Transcript 1. Златни пресек


Posmatrajući oblike u prirodi, čovek je od
davnina shvatio da, kako u biljnom tako i u
životinjskom svetu, postoje određeni pravilni
odnosi delova i sklad oblika i da se oni nalaze,
kako se smatralo, u prirodom, odnosno Bogom
danom savršenom – idealnom odnosu i
proporcijama, koji su zbog toga nazvani
Božanski.

Zlatni (božanski) presek je odnos veličina gde
se manji deo odnosi prema većem, kao veći
prema celini, ili obrnuto gde se veći deo odnosi
prema manjem kao i celina prema većem delu.

Zlatni presek se može matematički izraziti kao:
Ako je a= 1.0 onda je b=0.618 tj. a+b= 1.618


Rezultat ove proporcije je zlatni broj fi - phi
(zlatna sredina ili zlatni presek) tako nazvan
po grčkom vajaru i arhitekti Fidiji (Phidia).
Njegova numerička vrednost približno iznosi
ϕ=1.6180339887499…ili zaokruženo 1,618.
To znači da je odnos majora (većeg dela)
prema minoru (manjem delu) približno 1,618 i
obrnuto odnos minora prema majoru 0,618.
Italijanski matematičar Fibonači je još u XIII veku utvrdio da je u
nizu brojeva (koji je po njemu i dobio ime)
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,….
- svaki broj iz niza jednak zbiru dva prethodna broja: 0+1=1,
1+1=2, 1+2=3, 2+3=5. 3+5=8... , kao i
- da, ako svaki broj iz niza podelimo sa svojim prethodnikom
dobićemo sledeće količnike:
2/1
=
2
3/2
=
1.5
5/3
=
1.666…
8/5
=
1.6
13/8
=
1.625
21/13
=
1.6153846…
34/21
=
1.61904...
Može se uočiti da je, sem za nekoliko prvih brojeva, količnik
konstantan i da oscilira oko 1,6.... Za odnos brojeva 89:55
= 1.6180339887498948482045 ili zaokruženo
= 1,618

Ako se odstrani kvadrat iz kojeg je nastao
Zlatni pravougaonik, pravougaonik koji ostane
takođe će biti Zlatni pravougaonik.

Konstrukcija Zlatne spirale

Odnos Zlatne spirale i Zlatnog pravougaonika:
Zlatna spirala je upisana u Zlatnom
pravougaoniku.

Zasnovana je na Fibonačijevom nizu brojeva i
čest je oblik u prirodi (puževi, raspored
semenki kod biljaka...).




Proporcionalnost je od izuzetne važnosti pri
konstruisanju kompozicija u slikarstvu.
Slikari koriste formate - površine čije dimenzije ne
moraju biti u odnosu zlatnog preseka, već mogu imati
različite širine i dužine.
Svaka površina kao celina se može podeliti na dve manje
površine koje se nalaze u zlatnom preseku.
Teorija, praksa i eksperimenti su dokazali, ako se
slikarsko platno kao celina vizuelno podeli na manje
površine koje se nalaze u zlatnom preseku, da je položaj
gde se seku dva zlatna preseka idealan i estetski
najbolji položaj objekta na slici, nezavisno od oblika formata slike i broja objekata na njoj.

Od Renesanse i povratka prirodi brojni
umetnici su u svojim delima koristili Zlatni
presek: Mikelanđelo, Rafael, Rembrant, Sera,
Dali, Mondrian...

Leonardo da Vinči, Mona Liza

Leonardo da Vinči, Tajna večera

Pietro Vannuci: Predaja ključeva

Žorž Sera, Kupanje u Anijeru

Pit Mondrian, Crveno, žuto, plavo

Salvador Dali, Sveta tajna poslednje večere

Nema pisanih tragova da su stari Egipćani
znali za Zlatni presek, ali je činjenica da se u
izgrađenim piramidama jasno prepoznaju
elementi Zlatnog preseka.

Zlatni presek su stari Grci masovno koristili u
arhitekturi i pri izgradnji najlepših grčkih
hramova, posebno dorskih, kao što to pokazuje
Partenon na Akropolju.

Partenon

Srednjovekovne građevine poštovale su Zlatni
presek - Katedrala Notr Dam u Parizu.

Savremena arhitektura takođe je u znaku
Zlatnog preseka - Zgrada UN u Njujorku
Zlatni presek se u prirodi nalazi svuda od
mikro do makro sveta…
Zlatni presek i Fibonačijevi brojevi pojavljuju se na mnogo mesta u prirodi,
a brojne studije potvrđuju njihovu učestalost. U svetu prirode, rast znači
dodavanje određene količine jedinki već postojećima, makar te jedinke bile
sitne poput molekula. Čini se da je upravo F idealna mera za rast takve
vrste. Dobar je primer za to prelepa kućica puža iz roda Nautilus. Ona
raste u obliku spirale koja se u svakom krugu povećava srazmerno broju F.
Grananje kao još jedan oblik prirodnog rasta odvija se prema
Fibonačijevom nizu brojeva.
Logaritamska spirala, otkrivena u položaju koji ljudski i životinjski fetus
zauzima u posteljici, pristuna je i u modelu rasta mnogih biljaka.
Broj spirala koje se razvijaju u pravcu
kazaljki na casovniku i broj onih koje se razvijaju u
suprotnom pravcu su uvek dva uzastopna clana
Fibonacijevog niza
Kako bi izgedao suncokret da je odnos Broj Pi i broj e a kako zapravo
izgleda…

Zanimljiv primer Fibonačijevog niza u prirodi možemo pronaći
kod pčela. Kod njih je jedinstveno da trutovi nastaju iz matičnih
neoplođenih jajašaca, tako da imaju samo majku, dok ženske
radilice imaju i majku i oca. Ali kod jednih i kod drugih, ukupan
broj pčela svage generacije sledi Fibonačijev niz brojeva.

Zlatni presek, vezano uz njegovo pojavljivanje kod pentagrama,
možemo pronaći kod svakog cveta sa pet latica. Porodice ruža, kao
i cvetovi svih jestivih voćaka, imaju pet latica, ili broj latica koji je
dobijen množenjem broja pet sa samim sobom više puta.

Tradicionalna medicina smatra da kroz taj broj biljke daju
čoveku signal da su jestive.





Ljudi su od uvek pokušavali da utvrde odnose delova
tela.
Stari Egipćani su koristili širinu dlana kao mernu
jedinicu za prikazivanje proporcija ljudskog tela
Telo sadrži ukupno 24 dlana.
Glava sadrži 3 dlana.
Do polovine tela je ukupno 12 dlanova itd.

Traganje za savršenim proporcijama dovelo je
umetnike stare Grčke do uspostavljanja
kanona, odnosno modula osnovnih mera
proporcionalnih pravila za prikaz idealnih
mera ljudskog tela.

Antički Grci su koristili odnos veličine glave i
tela. Polikletov kopljonoša imao je 7 glava.
Posejdon ili Zevs

Najpoznatije proporcionalno obeležavanje
čoveka izvedeno je na crtežu italijanskog
slikara, skulptora i istraživača Leonarda da
Vinčija (1452 – 1519.). Na tom crtežu
ljudsko telo je ucrtano u kružnicu i kvadrat.
Visina čoveka jednaka je šrini rastvorenih
ruku. Postavljanjem ruku i nogu u
dijagonalu čovek postaje centar kružnice.
Međutim, do tih zaključaka Leonardo nije
sam došao.

Leonardo da Vinči
I na crtama lica je prisutan zlatni presek
Slozena sema odnosa raznih delova u crtama lica kod koje je
zadovoljen zlatni presek bi izgledao ovako:
Ne iznenadjuje da sto se osoba smatra lepsom to je na njenom licu vise zastupljen
Zlatni presek. Takve modele nalazimo u istoriji ali i u savremenm dobu
Nefertiti
Desno je lice na kojem je poremecen odnos zlatnog preseka, oci i usta
pomerena nize…

















Ako visinu ljudskog tela (M) uporedimo sa udaljenošću između pupka i stopala (m)
dobićemo odnos 1,618. Istu proporciju u prosečnom ljudskom telu ima i:
Udaljenost između vrha prsta i lakta / udaljenost izmeđe ručnog zgloba i lakta,
Udaljenost između linije ramena i vrha glave / dužina glave,
Udaljenost između pupka i vrha glave / udaljenost između linije ramena i vrha glave,
Udaljenost između pupka i kolena / udaljenost između kolena i kraja stopala.
Na licu:
Udaljenost između usana i mesta gde se obrve sastaju / dužina nosa,
Dužina lica / udaljenost između vrha vilice i mesta gde se obrve sastaju,
Dužina usta / širina nosa,
Širina nosa / udaljenost između nozdrva,
Udaljenost između zenica / udaljenost između obrva.
Na ruci:
Odnos šake / prsti
Srednji prst / mali prst,
Puna dužina prsta / dva dela prsta (osim palca koji ima samo dva dela).
Na nozi:
Odnos butine / potkolenice i dr.
Antonio Stradivari (1644 - 1737) koristio je zlatni presek pri
izradi svojih gudačkih instrumenata, čiji se savršeni zvuk i
danas proučava.
Ruski kompozitor Sebanev se posebno bavio tim pitanjem - pitanjem zlatnog
presjeka u muzici. Analizirao je ogroman broj kompozicija raznih kompozitora. Po
njegovom mišljenju, kvantitet i učestalost zlatnog presjeka zavisi od „ranga
kompozitora“. Genijalna djela velikih kompozitora razlikuju se po najvišem
procentu zastupljenosti zlatnog presjeka, kako on to kaže: „Intuicija forme i
rasporeda, kao što se i očekuje, je najjača kod prvoklasnih genija“. Posmatrajući
ovu pojavu u kompozicijama, shvatio je da je to obično neki poseban muzički
trenutak, kvantitivni skok u razvoju muzičke teme. Od 1770 kompozicija 42
kompozitora, zlatni presjek se javlja 3275 puta, čak se jedna ista varijanta zlatnog
presjeka javlja u 1338 muzičkih kompozicijâ!
Najveći broj muzičkih kompozicija baziranih na zlatnom presjeku nalazi se kod
sljedećih kompozitora (po Sebanevu): Arsenski (95%), Betoven (97%), Hajdn
(97%), Mocart (91%), Skrjabin (90%), Šopen (92%), Šubert (91%). Svih 27
Šopenovih etida, Sebanev je proučavao do najsitnijih detalja. U njima su otkrivena
154 zlatna reza koji nedostaje u svega 3 etide."
Kraj…