Transcript Fibonacijev niz

• Fibonačijev niz sačinjavaju sledeći brojevi
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
pri čemu su prva dva člana niza 0 i 1, a svaki
sledeći predstavlja zbir prethodna dva, pa se
može predstaviti i funkcijom.
f0 = 0;
f1 = 1;
fn = fn-1 + fn-2 ; n ≥ 2
• Takođe, postoji i druga varijanta ovog niza, gde
je on predstavljen bez nule ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...),
ali je sam niz nepromenjen, jer nula ne utiče
na niz, već samo predstavlja početni član.
• Fibonačijev niz se osim brojevima može
prikazati i putem serije pravougaonika, kao i
spiralom koju možemo nacrtati koristeći te
pravougaonike, i u tom obiku se najčešće
pojavljuje u prirodi kao umetnosti.
• Ovi pravougaonici se prave na sledeći način:
• nacrtaju se 2 mala kvadrata od kojih je svaki 1 jedinica mere puta 1
jed. mere, pa zajedno oni čine pravougaonik veličine 1X2.
• Ispod ovog pravougaonika se nacrta kvadrat veličine 2X2, zajedno
oni ce stvoriti kvadrat veličine 2X3.
• Zatim se nacrta novi kvadrat veličine 3X3, cija ce jedna strana biti
istovremeno i desna strana prethodnog pravougaonika. Ovim smo
dobili pravougaonik veličine 3X5.Onda se nacrta novi kvadrat
veličine 5X5 cija ce jedna strana biti istovremeno i gornja strana
prethodnog kvadrata. Dobili smo kvadrat veličine 5X8. Da bi dobili
spiralu ucrtaćemo četvrtinu kruga u svaki od kvadrata počinjuci od
prvog. Spirala je slična onima kakve se mogu zapaziti na ljušturama
mekušaca, uključujući puževe i školjke Nautilusa.
• Pored osobine svakog člana (da je zbir
prethodna dva), u Fibonačijevom nizu se može
uočiti i ponavljanje :
• Ukoliko posmatramo poslednje cifre
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...
• Uočava se niz koji se ponavlja u beskonačnost, a ciklus
traje 60 brojeva
• Isto je i za poslednje dve cifre svakog broja, samo ciklus
traje 300 brojeva, ako uzmemo tri poslednje cifre,
trajaće 1.500 brojeva, sa četiri cifre 15.000 brojeva, a sa
pet 150.000 brojeva, itd...
Istorija
Puno ime ovog italijanskog matematičara je
Leonardo Pizano Fibonači poznat i kao
Leonardo iz Pize.
 Ponekad sebe nazivao imenom Bigollo, što
znaci dobar za ništa (ljenjivac) ili putnik.
 Rođen u Italiji, ali se obrazovao u Severnoj Africi.
 Živeo je u mediteranskom gradu Bužiju, gde
je podučavao matematiku.
 Dosta je putovao sa svojim ocem te tako
prepoznao ogromne prednosti decimalnog
brojnog sisetma koji se tad u svakodnevnom
životu koristio u islamskim zemljama.

 Fibonači je završio svoja putovanja oko
1200 godine i u to vreme se vratio u Pizu.
 Tu je napisao važne tekstove koji su igrali
bitnu ulogu u oživljavanju drevnih
matematičkih veština i u tome je njegov
veliki doprinos.
 Živeo je u doba pre nego se pojavila
Gutenbergova štamparska mašina, tako da
su njegove knjige rukom pisane i jedini
način da postoji kopija njegove knjige je da
postoji već jedna knjiga prethodno rukom
napisana.
 Od njegovih mnogobrojnih knjiga do danas
su sačuvane:
"Liber abaci” (1202)
"Practica geometriae” (1220)
"Flos” (1225)
"Liber quadratorum”
 Postoji mišljenje da se Fibonačijev rad u
vreme kada je Evropa bila poprilično
nezainteresovana za obrazovanje uveliko
ignorisao.
 Ova konstatacija ipak ne stoji jer je upravo
veliki interes za njegov rad jako doprineo
njegovoj važnosti i popularnosti.
U to vreme, rimski imperator je bio
Frederick II koji je postao svestan
važnosti Fibonačijevog rada, te je stoga
izgradio Univerzitet u Napulju 1224.
godine.
