Transcript 4. Dinamika fluida • Kod idealne tečnosti mehanička energija se ne transformiše u druge oblike energije nego ostaje konstantna, tj.

4. Dinamika fluida
• Kod idealne tečnosti mehanička energija se ne
transformiše u druge oblike energije nego ostaje
konstantna, tj. održava se. Zakon održanja energije kod
idealne tečnosti za stacionarno stanje predstavlja
Bernulijeva jednačina. Ona čini osnovu zajedno sa
jednačinom kontinuiteta celokupne hidrodinamike fluida,
pa je zbog toga neophodno da je detaljnije razmotrimo.
Daniel Bernoulli 1700 - 1782
p1
S1
F1
v1
p2
l1
S2
h1
v2
F2
h2
ΔE  E2  E1  A
1
mv12  mgh1
2
1
E 2  mv 22  mgh 2
2
E1 
l2
Rad spoljašnjih sila je jednak radu sile pritiska
A   p1  p2 V
1
1
2
mv1  mgh1  p1V  mv 22  mgh 2  p 2V
2
2
m

V
1 2
1 2
v1  gh1  p1  v 2  gh2  p 2
2
2
1 2
v  gh  p  const
2
• Zbir dinamičkog (hidrodinamičkog), visinskog
(hidrostatičkog) i statičkog pritiska pri stacionarnom
proticanju idealnog fluida duž strujne cevi ostaje stalan.
• Primer: Strujnom cevi protiče voda (gustine 1000
kg/m^3). Na jednom poprečnom preseku, čiji centar se
nalazi na visini 2m iznad horizonta, brzina proticanja je
2 m/s, a pritisak koji na njemu vlada 1,410^5 Pa. Kolika
je brzina proticanja tečnosti na drugom poprečnom
preseku koji se nalazi na visini 1m iznad horizonta a na
kome vlada pritisak 1,210^5 Pa? Za ubrzanje sile
Zemljine teže uzeti 10 m/s^2 .
1 2
1 2
v1  gh1  p1  v 2  gh2  p 2
2
2
1 2 1 2
v2  v1  gh1  p1  gh2  p 2
2
2
v2 
2
v1
m
 2 g h1  h2    p1  p2   8

s
2
4.2 Primena Bernulijeve jednačine
h1  h2
1 2
1 2
v1  p1  v 2  p 2
2
2
p2
p1
v1
v2
kg
Primer: Nafta gustine 800 3 protiče kroz horizontalnu
m
cev različitog poprečnog preseka. Na užem delu cevi čija
je površina duplo manja, a na kome vlada tri puta manji
statički pritisak nego na širem, brzina proticanja je za
m veća. Koliki je statički pritisak na užem delu?
14
s
1 2
1 2
v1  p1  v 2  3 p1
2
2

1
p1   v12  v 22
4

• jednačina kontinuiteta
S1v1  S 2 v2
S1 v2  v   2S1v2
v2  v  2v2
v2  v
v1  2v


1
3
2
2
p1   4v  v  v 2  1,176  105 Pa
4
4
4.3 Toričelijeva teorema
• Evangelista Torricelli (1608 – 1647)
p0
h
p0
p 0  gh  p 0 
1 2
v
2
v
v  2gh
Brzina isticanja tečnosti iz širokog suda je jednaka brzini
koju dobija telo kad slobodno pada sa iste visine.
•
Kod realnih tečnosti presek mlaza je uvek manji od
preseka otvora, zbog njegove kontrakcije. Odnos
preseka mlaza S m i otvora S dat je izrazom:
S m  kS
•
k koeficijent kontrakcije mlaza
• Zapreminski protok:
qV  S m  v  kS 2gh
• Koeficijent kontrakcije najviše zavisi od viskoznosti
fluida i oblika otvora.
Primer: Na kojoj dubini treba da se nalazi mali otvor u
posudi napunjenoj tečnošću da bi na njemu brzina isticanja
bila duplo veća nego kroz otvor koji se nalazi na 0,5m
ispod površine tečnosti?
v1  2 g h1
v2  2 g h2
v2

v1
2 g h2
2 g h1
2v1

v1
h2
h1
h2  4h1  2 m
• Primer: U rezervoaru s vodom nalazi se mali otvor na
1,2 m ispod slobodne površine. Na kom rastojanju će
mlaz pogoditi horizontalnu ravan koja je 4,8m ispod
otvora?
p0
h
p0
v
H
D
horizontalan hitac
D  vt
1 2
H  gt
2
2H
t
g
2H
Dv
g
v  2gh
2H
D  2 gh
 2 hH  4,8 m
g
4.4 Venturijeva cev
• Služi za određivanje brzine protoka fluida
1 2
1 2
p1  v1  p 2  v 2
2
2
1
Δp  p1  p 2   (v22  v12 )
2
2


