Transcript 2. Statika fluida 2.1 Hidrostatički pritisak • pritisak na nekoj dubini ispod slobodne površine tečnosti • Radi jednostavnosti ovaj problem je najlakše razmatrati u idealnoj.

2. Statika fluida
2.1 Hidrostatički pritisak
• pritisak na nekoj dubini ispod slobodne
površine tečnosti
• Radi jednostavnosti ovaj problem je
najlakše razmatrati u idealnoj tečnosti
(apsolutno neviskoznoj i apsolutno
nestišljivoj, tj. svuda iste gustine).
F0
p0
h
Q
S
p
F
• Neka na slobodnu površinu tečnosti deluje atmosferski
pritisak (vidi sliku 2.1.1), koji se prenosi na sve ostale
slojeve.
• Izdvojimo u tečnosti vertikalni cilindar, čiji je poprečni
presek S , a visina h. Na gornju površinu tečnosti u
cilindru deluje sila , uslovljena pritiskom i Zemljina teža
koja deluje na tečnost u zapremini cilindra . Kako je
tečnost u ravnoteži, sa suprotne strane mora delovati
sila suprotnog smera i mora biti zadovoljen uslov:
 

F0  Q  F  0
F  F0  Q
pS  p0 S  mg
m  V  Sh
pS  p0 S  Shg
p  p0  gh
hidrostatički pritisak
gh
Primer: Koliki je hidrostatički pritisak na dnu reke čija je
dubina h?
p  gh  98,1 kPa
• Primer Kolika sila deluje na vrata podmornice, površine
S  0,5m 2 , ako se ona nalazi na dubini hkg 100 m ?
Uzeti da je gustina morske vode   1020 3 .
m
Intenzitet sile koja deluje na vrata podmornice jednak je
proizvodu pritiska vodenog stuba iznad vrata i površine
vrata, tj.
F  pS  ghS  0,5MN
• Primer: Cilindrični sud, u kome se nalazi gas, poprečnog
preseka S zatvoren je klipom mase m. Klip se drži na
visini od dna pomoću niti čija je sila zatezanja (slika
2.1.2). Nit se prekine i klip počne da se kreće bez trenja.
Na kom rastojanju od dna suda će brzina klipa biti
maksimalna? Spoljašnji pritisak je p0 . Temperaturu
smatrati konstantnom.
h0
• Rešenje: Uslov ravnoteže klipa vezanog za nit je
mg  p0 S  T  pS
T
p0S
mg
p1S
h0
mg  p0 S  p 2 S
mg
p 2  p0 
S
U početnom stanju bilo je
p1 S  mg  p0 S  T
mg  T
p1  p0 
S
• Kako je temperatura konstantna važi (iz jednačine stanja
idealnog gasa):
p1 Sh0  p2 Sh
p1h0  p 0 S  mg  T h0
h

p2
p 0 S  mg
Vazdušni omotač oko Zemlje se nalazi u gravitacionom
polju. Zbog toga je atmosferski pritisak sličan pritisku u
tečnosti. Koncentracija molekula gasa i pritisak opadaju sa
visinom , gde h  0 odgovara površini Zemlje.
Atmosferski pritisak na visini h se računa po barometarskoj
formuli:
p  p0 e
•
•
•
•
•

Mgh
RT
p - pritisak na visini h iznad Zemlje,
p0 - pritisak na površini Zemlje
M - molekulska masa
R - univerzalna gasna konstanta
T - apsolutna temperatura.
p  n0 kT
p0  n0 kT
n0  n0 e

Mgh
RT
2.2 Hidrostatički paradoks
• U spojenim sudovima, koji su gore otvoreni, tečnost stoji
na istom nivou (slika 2.2.1), bez obzira na oblik suda.
h
O
O
vodoskok
A
B
arteški (arterski) bunar
нестални водени слој
облак
киша
површински слој са површинским водама
артешки извор
ниво засићења
трајни водени слој
ниво засићења
непропусни (непорозни) слој
U slučaju da se u spojenim sudovima nalaze različite
tečnosti sa raznim gustinama, nivo tečnosti u sudovima
neće biti jednak. Neka su u spojenim sudovima (slika 2.2.4)
dve tečnosti različite gustine koje se ne mešaju, na primer,
voda i živa. Visine stubova tečnosti i naći ćemo iz uslova
ravnoteže pritiska u tečnosti kroz isti fluid. Isti atmosferski
pritisak deluje u oba kraka cevi, te se može napisati uslov
ravnoteže pritisaka
1 gh1  p0   2 gh2  p0
1 h2

 2 h1
p0
p0
2
h1
h2
1
O
O
h2
1   2
h1
Pritisak zavisi samo od visine vertikalnog stuba, odnosno
od dubine. Usled toga će pritisak pri dnu suda biti isti u
sudovima različitih oblika samo ako je vertikalna visina od
dna do površine tečnosti ista u svim sudovima (slika 2.2.5).
h
a
b
c
d
Ako su površine dna sudova jednake, onda će tečnost u
svim sudovima delovati na dno suda istom silom, bez
obzira što su količine tečnosti u sudovima različite.
• Sila kojom tečnost deluje na dno suda jednaka je težini
tečnosti u cilindričnom sudu. Odavde sledi da u
sudovima (c) i (d) tečnost deluje na dno većom silom
nego što je težina tečnosti u sudu. Na prvi pogled
ovakva pojava je paradoksalna, te se zato naziva
hidrostatički paradoks. Međutim, odmah se može videti,
u slučaju (b), da je vertikalna komponenta sile, kojom zid
deluje na tečnost, usmerena naviše, te prima jedan deo
težine vode. Tada je sila na dno suda manja od težine
tečnosti u sudu. U slučaju (c) vertikalna komponenta je
usmerena naniže, te je sila na dno suda veća od težine
tečnosti u sudu. Prema tome, radi se samo o raspodeli
sila, dok sud kao celina neće pokazivati veću težinu od
one koliko iznosi težina tečnosti u sudu.
Primer: U cilindričan sud nalivene su količine žive i vode
jednakih zapremina (slika 2.2.6). Visina tečnosti u sudu je .
Koliki je pritisak tečnosti na dno suda? Koliki je pritisak
vode na živu?
h
Rešenje: Pritisak na dno suda je
h
h
p2  1 g   2 g  21,5 kPa
2
2
• Pritisak vode na živu je
p1  1 g
h
 1,47 kPa
2
Primer: Silom, intenziteta F  1 kN , deluje se na klip
kojim se sabija vertikalni vodeni stub, visine h  2 m i
2
površine poprečnog preseka S  16 cm . Koliki pritisak
deluje na dno suda? Za koliko se smanji visina vodenog
stuba usled kompresije? Zapreminski modul elastičnosti
vode iznosi .
Rešenje: Pritisak na dno suda je
p  p1  gh 
F
 gh  0,65 MPa
S
• Prema Hukovom zakonu za zapreminsku deformaciju je
V
1 F

V
EV S
1 VF
V 
EV S
V  hS
V  hS
Fh
h 
 0,6 mm
SEV
Primer Cisternu, poluprečnika i dužine , ispunjava voda do
njene polovine. Pri kom ubrzanju će voda isticati kroz otvor
na vrhu čeonog dela cisterne?



Rešenje Rezultujuća sila F  mg   ma 
mora da
bude normalna na slobodnu površinu tečnosti, jer kod
tečnosti nema tangencijalnih sila (slika 2.2.7). Iz trougla
2x
ABC je
tg 
l
dok je iz vektorskog trougla sila ACD isto tako
a
pa je
tg 
g
2x a

l
g
• Za granični slučaj, kada voda počne da ističe kroz otvor
na vrhu, biće x  R , pa je tada minimalno ubrzanje
cisterne
2R
m
a min  g
 3,27 2
l
s
2R x
-ma
A