 Posle 1228 godine postoji samo jedan
poznat dokument koji se odnosi na
Fibonačija a to je odlika koju je izdala
Republika Piza 1240. u kojoj se plata
dodjeljuje: “Ozbiljnom i učenom učitelju
Leonardo Bigollo”.

 "Liber
abaci", objavljena 1202 godine, nakon
Fibonačijevog povratka u Italiju, i
posvećena Scotusu.
 Knjiga razmatra aritmetiku i algebru koje
je Fibonači skupio tokom putovanja
islamskim svetom.
 "Practica geometriae" je napisana 1220 i
posvećena je Dominicusu Hispanusu.
 Knjiga sadrži veliku kolekciju geometrijskih
problema raspoređenih u osam poglavlja sa
teoremama iz Euklidovih knjiga.
 "Liber
quadratorum", napisan 1225
godine, je Fibonačijev najimpresivniji
rad iako to nije rad po kojem je poznat.
 Naziv knjige znači knjiga o kvadratima i
razmatra oblast teorije brojeva.
 Knjiga "Liber quadratorum" Fibonačija
postavlja kao matematičara koji je dao
glavni doprinos teoriji brojeva u vremenu
od Diophantusa do francuskog
matematičara Pierre de Fermata u 17tom veku.
Fibonačijev niz
zanimljivosti
• Zbog zanimljivih osobina Fibonačijevog niza,
pominje se u mnogim filmovima i serijama,
poput filmova “Pi” (1998.), “Da Vinčijev kod”
(2006.), i serija “Brojevi,” “Zločinački umovi” i
drugih
• Takođe je primenjen i u muzici, u nekim
pesmama se pominju brojevi niza, u drugim
predstavljaju taktove ili stihove, pa i same
note, i pojavljuje se u svim žanrovima, od
klasične muzike pa do repa i hip-hopa.
• Još jednu primenu Fibonačijev niz je našao u kockanju,
naročito na ruletu.
• To je Fibonačijev sistem, i zasniva se na verovatnoći:
– Fibonačijevi brojevi ovde predstavljaju niz poteza,
označavajući veličinu uloga – 1x; 1x; 2x; 3x; 5x; 8x; 13x;
21x; ... Itd.
– Dakle, prvi ulog je jedna jedinica uloga, kao i sledeći. Zato
je treći ulog (ukoliko prvi ili drugi ne budu pobednički) 2x,
ukoliko ne dođe, 3x, i tako se ulog povećava prateći niz.
Svakim potezom koji nije dobitan, verovatnoća se povećava
da je naredni dobitan, a Fibonačijev niz u ulogu omogućava
dobitak.
– Pri prvom dobitnom potezu, ulog se ne vraća na početak
niza ( 1x ), već samo za dva člana unazad – ukoliko je bio
13x, sledeći iznosi 5x, i niz se nastavlja.
• Jedan deo numerologije zasnovan je na
Fibonačijevom nizu, zbog njegove povezanosti sa
prirodom:
– suncokret – njegova glava ima 55 redova semenki koje
se okreću u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na
časovniku i 89 redova semenki koje se okreću u smeru
kretanja kazaljki casovnika
– borove šišarke – imaju 5 strmih i 8 postepenih spirala
– ananas – ima 8 i 13 postepenih spirala i 21 strmu
spiralu
– imamo Fibonačijeve prste – 2 ruke na svakoj po 5
prstiju savi prst ima tri falange spojene sa dva zgloba
– klavijatura na klaviru ima 13 dirki obuhvata oktavu od
toga je 8 belih i pet crnih koje su dalje podeljene u
grupe od 2 i 3 dirke
• U prirodi se mogu naći brojni drugi
matematički sklopovi a feng šui jeste
sistem matematičkih sklopova u prirodi čija
četiri osnovna principa odgovaraju
brojevima Fibonaćijevog niza:
•
•
•
•
•
(1). Taiđi
(2). jin i jang
(3). Či (nebeski, zemaljski, ljudski)
(5). Pet faza i
(8). Osam trigrama
Zlatni presek u arhitekturi
Proporcionalnost u arhitekturi
• Jos od stare Grcke poznajemo geslo ``covek je
merilo stvari`` sto treba prihvatiti na 2 nivoa:
• Prvo, arhitektura ima uvek utilitarno svojstvo--njena funkcija odredjuje njen oblik i mere.
