Slide 1

PRIMJENA PITAGORINA
POUČKA - KVADRAT
Prezentaciju izradila:
Melita Mesarić, učiteljica matematike
Osnovna škola Svibovec


Slide 2

Primjena Pitagorina poučka
na kvadrat
• nacrtajmo dijagonalu
kvadrata

a

a
a

a

dobili smo dva
pravokutna trokuta


Slide 3

- odaberimo jedan pravokutni
trokut i primijenimo na
njega Pitagorin poučak

a a d
2

2

2a  d
2

katete
hipotenuza

2
2

d  2a
2

2

d 

2 a

d a 2

/


Slide 4

PRIMJERI
• 1. Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata čija je
stranica duga:
a) a  3 cm
b) a  2 3 m
c) a  5 6 dm
d?

d a

d ?

d ?
2

d  3 2 cm

d a

2

d  2 3 2
d2 6 m

d a

2

d5 6 2

d  5 12
4·3

d) a  7 2 m
d ?

d a

2

d  52 3

d  7 2 Iz 122 možemo djelomično izvaditi korijen!
d  10 3 m
d  72
d  14 m


Slide 5

• 2. Izračunaj opseg i površinu kvadrata s
dijagonalom duljine:
a) 5 cm

Prvo koristeći dijagonalu
Sad možemo izračunati opseg...
izračunajmo duljinu stranice kvadrata...
I na kraju, površina...

d  5 cm
o, P  ?

P a

d a

2

5a

2

a
a 

2
a 

5 2
2

5 2
P
 2

2
5
2
Budući da
o želimo
4  izračunati a, 25  2
zamijenimo strane
P
2 1
: (da
2
4
Sadnam
nama na
lijevoj
strani strani)...
smeta onaj
bude
na lijevoj
50 25
Riješimoo ga
 1se...
0 2 cm
2
P
42

o  4a

2 5
5

2

/



2

P

cm






2

2 .

Kratimo...

25

Trebamo racionalizirati nazivnik...
2
P  12

1
2

cm

2


Slide 6

• 2. Izračunaj opseg i površinu kvadrata s
dijagonalom duljine:
b)

d 

Prvo izračunajmo stranicu kvadrata,
koristeći
dijagonalu...
Sada
možemo izračunati opseg...
I na kraju površinu...

48 dm

o, P  ?

o  4a

da 2

o  42 6

48  a 2
a 2 

48

a 

24

a

46

o  8 6 dm

/:

a  2 6 dm

Pa

2



2



P  24 dm

2

P 2 6
P  46

2
Djelomično korjenujemo...

Zadatak je riješen !


Slide 7

• 3. Izračunaj dijagonalu kvadrata ako je zadano:
a)
Zadan je opseg. Što možemo izračunati iz njega?
o  12

2 cm

(sjeti se formule za opseg)
Sad kad znamo a, možemo izračunati i d...
Formula je o=4a, pa iz opsega možemo izračunati
stranicu a.
d a 2

d ?

o  4a
12 2  4a
4 a= 1 2 2

/

a  3 2 cm

Budući da želimo izračunati a,
d 3 2 2
zamijenimo strane
:(da
4 nam
Sad
nam
na lijevoj
strani smeta broj 4.
a bude
d  na
3  2lijevoj strani)...

Riješimo ga se...
d  6 cm

Time je zadatak
riješen !


Slide 8

• 3. Izračunaj dijagonalu kvadrata ako je zadano:
Zadana je površina. Što možemo izračunati iz nje?
(sjeti se formule za površinu)

b) P  27 cm 2
d?

Pa

2

27  a

2

Sadjemožemo
dijagonalu...
Formula
P=a2, paizračunati
iz površine
možemo izračunati
stranicu a.

d a

a  27
2

a 

/

2

 3 izračunati
3  2 a,
Budući da dželimo
zamijenimo strane
(da Što
namsad
adbude
 3na 6lijevoj
cm strani)...
trebamo
napraviti
da bismo dobili a?

27

Djelomično
a  9  3korjenujemo...

a  3 3 cm

Zadatak je riješen !


Slide 9

OPISANA I UPISANA KRUŽNICA
KVADRATU
UPISANA KRUŽNICA

R 

d

r – polumjer upisane kružnice

2

r

r

a

o  2r 

2
r

Pr 
2

OPISANA KRUŽNICA

r 

a
2

R – polumjer opisane kružnice

R 

d

o  2R 

2

P R 
2


Slide 10

•

Primjer 1. Izračunaj opseg i površinu opisanog i upisanog kruga

kvadratu stranice duljine 8 cm.
a  8 cm

r

a

Sada omožemo
opseg kružnice...
.2
 2rpolumjer
πizračunati
upisane
Izračunajmo
prvo
upisane
Izračunajmo
i površinu...

2
8

o upisane  2  4  π

o opisane , Popisane  ?

r

o upisane, P upisane  ?

2
r  4 cm

P upisane  r π

Pupisane  4 π
2

o upisane  8π cm

Pupisane  16 π cm

2

Da bismo izračunali polumjer opisane kružnice, prvo moramo izračunati
dijagonalu kvadrata...
... pa opseg...
...i na kraju površinu.
d
da 2

d  8 2 cm

R 

2

R 

8 2

2
Sada možemo izračunati polumjer...
R  4 2 cm

o opisane  2R π
o opisane  2  4 2 π
o opisane  8 2 π cm

Popisane  R π
2



Popisane  4 2

π
2

Popisane  32 π cm

Riješili smo i ovaj zadatak !

2


Slide 11

• Primjer 2. Površina kvadratu opisanog kruga iznosi 81 cm2.
Izračunaj duljinu dijagonale, stranice, opseg i površinu kvadrata.
Popisani  81  cm
d, o, a, P  ?

2

Sada iz dijagonale izračunajmo stranicu
Opseg kvadrata...
kvadrata...
d a 2
o  4a
18  a

o  4 9 2

2

Prvo izračunajmo polumjer
kruga.polumjera opisanog kruga
Pomoću
o  36 2 cm
d
a 2  18
: 2
2
izračunajmo
dijagonalu...
R 
PR π
2
I na kraju površina.
18
2
2
a 

2
81   R π
P

a
Budući dadželimo izračunati R,
2
2
2
9
2
zamijenimo
strane
P

9
2
2
Racionaliziramo nazivnik...
R π  81  /:  (da nam R2bude na lijevoj strani)...
18 2
Sad nam
na lijevoj strania smeta
broj  .

18  d
P  81  2
2
2
Riješimo
ga
se...
R  81

/



/

/

R  9 cm

d  1 8 cm

a  9 2 cm



P  162 cm

2

Riješen je i ovaj zadatak !


Slide 12


Slide 13

Autorica prezentacije:

Melita Mesarić
Uz dopuštenje autorice unijela izmjene:
Antonija Horvatek

Matematika na dlanu

http://www.antonija-horvatek.from.hr/

Najtoplije zahvaljujem autorici na dopuštenju da ovu
prezentaciju stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek