Transcript P - data.sfb.rs

2.4 Sile na površine usled
hidrostatičkog pritiska
Prilikom projektovanja rezervoara, zidova, sudova, ustava,
brana, neophodno je poznavati sile kojima će tečnost
delovati na površine tih objekata. Osim vrednosti sila
potrebno je znati napadne tačke tih sila u odnosu na
površine koje deluju.
Generalno govoreći sila pritiska dobija se integracijom po
ukupnoj površini svih elementarnih sila koje predstavljaju
proizvod pritiska i elementarne površine:
VAŽI ZA SVAKI ZADATAK !!!!!!
dP
p
A
dP=pdA
dA
Hidrostatička sila na horizontalnu ravnu
površinu
dP=pdA
P
P   pdA  p  dA  pA
A
A
jer je p  const .
• Pravac sile je vertikalan.
• Smer sile je ka konturi.
• Napadna tačka sile prolazi kroz težište površine A.
Hidrostatička sila na kosu ravnu
površinu
Podsećanja:
dS x  ydA
Y
dS y  xdA
X
dA
S x   ydA   yi Ai
A
Y
A
S y   xdA   xi Ai
A
A
X
Statički moment inercije
• Elementarni statički momenat inercije je veličina koja se
definiše za neku figuru i osu i predstavlja proizvod
elementarne površine dA i njenog odstojanja od ose
koordinatnog sistema.
• Sumiranjem elementarnih statičkih momenata po površini
čitave figure dobijaju se statički momenti figure u odnosu
na osu x, odnosno osu y
Težište figure
• Težište T figure je tačka čije se koordinate xT i
yT dobijaju deljenjem statičkog momenta figure
sa površinom te figure.
Sy
XT 
A
Sx
Y
Y
yT 
A
A
y

ydA

T
S =x A
S =y A
XT
y
T
x
T
T
YT
T
X
A
 xdA  xT A
A
X
Hidrostatička sila na kosu ravnu površinu
• Posmatra se rezervoar sa kosim bočnim zidom. Na bočnom
zidu se nalazi otvor zatvoren zatvaračem. Kolikom silom
tečnost deluje na zatvarač? Kako je usmerena sila? Gde se
nalazi napadna tačka sile?
dP  pdA
dP  ghdA
po definiciji :
 hdA  hC A
C  težište površine A
P  g  hdA  ghC A
P  pC A 
pT
*
A
hidrostatička sila  pritisak * površina
u težištu
površine
Intenzitet ukupne hidrostatičke sile na kosu ravnu
površinu jednak je proizvodu posmatrane površine
i hidrostatičkog pritiska u njenom težištu.
• Napadna tačka se određuje na osnovu
Varinjonove teoreme o jednakosti momenta
rezultante i momenti komponenti sila u
odnosu na ravan slobodne površine vode.
Imajući u vidu da pritisak raste sa porastom
 Mi
dubine po intuiciji se može naslutititi da bi
dM
 zdP  z
ghdA  sile
zgz sin
dA
napadna
tačka
trebalo
da bude ispod
2
2
M


gz
sin

dA


g
sin

z
težišta
površine.M
=

 dA
R

A
A
M   g sin  I oY
I oy  moment inercije površine A
u odnosu na ravan slobodne površine vode
• Napadna tačka se određuje na osnovu Varinjonove
teoreme o jednakosti momenta rezultante i momenti
komponenti sila u odnosu na ravan slobodne površine
vode. Imajući u vidu da pritisak raste sa porastom
dubine po intuiciji se može naslutititi da bi napadna
tačka sile trebalo da bude ispod težišta površine.MR=  M i
Varinjonova teorema
• Moment rezultante prostornog sistema sila za
proizvoljnu tačku jednak je vektorskom zbiru
momenata svih sila za tu istu tačku.
X t Pr  X1 P1  X 2 * P2  .... X n * Pn
X t Pr   X i * Pi
dM  zdP  zghdA  zgz sin dA
M    gz 2 sin dA  g sin   z 2dA
A
A
M   g sin  I oY
I oy  moment inercije površine A
u odnosu na ravan slobodne površine vode
moment rezul tan te :
M R  P * z D  Aghc z D
M R  Agzc sin  zc
izjednačenjem : M   M R nalazi se z D :
AzC z D  I 0 y
zD 
I oy
AzC
I C  AzC 2
IC

 zC 
AzC
AzC
IC  drugi moment inercije površine A u odnosu na težište
gIC
e  z D  zC  
P
e  ekscentricitet
Izrazi za izračunavanje
položaja težišta T i
drugog momenata
površine ( Ic ) za razne
geometrijske površine:
2.4.1 Ravanski zadatak
Iako su svi problemi koji rešava hidraulika u suštini
prostorni, neki put je moguće izvršiti pojednostavljenje
problema i smatrati ga ravanskim problemom.
Ravanski zadatak je onaj zadatak koji je dovoljno proučiti u
jednoj ravni jer je u svim ostalim ravnima paralelnim sa
ravni proučavanja stanje potpuno isto – to je ravan crteža.
U toj ravni površina A na koju se traži sila prikazana linijom.
U vertikalnoj ravni normalnoj na ravan proučavanja
projekcija površine A (na koju se traži sila) je pravougaonik.
Površina se pruža dužinom L u pravcu normalnom na crtež.
(ili je b ili se kaže npr. računati na dužni metar zida itd.)
U ovom slučaju se sila određuje preko komponenti Px i Pz.
Rezultanta se nalazi vektorskim sabiranjem:
Umesto dijagrama pritisaka p crta se dijagram visine
pritiska p/ . Taj dijagram se zove x, odnosno z dijagram.
Za horizontalnu komponentu, dijagram ima nulu u nivou 
kote i zaklapa ugao od 45o sa vertkalnom osom (trougao je
jednakokraki). Od dijagrama važi samo onaj deo koji je u
nivou posmatrane površine.
Za vertikalnu komponentu dijagram se pruža od
posmatrane površine do njene projekcije u ravan  kote.
Sile i raspored opterećenja kod
ravanskog zadatka
Px   g  x L
Py   g  y L
Sile i raspored opterećenja kod
ravanskog zadatka
Px   g  x L
Py   g  y L
VERTIKALNA KOMPONENTA KOJOM FLUID DELUJE NA
POVRŠINU JEDNAKA JE TEŽINI FLUIDA KOJA SE
MOŽE SMESTITI U ZAPREMINU IZMEĐU POVRŠINE I
NJENE PROJEKCIJE U RAVNI PIJEZOMETARSKE KOTE
(U RAVNI GDE JE PRITISAK =0)
SILA PROLAZI KROZ TEŽIŠTE NAVEDENE ZAPREMINE.
Pz=V
Hidrostatička sila na vertikalnu ravnu
površinu
1.
1.
P  pt * A
P  pt * A
2. Intenzitet ukupne hidrostatičke
sile P na površinu aL može se
dobiti i kao zapremina dijagrama
pritiska na tu površinu. Sila je
upravna na površinu i
deluje u težištu zapremine
pa
dijagrama.
P
L
2
 gaa
P
L
2
Primer
h
l
T
T
ez
h/2
P
b
Hidrostatička sila deluje na h/6 ispod težišta
pravougaonika, odnosno 2/3 visine pravougaonika
Primer
P = pT  A
hs=1,6m
P=hsA= hsab
P=9,811,61,51,8=42,38kN
e
 I yy
Ls  A
I yy
ab3 1, 5  1, 83


 0, 726m 4
12
12
e
0, 726
 0, 0732m
2, 7  3, 98
e = - 7,32 cm
2.5 Sile pritiska gasova u
zatvorenim sudovima
Razmatraju se sile kojima gas deluje na površine suda u kome
je zatvoren.
Specifična težina gasa je veoma malena (u odnosu na 
tečnosti), pa je uticaj sile težine gasa na promenu pritiska
zanemarljiv.
Tada se može uzeti za celu zapreminu gasa koji miruje u
zatvorenom sudu
p=const
KOMPONENTA ZA BILO KOJI PRAVAC SILE KOJOM GAS DELUJE NA
POVRŠINU SUDA U KOME JE ZATVOREN JEDNAKA JE SILI NA
PROJEKCIJU POVRŠINE, NORMALNU NA PRAVAC ZA KOJI SE
KOMPONENTA ODREĐUJE, PROLAZI KROZ TEŽIŠTE PROJEKCIJE
P =p A
Priemer 1.
Odrediti ukupnu hidrostatičku silu na vertikalnu pravougaonu ustavu, širine
L=3m.
Primer 2.
Odrediti rezultantu hidrostatičke sile (intenzitet, pravac, smer i
napadnu tačke) na L=1m ustave prikazane na slici
9
Primer 3.
Odrediti ukupnu hidrostatičku silu (intenzitet, pravac , smer i napadnu
tačku), kojom voda deluje na kosu ustavu prikazanu na slici. Širina ustave
iznosi L= 3m.
Paskalov hidrostatički paradoks
Hidrostatički pritisak ne zavisi od oblika suda niti od
mase tečnosti u sudu samo od visine vodenog stuba.
Paskalov hidrostatički paradoks
Pz=V
Hidrostatički pritisak ne zavisi od oblika
suda niti od mase tečnosti u sudu samo od
visine vodenog stuba.
Sila na dno suda = težini zapremine tečnosti koja se može smestit
iznad dna do pijezometarske ravni. Ta sila može da bude znatno
veća od težine stvarne zapremine
koja se nalazi u sudu.

h=p / 
Paradoks: Ako bi zaledili tečnost u sudu
tada bi opterećenje na dno suda bilo
jednako težini stvarne tečnosti u sudu.
V
Paskalov eksperiment sa buretom
Na bure puno vode montirana je visoka cevčica u koju je
dodavao postepeno tečnost.
Samo nekoliko litara vode izazvalo je punjenje nivoa do
visine h pri kome je bure puklo.
Na osnovu ovog eksperimenta Paskal je definisao svoj
zakon hidrostatike:
TEČNOSTI DELUJU SVOJOM VISINOM
Čvrsta tela deluju svojom masom G=mg
Sila uzgona
Pri razmatranju vertikalne komponente sile hidrostatičkog
pritiska potrebno je spomenuti i silu uzgona kojom tečnost
deluje na telo koje je potopljeno u tečnost
Arhimedov zakon
NA TELO URONJENO U TEČNOST DELUJE SILA UZGONA
JEDNAKA TEŽINI ZAPREMINE ISTISNUTE TEČNOSTI.
Na telo uronjeno u tečnost deluju dve sile: sila težine G
(nadole) i sila uzgona P (nagore). Obe deluju u težištu
tela.
Horizontalna komponenta sile hidrostatičkog pritiska na
telo je nula, jer su sile istog intenziteta, istog pravca i
suprotnog smera, pa se potiru.
Proračun:
Pz=V
ako je UG telo pada na dno
ako je U=G telo se nalazi u ravnoteži (lebdi)
ako je UG telo pliva