• Primer - to znaci da vrata moraju odgovarati
prosecnoj visini osobe koja ce ta vrata koristiti,
odnosno prolaziti kroz njih.
•
Zlebovi na stubovima grckih hramova, kanelure,
imaju sirinu ljudskih ledja, kako bi se osobe
koje se okupljaju ispred hrama mogle na njih
nasloniti i odmoriti.
• Drugo, u projektovanju zgrada koriste se razmeri
ljudskih proporcija, cime se stvara osecaj sklada i
prihvatanja od strane gledaoca, koji na nesvesnom
nivou u odnosima arhitektonskih elemenata
prepoznaje odnose vlastitog tela. Ceo stub se, npr.
odnosom kapitela i tela stuba odnosi kao ljudska
glava prema telu, a razmak izmedju stubova
razmeran je rasponu koraka coveka. Posebno je
vazno i ovo: rec RAZMER na latinskom se zvala
PROPORCIJA, a na grckom ANALOGIJA
• Pitagora, je prema prici prolazeci pored kovacnice cuo zvuke
udaranja cekica o nakovanj u oktavama. Usavsi, video je
kako su cekici napravljeni u razmeri 1:2, jedan je dvostruko
veci od drugog. Time se stvorio, analogan proporcionalan
odnos. Manji cekic prema vecem kao nota C prema noti C1!
•
Ta spoznaja omogucila mu je istrazivanje skrivenih odnosa
medju stvarima koje je poceo svuda pronalaziti. Stoga je za
univerzum skovao naziv kosmos, uredjen i suprotan od
haosa. Iz ovih razmisljanja pojavljuju se reci struktura,
nadredjeni red i korelacija- slicnost... kad jedno na drugo lici,
po istim nacelima, dakle, ne po temi nego po sadrzaju.
• Primer imamo, kod skolske nastave, otkrivanjem sakrivanih
relacija ucenik i student ne usvaja samo znanje vec i
odusevljenje u posmatranju i istrazivanju.
• Stari Grci su znali za postojanje pravougaonika cije su strane u
zlatnoj proporciji (1: 1.618 sto je isto kao i 0.618: 1).
Akropolj ,u centru Atine ,je izdan od stene koja dominira drevnim gradom.Njegov najpoznatiji
spomenik je Partenon,hram boginje Atine izgradjen oko 430. ili 440. godine pre n ove ere.
Cini se da je gradjen na dizajnu zlatnog pravougaonika i korenu-5 pravougaonika.
Upotreba zlatnog preseka je pocela
mozda jos sa Egipcanima u dizajnu
piramida.Kada se osnovni odnosi Pi
koriste za kreiranje pravouglog
trougla,formiraju se dimenzije Velike
piramide u Egiptu.
Nema pisanih tragova da su
stari Egipćani znali za
Zlatni presek, ali je
činjenica da se u
izgrađenim piramidama
jasno prepoznaju elementi
Zlatnog preseka.
– Renesansni
umetnici iz 1500.
godine u vreme
Leonarda Da
Vincija su ga
znali kao
Bozanske
proporcije.U
Indiji je koriscen
u izgradnji Tadz
Mahala,koja je
zavrsena 1648.
godine.
• Geometrijska analiza
dosadasnjih istrazivanja u
Velikoj dzamiji Kajruan
otkriva doslednu primenu
zlatog odnosa tokom
projektovanja.
• Notr Dam u Parizu,koja je sagradjena izmedju 1163. i 1250.
godine ima zlatne proporcije u nekoliko kljucnih odnosa
dizajna.
• Njegova upotreba se
nastavlja u savremenoj
arhitekturi,sto je
ilustrovano u zgradi
Ujedinjenih nacija.
• Zgrada
Ujedinjenih
nacija u
Njujorku.
Centralni toranj u Torontu je
najvisi toranj I samostalna
struktura u svetu,sadrzi
zlatni presek u svom
dizajnu.Odnos vidikovca na
342 metra na visini od
553,33 ukupno je 0.618.
• Fakultet
tehnickih nauka u
Kaliforniji na
Politehnickom
drzavnom
univerzitetu je
organizovan na
principu zlatnog
preseka.
 Video snimak o prirodi kroz brojeve
: