Slide 1

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 2

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 3

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 4

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 5

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 6

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 7

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 8

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 9

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 10

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 11

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 12

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 13

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 14

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 15

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 16

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 17

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 18

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 19

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 20

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 21

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.


Slide 22

3. Kinematika fluida
• Dinamika fluida proučava kretanje tečnosti i gasova.
• Problem kretanja fluida znatno je složeniji od problema
kretanja čvrstog (krutog) tela.
• Delići fluida kreću se jedni u odnosu na druge, pa je
kretanje tečnosti praćeno promenom oblika, a kretanje
gasova i promenom zapremine.
• Kretanje fluida u opštem slučaju veoma složen fenomen.
• Pretpostavke kako bismo problem pojednostavili:

 zanemarićemo unutrašnje trenje u fluidu – idealni fluid;
• zadržaćemo se na stacionarnom strujanju (raspodela brzina u
raznim tačkama struje fluida tokom vremena ne menja);
• smatraćemo da su tečnosti nestišljive (tj. imaju istu gustinu u
svakom delu prostora kroz koji teku); pri stacionarnom strujanju
zanemarljive su i promene gustine gasa, pa se često u kinematici i
gasovi smatraju nestišljivim.
• Uz sve to, bavićemo se samo tzv. laminarnim strujanjem: to je
proticanje fluida pri kojem susedni slojevi klize jedan u odnosu na
drugi. Kod ovakvog strujanja putanja svakog delića fluida je glatka
linija i ne seku se putanje raznih delića. Laminarno strujanje moguće
je pri relativno malim brzinama.
• Pri velikim brzinama strujanje je turbulentno - karakteriše se
postojanjem niza vrtloga u struji fluida. Nastajanje vrtloga je
komplikovan fenomen i turbulentno strujanje ćemo razmatrati u
malom obimu u poglavlju o unutrašnjem trenju u tečnosti.

• Na deliće fluida deluju sledeće sile: spoljašnje ili
površinske sile od kojih za tehničke probleme dolazi u
obzir jedino Zemljina teža; site pritiska kao unutrašnje
sile nastale zbog razlike pritisaka u raznim tačkama
fluidnog prostora; viskozne sile koje su posledica
delovanja unutrašnjeg trenja fluidnih delića; elastične
sile koje se javljaju, uglavnom, u gasova (zbog njihove
stišljivosti) kad se pođe od određenog ravnotežnog
stanja pod određenim početnim pritiskom i inercijalne
sile, koje se javljaju zbog ubrzanog kretanja fluidnog
sistema.

Napomenimo na kraju da postoje dva osnovna
načina za proučavanje strujanja fluida.

• Prvi način je dao Lagranž (Giuseppe Lodovico
Lagrangia ili Joseph-Louis Lagrange , 1736
Sardinija - 1813 Pariz), a sastoji se u tome da se
svaki delić prati na putu kroz prostor, onako kako se to
radi u mehanici materijalne tačke.
• Povezao brzinu i ubrzanje za česticu

Drugi način potiče od Ojlera (Leonhard Paul Euler, 1707 1783); po njemu se uoči tačka u prostoru pa se u njoj
određuju brzine, pritisci i druge veličine. Ako se uspe da se
za sve tačke prostora odrede ove veličine, i u svakom
trenutku, onda će strujanje biti potpuno poznato.

• Vezao brzinu i ubrzanje za tačku

3.1 Karakteristike strujanja fluida
• Stacionarno strujanje fluida je takvo kretanje kod koga
se brzina u proizvoljnoj tački ne menja tokom vremena.
• Raspodela brzina u tečnosti može se eksperimentalno
posmatrati: u tečnost se ubaci neki obojeni prah čija je
gustina bliska gustini tečnosti: delići praha tada se kreću
isto kao delići tečnosti koji ih okružuju i ta putanja se
može posmatrati i snimati fotoaparatom.

• Strujna linija je usmerena linija kod koje tangenta u
svakoj tački ima pravac brzine kojom delić fluida prolazi
kroz tu tačku.
v3

v1

v2

Više strujnih linija čini strujnu cev, ili snop strujnih linija,
dovoljno uzan da se može smatrati da je u svakoj tački
poprečnog preseka ista brzina fluida, zove se strujna cev
(slika 3.1.5).

Najjednostavnija je homogena strujna cev (slika 3.1.6): ona
ima stalan poprečni presek, tj. brzine svih delića u struji
fluida su u istom pravcu i imaju isti intenzitet.

3.2 Protok fluida
• maseni protok
qm 

q m  

m
t

 m  kg
1
 t 
s

• Zapreminski protok
qV 

V
t

 V  m 3
q V  
1
 t 
s

qm 

m
t



V
t



 Sv  t
t

v
S

l

q V  Sv

  Sv

Primer: Voda struji brzinom 1 m/s kroz cev poluprečnika 2
cm. Koliki je zapreminski protok i koliko litara vode prođe
kroz poprečni presek cevi za 3 min?

qV 

V

 Sv  12 ,56  10

4

m

t

V  q V t  Svt  2 , 26 m

3

s
3

• Primer: Kroz cev poluprečnika 3 cm voda se uliva u
bazen. Kolikom brzinom struji voda kroz cev, ako se za
pola sata u bazen ulije 50 m^3 vode?

v

V
St



V
r t
2

 9 ,8

m
s

• Primer: Voda ističe iz cevi unutrašnjeg prečnika d  5 cm
m
brzinom v  2
u pravougaoni bazen dužine l  10 m
s
• širine a  5 m i dubine h  2 m . Za koje vreme će se
bazen napuniti ako je zapreminski protok konstantan?

q V  Sv 

qV 

t

V
t

4 lah

d v
2



d

2

4

lah
t

 7 ,1 h

v

3.3 Zakon kontinuiteta
• stacionarno strujanje

v1

v2

S2

S1
 l1
 l2

• Maseni protok fluida kroz bilo koji poprečni presek
strujne cevi je isti
 Sv  const.

Dakle, poslednja formula predstavlja tzv. jednačinu
kontinuiteta (odnosno jednačinu neprekidnosti). Ako je
fluid nestišljiv, njegova gustina je svuda ista, pa se
jednačina kontinuiteta svodi na oblik:

S  v  const.

S 1 v1  S 2 v 2
v

const.
S

Brzina strujanja fluida veća je u užem delu strujne cevi,
odnosno tamo gde su strujne linije gušće i obrnuto.
Poznato je to i iz mnogih primera:
Dunav znatno sporije teče kroz Panonsku ravnicu
nego kroz Đerdapsku klisuru;
tečnost ističe iz šprica za injekcije mnogo brže nego
što se gura klip;
vetar brže duva kroz uski prolaz između zgrada nego
u širokom otvorenom prostoru .
• Primer: Voda struji kroz horizontalnu cev promenljivog
poprečnog preseka. Brzina vode u širem delu cevi je
20cm/s. Naći brzinu vode u užem delu ako je prečnik tog
dela 1,5 puta manji od prečnika šireg dela cevi.

S 1 v1  S 2 v 2
d 1

2

4

d 2

2

v1 

4

2

v2 

d1

2
d2

v 1  45

v2
cm
s

• Primer: Površina poprečnog preseka aorte je 3 cm 2
cm
• a krv kroz nju struji brzinom 30 s . Kroz kapilare
mm
0
,
5
se krv kreće brzinom
. Smatrajući da
s
svaka kapilara ima isti poprečni presek ,
izračunati koliko ima kapilara u ljudskom telu.

S 1 v 1  nS 2 v 2
n  6  10

9

3.4 Laminarno strujanje idealnog fluida
• laminarno i turbulentno strujanje
• Ako je strujanje takvo da slojevi fluida klize jedan pored
drugog, onda je to laminarno kretanje. Karakteristično za
ovakvo kretanje je da se svaka čestica fluida kreće po
glatkoj trajektoriji, pri čemu se ove trajektorije ne seku
(slika 3.4.1).

Kada brzina fluida pređe određenu granicu, koja zavisi, kao
što će se kasnije videti, od niza parametara, strujanje
postaje turbulentno.
Ovakvo kretanje karakteriše pojava vrtlogapri čemu se
javlja značajno unutrašnje trenje koje se naziva
viskoznost.