1 2   S1 
Δp  v1    1
 S2 

2


v1  k
Δp

k
2
 S1

 S2
2

  1

Q  S1  v1  S1  k
Δp

Δp  gΔh
• Primer: Iz horizontalne cevi prikazane na slici 4.4.2
(Venturijeva cev) posle 10 min istekne 600 kg vode.
Površina poprečnog preseka izlaznog dela cevi manja je
3 puta od površine poprečnog preseka njenog šireg dela.
Kolika je površina poprečnog preseka užeg dela cevi ako
se zna da je u U - cevi živa, a visinska razlika njenih
nivoa 10 cm? Gustina vode je 1  1000 kg , a žive
 2  13600
kg
m3
m3
h
S1
v1
S2
S1  v1  S 2  v2
v2
1 2
1 2
p1  gh1  v1  p 2  gh2  v2
2
2
1
1
2
p1  1v1  p 2  1v 22
2
2
p1  p 2 
1
1
1v 22  1v12
2
2
S2
v1 
 v2
S1
2
p1  p 2 
1
1 S 
1v22  1  2  v22
2
2  S1 
2

 S2 
1
2
p1  p2  1v2 1    
2
  S1  
p1  p2   2 gh  1 gh
2



 2  1 gh  1 1v22 1   S 2  
2
  S1  
v2 
2 2  1 gh
  S 2 
1 1   2  
  S1  
m  1 S 2 v2 t
m
v2 
1 S 2 t
2 2  1 gh
m2

 1
12 S 22 t 2
1 1  
 9
S2 
2m
31t
1
 19 cm 2
 2  1 gh
Primer: Za merenje brzine i protoka fluida u cevovodima
koristi se uređaj prikazan na slici. Odrediti brzinu i protok
fluida (gustine  n ) u cevovodu ako je prečnik užeg dela
cevi ( d 2 ) dva puta manji od prečnika ( d1 ) šireg dela cevi.
Manometar, pritom, sa tečnošću gustine  0 , pokazuje
visinsku razliku H. Specijalni slučaj: kroz cevovod protiče
kg


800
nafta gustine n
3 , tečnost u manometru je živa
gustine
kg
m3
 0 13600
m
,a
H  4cm pri d1  0,8m
.
S2
S1
v1
v2
h
H
p1 
1
1
 n v12  p 2   n v22
2
2
1
1
2
p1  p2   n v2   n v12
2
2

2p  n v22  v12
v1 

2p
 S12

 n  2  1
 S2

p1  h  H  n g  h n g  H 0 g  p2
p   0   n gH
v1 
d1
2
d2
v1 
2 0   n gH
 S12


 n  2  1
 S2

2
S1
2
S2
4
2  0   n gH

3
n

2  0

 1 gH
3  n

Q
d12
4

2  0

 1 gH
3  n

m
v1  2,05
s
m3
Q  1,03
s
4.5 Pitoova cev
• Pitoova cev se koristi za merenje ukupnog pritiska
(statičkog i dinamičkog).
v
p0
p1
p
1 2
p0  v  p1
2
Δp  p1  p0
Primer: Pomoću cevi prikazane na slici 4.5.2 meri se, na
osnovu visine stuba tečnosti u njoj, ukupan pritisak u
struji tečnosti. Statički pritisak se meri pomoću cevi
prikazane na slici 4.5.2 - b. Odrediti brzinu proticanja fluida
gustine . Na primer, kerozin ima gustinu   820 kg3 ,
m
p1 = 266 Pa, p2 =13,3 kPa.
b
a
h
h
1
2
1 2
p 2  p1  v1
2
v1 
2 p2  p1 

v1  5,6
m
s