x
mg
l
F
2.3 Potisak i Arhimedov zakon
• Ako se telo zapremine V potopi u sud sa tečnošću, nivo
tečnosti se podiže za visinu koja odgovara zapremini
potopljenog tela. Telo u tečnosti će biti podvrgnuto
pritisku sa svih strana. Bočni pritisci se poništavaju jer su
suprotnog smera, a istog intenziteta. Rezultujući pritisak
je zbog toga uslovljen razlikom gornjeg i donjeg pritiska.
Ovaj rezultujući pritisak, koji je jednak težini istisnutog
fluida, naziva se potisak. Prema tome, svako telo
uronjeno u neki fluid trpi potisak, tj. gubi prividno od
svoje težine onoliko koliko je težak njime istisnut fluid
(Arhimedov zakon). Primetimo da je potisak nezavisan
od dubine potapanja tela u fluid, pod uslovom da gustina
fluida i zapremina tela ostanu isti.
Fp
F

Q

  
F  ma  Q  Fp
•  gustina tela, a
' gustina fluida.
F  ma  Q  Fp
F  ma  Vg   Vg     Vg
Iz relacije (2.3.3) možemo izvući sledeće zaključke:
Ako su gustine tela i fluida jednake, telo lebdi u fluidu:
F 0a 0
• 2.Gustina fluida je veća od gustine tela,
’>, pa je sila potiska veća od sile
Zemljine teže i telo isplivava (ili pliva).
• 3.Telo ima veću gustinu od gustine fluida,
>’, pa je sila teže veća od sile potiska,
usled čega je rezultanta usmerena nadole
i telo tone.
Ako gustina tela (čamac, podmornica, lopta) nije
homogena, onda se pri ovim razmatranjima uzima njihova
srednja gustina.
• Plovni objekti moraju imati srednju gustinu
manju od gustine vode. Kod njih je samo jedan
deo uronjen, dok je drugi deo iznad slobodne
površine vode. Bitno je još da su uspravni i u
stabilnoj ravnoteži. Svi ovi uslovi će biti ostvareni
ako pravac sile potiska prolazi kroz težište
uspravnog broda i da spreg sila, koji obrazuju
sila trenja i sila potiska kad se brod nagne, ima
takav smer da teži da ispravi brod (vidi sliku
2.3.2).
Fp
M
Fp
M

O

Q
Q
• Tačka M, u kojoj pravac sile potiska seče osu plivanja,
naziva se metacentar. Kada je metacentar iznad težišta,
brod je u stabilnoj ravnoteži, ako je ispod težišta, brod je
u stanju labilne ravnotreže i on će se prevrnuti pri
najmanjem poremećaju ravnoteže.
Primer: Kugla, načinjena od homogene supstancije gustine
 , pliva između dve tečnosti koje se ne mešaju. Gustina
gornje tečnosti je 1 , a donje  2 . Koliki deo kugle je
potopljen u gornju, a koliki u donju tečnost?
FA
V1
C
V2
C2
C1
C1
C2
C
h
m1g
V  V1  V2
m1 g  V1 g
m2 g  V2 g
1V1 g   2V2 g
m2g
V1 g  V2 g  1V1 g   2V2 g
2  
V1  V
 2  1
Primer: Šuplja metalna lopta (slika 2.3.5), unutrašnjeg
poluprečnika r1  9 cm i spoljašnjeg poluprečnika r2  10 cm
pliva na tečnosti gustine   800 kg , pri čemu je polovina
lopte iznad tečnosti.
m3
a) Kolika je gustina supstancije od koje je načinjena lopta?
b) Kolika bi trebalo da bude gustina tečnosti da bi lopta u
njoj lebdela?
Zapremina metalnog dela lopte je

4
V   r23  r13
3

r2

r1

V1
1 gV  g
2
V1 
4 3
r2
3
1 

2
1
r
1   1
 r2



2
 1476
kg
m3
b. Pri lebdenju lopte je
1 gV   x gV1
kg
V 
 x  1   400 3
V1 2
m