Transcript z=0 - data.sfb.rs

3. HIDROSTATIKA
Hidrostatika predstavlja posebnu oblast hidraulike u
okviru koje se izučavaju tečnosti u mirovanju,
odnosno tečnosti u ravnotežnom stanju.
Pod ravnotežnim stanjem se podrazumeva stanje u
kome se svaki delić tečnosti nalazi u mirovanju,
odnosno stanje gde nema relativnog kretanja delića
tečnosti u odnosu na druge deliće.
Pošto nema relativnog kretanja delića tečnosti
tangencijalni naponi kod tečnosti u mirovanju su
jednaki nuli.
Zbog toga se kod tečnosti u mirovanju javljaju samo
normalni naponi, odnosno pritisci.
U okviru hidrostatike razmatraće se dve posebne
oblasti.
1. analiza pritisaka i njihove promene unutar
posmatrane zapremine tečnosti u mirovanju
2. analiza dejstva sila pritisaka na konačne
površine.
Za sva razmatranja u hidrostatici važe sledeće predpostavke:
1)Gustina tečnosti je konstantna, tj. tečnost se smatra
nestišljivim
3
za
vodu
=1
kg/dm
dm M

dV

V
 const
2)Od zapreminskih sila (sila proporcionalna masi) deluje
samo težina tečnosti
G=V
G=gV
=const
3)Od površinskih sila deluje samo sila pritiska
3.1. Pritisak u tečnosti
Pritisak
Pritisak u tački predstavlja graničnu vrednost odnosa
normalne sile na površinu kada površina teži nekoj
beskonačno maloj vrednosti dA.
F dF
p  lim
A 
 0
A

dA
Označava se sa p
Intenzitet pritiska, ili jednostavno pritisak,
predstavlja silu koja deluje po jedinici realne ili
imaginarne površine unutar tečnosti.
Njegova dimenzija je FL-2 , odnosno ML-1T-2 .
Jedinica mere za pritisak je Paskal (Pa) i
izražava dejstvo sile od 1N na površinu od
1m2.
1 Pa = 1 Nm-2
U upotrebi je još:
1 Bar = 105Pa = 100 kPa = 1,103 Atm  1 Atm
Pritisak u tački je granična vrednost p  lim F  dF
A 
 0 A
dA
odnosa normalne sile na površinu i
same površine, kada površina teži nuli.
OSOBINE PRITISKA SU:
1.Sila
na granične površine
koja je prouzrokovana dejstvom
pritiska tečnosti mora biti
upravna na površinu u svim
tačkama jer tečnost u mirovanju
ne može prenositi tangencijalne
napone.
2. U XVII veku Paskal je na osnovu ogleda (sl.) utvrdio:
Pritisak na zatvoreni fluid se istim
intenzitetom prenosi na sve zidove suda
- nazvan Paskalov zakon.
Vrednost pritiska u jednoj tacki fluida
koji miruje je ista bez obzira na smer.
Šta npr. radi na tom principu?
Na prethodnom zakonu bazira princip rada hidrauličke
prese.
3. Hidrostatički pritisak u jednoj
tački tečnosti u mirovanju deluje u
svim pravcima podjednako.
DOKAZ za prethodnu konstataciju je:
posmatraćemo malu trougaonu prizmu tečnosti koja
okružuje neku tačku tečnosti u mirovanju.
Pošto je tečnost u mirovanju, tangencijalni naponi su =0, pa
deluju samo normalni naponi, tj. pritisci.
Usled uticaja zemljine teže pojavljuje se i sila težine
posmatrane zapremine tečnosti koja deluje u suprotnom
pravcu od vertikalne koordinate y.
Dokaz Paskalovog zakona:
Zbog mirovanja, sile koje deluju na
trougaonu prizmu tečnosti moraju
biti u ravnoteži.
Sumiranjem sila u x i y pravcu,
respektivno, dobijaju se izrazi
F
x
 pxdydz  ps sin dsdz   px  ps dydz  0
1
 Fy  p y dxdz  ps cos dsdz  2 dxdydzg 0
gde su px , py , pz srednji pritisci na tri površine prizme,
a g predstavlja specifičnu težinu tečnosti.
Iz geometrijskih karakteristika posmatrane prizme proizilazi
da je dssin =dy pa se ravnoteža sila u x -pravcu svodi na
izraz: ps=px
Kada stranice, odnosno zapremina posmatrane prizme teže
nuli, težina prizme
1
  dx  dz  dy
2
postaje zanemarljiva u odnosu na sile pritisaka, pa se
korišćenjem geometrijske relacije dscos =dx, jednačina
sila u y pravcu svodi na izraz ps=py .
Kombinacijom izraza za ravnotežu sila u x i y pravcu dobija
se izraz
ps= px= py =p
Pošto ugao  može biti bilo koji proizvoljni ugao prethodnom
jednačinom je dokazano da je pritisak u tački tečnosti u
mirovanju jednak u svim pravcima.
Prema tome pritisak je skalarna veličina.
U praktičnim proračunima obično se koristi pojam srednjeg pritiska:
Srednji pritisak predstavlja odnos normalne sile koja
deluje upravno na ravnu površinu i same površine.
3.2 Osnovna jednačina hidrostatike
Zakon promene pritiska neke tečnosti u mirovanju može
biti utvrđen analizom promene pritiska duž horizontalne i
vertikalne linije.
Izdvojićemo najpre jedan horizontalni cilindar
neke tečnosti u mirovanju:
L
pMdA
pNdA
M
dA
N
Ako se posmatra ravnoteža sila u horizontalnom pravcu,
jedine sile koje deluju na cilindar su sile pritisaka pMdA i
pNdA, gde su pM i pN pritisci na osnove cilindra površine dA.
Pošto su pritisci normalni na površinu i kako se cilindar nalazi u
ravnoteži (jer celokupna masa tečnosti nalazi u ravnoteži) sledi
da je
pMdA = pNdA
odnosno
pM= pN
Dve tačke u horizontalnoj ravni neke tečnosti u mirovanju
moraju imati isti pritisak.
Pošto ovo važi za bilo koje dve tačke u horizontalnoj ravni
sledi da sve tačke u horizontalnoj ravni neke tečnosti u
mirovanju imaju isti pritisak.
* * *
Posmatraćemo sada vertikalni cilindar izdvojen u nekoj tečnosti
u mirovanju. Neka je dA površina poprečnog preseka prizme a
z visina prizme.
dp 

 p  z dA
dz 

z
z
-zapremina cilindra
dV=dAz
-težina cilindra
dV
dAz
-sile pritiska:
p dA
pdA
z
z=0
dp 

 p   z   dA
dz


Pošto je tečnost u mirovanju, nema tangencijalnih sila, pa
sve tri sile moraju biti u ravnoteži:
dp 

p  dA   p   z   dA -   z  dA  0
dz


dp
  z  dA -   z  dA  0
dz
dp
 
dz
/ : dV=dAz
dp=-dz
Osnovna jednačina hidrostatike u
diferencijalnom obliku
( =   g)
dp
  g  0
dz
Videli smo da se pritisak ne menja duž x i y ose (znači u
datoj horizontalnoj ravni) a da se menja samo po visini
(vertikalne z ose).
Kako bi glasila jednačina za konačnu zapreminu?
z
o
Posmatrajmo sud ispunjen tečnošću i
nađimo dve tačke A i B sa različitim
visinskim položajem.
B
(
o
A
z=0
označava površinu vode)
Ako osnovnu jednačinu hidrostatike
napišemo u obliku:
dp+gdz=0
i izvršimo njeno integraljenje od tačke A do tačke B, uz
uslov da je fluid nestišljiv (=konstantna gustina, =const)
i da je gravitaciono ubrzanje g=9,81ms-2=const
PRITISAK
FLUIDNOJ
pB – pA + UgJEDNOJ
( zB – zA )NEPREKIDNOJ
=0
SREDINI KONSTANTNE GUSTINE, POD DEJSTVOM
odnosno
TEŽINE, ZAVISI SAMO OD VISINSKOG POLOŽAJA pA +  g zA =PRITISKA
pB +  g zJE
const
ili PORASTU
B =SRAZMERNO
SMANJENJE
p +  g z = const
VISINE.
p
 z  const
 g
OSNOVNA JEDNAČINA
HIDROSTATIKE
p
 g
je visina pritiska i ima dimenziju dužine, najčešće
se izražava u (m)
z
je položajna kota i predstavlja odstojanje od kote
z=0. Kota z=0 bira se tako da se dati zadatak
najlakše reši.
p
Zbir visine pritiska,   g
, (odn. p/), i položajne kote, z,
predstavlja pijezometarsku kotu, i obeležava se sa
oznakom  (Pi )
Za sve tačke neke fluidne sredine
p
u mirovanju pijezometarska kota

 z  const
 g
je ista (konstantna).
pijezometarska kota
pA
0
 g
pijezometarska cev, služi za
merenje nivoa tečnosti,
odnosno pijezometarskih kota
pA
pB
pC
 zA 
 zB 
 zC    const
 g
 g
 g
Slobodna površina tečnosti ≡
hidrostatički pritisak = 0
∏ (pijezometarska) kota
Veoma često se u inženjerskoj praksi kota z=0 usvaja
na slobodnoj površini tečnosti u nekom sudu, a dubina
vode u nekoj tački u sudu označava se sa h=-z.
Na površini suda p=0, z=0 =0
OSNOVNA JEDNAČINA
HIDROSTATIKE
p

 z  const
 g
pA
 zA    0
 g
zA=-hA
pA=hA
p=h
raspored hidrostatičkog pritiska

pA=0
oA
pB

zA
oB
zB
C
Izračunajmo pA , pB i pc 1
ako je H=10m , zB=3m
Šta bi bilo da je
umesto vode
H
ulje? pritiske
Nacrtajmo dobijene
z=0 u obliku dijagrama !
uljaH cm
1kPa=x
vodeH
Hidrostatički pritisak u nekoj tački je proporcionalan visini
vodenog stuba iznad te tačke. Koeficijent proporcionalnosti je specifična težina tečnosti  (=g).
p
 g
Visina pritiska
ima dimenziju dužine, i u hidraulici
se nejčešće izražava u metrima vodenog stuba.
3.3 Atmosferski pritisak. Apsolutni pritisak.
Merenje pritiska.
U dosadašnjem izlaganju uticaj atmosferskog pritiska
nije uopšte bilo spominjan pri razmatranju delovanja
pritiska u tečnostima.
Atmosferski pritisak deluje na sva materijalna tela na
Zemlji pa se u skladu sa tom činjenicom pritisak u bilo
kojoj tački neke fluidne sredine može izraziti kao zbir
atmosferskog i hidrostatičkog pritiska.
Taj ukupni pritisak naziva se apsolutni pritisak:
paps = patm + p
apsolutni
pritisak
atmosferski
pritisak
hidrostatički
pritisak
Toričelijev eksperiment
(1643)
Staklenu cev dužine oko
1m , čiji je jedan kraj
zatvoren, napunio živom i
zagnjurio njen otvoren
kraj u širi sud sa živom.
Kad je sklonio prst u cevi
je ostao stub žive visok
76cm (na nivou mora).
patm =gh=13600 kg/m39,81m/s2 0,76m= 101396 Pa
Barometar
Barometar je instrument za merenje apsolutnog pritiska.
Sastoji se od staklene cevi zatvorene sa gornje strane koja
se ispuni tečnošću, potopi u sud sa istom tečnošću i
pažljivo podigne u vertikalu.
Ako je cev dovoljno dugačka,
u zatvorenom prostoru iznad
tečnosti će se pojaviti prostor
gde nema vazduha (idealan
barometar), gde je paps=0.
Tečnost je najčešće živa, zbog
 i malog pritiska živine pare
(Toričelijev eksperiment)
OTVOREN SUD SA JEDNOM TEČNOŠĆU
2
•izabere se referentna nulta kota z=0
•na slobodnoj površini tečnosti se uvek nalazi  kota
•hidrostatički pritisak u bilo kojoj tački tečnosti može se
izračunati primenom osnovne jednačine hidrostatike   p  z
 g
U praksi se najčešće teži da se izbegne korišćenje pojma
apsolutni pritisak zbog toga što atmosferski pritisak varira
od mesta do mesta (najveći je na nivou mora i opada sa
nadmorskom visinom) ali da čak i za istu lokaciju varira u
zavisnosti od vremenskih prilika.
Zbog toga u inženjerskoj praksi pri rešavanju praktičnih
problema najčešće uzima u obzir samo hidrostatički
pritisak dok se uticaj atmosferskog pritiska zanemaruje.
Ako je ipak neophodno da se i atmosferski pritisak uzme
u obzir onda se pretpostavlja da je on približno jednak
pritisku koji stvara stub vode visine 10m:
patm /=10 mvs
patm = 10 9,81 kN/m3 =98,1kPa  100kPa
Tečnost u zatvorenom sudu u kome je pumpanjem stvoren nadpritisak u odnosu na atmosferski pritisak
PIJEZOMETARSKA KOTA JE
HORIZONTALNA RAVAN GDE JE PRITISAK
(HIDROSTATIČKI) = 0,
A TO JE I SLOBODNA POVRŠINA
TEČNOSTI.
POVRŠINA TEČNOSTI NE MORA DA BUDE
UJEDNO
KOTA!!!!!
• izabere IsePIJEZOMETARSKA
nulta kota z=0
3
• zanemaruje se gustina vazduha, pa je pritisak u vazduhu
konstantan. Pritisak na kontaktu između vazduha i tečnosti jednak
je pritisku u bilo kojoj tački u vazduhu: pA=pvaz
p


z
• na osnovu poznatog pritiska u tački A računa
 g
se  kota za tečnost;
paps = patm + p
patm 100 k Pa
Da li apsolutni (barometarski) pritisak može biti
negativan?
Da li pritisak (hidrostatički pritisak) može biti negativan?
Koliki može biti podpritisak maksimalno teorijski?
Merenje pritiska
Za merenje pritiska u fluidu koriste se direktne i indirektne
metode.
1) Pijezometri
Korišćenje pijezometara predstavlja najstariji i najjednostavniji metod za merenje pritiska.
Pijezometar je cev koja je jednim krajem povezana sa
sudom u kome se želi izmeriti pritisak a na drugom
kraju je otvorena ka atmosferi:
• cev kroz koju protiče fluid
• rezervoar za naftu
• pijezometri se izuzetno mnogo koriste za
merenje nivoa podzemnih voda
Ukoliko je potrebno meriti pritisak u sudovima pod pritiskom primena pijezometra nije praktična jer bi zahtevala
izuzetno dugačke cevi:
Predpostavimo da se u nekom cevovodu nalazi voda pod
pritiskom p=300kPa. Kolika je visina pritiska, odnosno
koliko je potrebna da bude dugačka pijezometarska cev?
zc=0

pC
 g
o
C
z=0
p
300

z
m  30,58m
 g
9,81
Dužina pijezometarske cevi
trebalo bi da bude oko 30m.
2)Manometri
Da bi se proširio opseg merenja pritiska pomoću pijezometara razvijen je poseban merni uređaj: manometar.
Manometar meri razliku pritisaka između dve tačke.
Prvi princip: U osnovi manometra je pijezometarska cev
koja ima krivinu u obliku latiničnog slova U.
U toj krivini se nalazi fluid sa većom gustinom od gustine
vode (najčešće živa čija gustina je 13,6 puta veća od
gustine vode)
Drugi princip se zasniva na merenju sile ili deformacije
elastične membrane koja je u kontaktu sa mernim
fluidom, pri čemu sam način merenja može biti mehanički
, električni ili čak optički.
Burdonov
manometar
membranski
manometar

pA=0
pB

oA
=hB
H
oB
zB
hB
z=0
H
pB=(-zB)=hB
Hidrostatički pritisak u nekoj tački proporcionalan je dubini
vode u toj tački. Koeficijent proporcionalnosti je specifična
težina tečnosti  (=g).