u
vezi sa razmatranom problematikom.
 Među ravnim figurama date površine odrediti onu koja
ima najmanji obim.
 Odrediti krivu date dužine čiji se krajevi poklapaju sa
krajevima date duži i koja zajedno sa tom duži ograničava
oblast najveće površine.
 Odrediti krivu date dužine koja od date poluravni odseca
oblast najveće površine (Didonin problem).
 Odrediti najkraću krivu koja dati jednakostranični trougao
razlaže na dva dela jednakih površina.
 Odrediti krivu date dužine koja od datog ugla odseca deo
najveće površine.
Neki primeri zadataka za osnovnu školu
 Od svih trouglova datog obima odrediti onaj kome je
površina najveća.
 Od svih pravougaonika datog obima odrediti onaj kome je
površina najveća.
 Od svih tetivnih četvorouglova datog obima, kvadrat ima
najveću površinu.
 Od svih pravouglih trouglova sa istom hipotenuzom,
najveću površinu ima jednakokrako pravougli trougao.
 Od svih trouglova koje imaju istu površinu,
jednakostranični trougao ima najmanji obim.
Hvala na pažnji
Marijana Stefanović
[email protected]