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Cours de Mécanique des fluides
Pertes et gains de
charge
Olivier LOUISNARD
Objectif
• Comprendre l’origine et quantifier les pertes d’énergie
dans un écoulement en tuyauterie
• Quantifier les échanges entre le fluide et des machines tournantes
réceptrices (turbines, éoliennes)
génératrices (pompes)
On va utiliser un outil simple :
Formule de Bernoulli généralisée
Plan du cours
Parenthèse : rappel de la conservation de l’énergie pour un fluide
Premier principe en système ouvert
Théorème de l’énergie cinétique pour un fluide.
Application à une tuyauterie en présence d’une machine
Cas du fluide incompressible : formule de Bernoulli généralisée
Pertes de charge
Linéique (le long d’un tube)
Singulière (dans un accident géométrique)
Gain de charge
Pompe
Rappel: conservation de l’énergie
n
S
v
V
dS
n
v
Variation d’énergie totale
du fluide
dans le volume V
Energie totale transportée
par le fluide
rentrante - sortante
+
Puissance du
poids
Puissance des
forces de
pression
Puissance des
frottements
visqueux
Application: tuyauterie + machine
Se
n
v
V
Su
Rappel :
Ss
n
v
(admis, cf. cours 7)
(démontré dans le poly)
Premier principe en système ouvert
Se
n
v
V Su
Ss
On obtient :
n
v
Soit en utilisant la définition de l’enthalpie :
C’est le premier principe de la thermo en système ouvert !
• Il fait intervenir la puissance des forces extérieures (Se + Ss + Su)
• Attention : enthalpie car on a séparé les puissances de forces de pression
sur Se et Ss de celles sur Su
• Il ne dit rien sur les pertes par frottement au coeur du fluide
(= puissances de forces intérieures)
Théorème de l’énergie cinétique
Le premier principe dit que :
Le théorème de l’En. Cin. dit que :
Variation d’énergie cinétique
du fluide
dans le volume V
Energie cinétique transportée
par le fluide
rentrante - sortante
Puissance du
poids
Lié à la compressibilité
> 0 si détente
< 0 si compression
nul en incompressible
Puissance des forces Puissance des frottements
de pression externes
visqueux externes
Puissance des forces
de pression internes
Puissance des frottements
visqueux internes
Fonction de
dissipation
Fv toujours > 0
Application: tuyauterie + machine
Se
n
v
V
Su
Ss
n
v
Variation énergie
cinétique
+ potentielle de
pesanteur
Débit d’énergie
mécanique entrant
Débit d’énergie
mécanique sortant
Opposé de l’énergie
potentielle
de compression
Puissance fournie (>0)
ou cédée (<0)
par la machine
Puissance perdue
par frottement
visqueux > 0
Formule de Bernoulli généralisée
On suppose de plus :
• fluide incompressible :
• on moyenne sur un cycle de la machine
=> régime périodique = « pseudo-permanent »
Charge à la sortie
Perte de charge
Gain prélévé (<0)
=
Charge à l’entrée
ou cédé (>0) par Puissance perdue
la machine
par frottement
visqueux
Remarque : c’est une généralisation de la formule de Bernoulli
Formule de Bernoulli généralisée
Charge à
la sortie
Ps
Charge à
l’entrée
Pe
Au lieu de 0
pour Bernoulli
fluide parfait sans machine !
En divisant par rg, on peut reformuler avec la hauteur de charge
Hauteur de
charge à
la sortie
Hs
Hauteur de
charge à
l’entrée
He
>0
<0
>0
On exprime tout en termes de hauteurs. C’est un artifice.
L’écoulement peut très bien être purement horizontal
Pertes de charge linéiques
Dites aussi « régulières » ou « en ligne »
Décrivent la perte d’énergie le long d’un tuyau
v
pe
ps
D
L
En fluide parfait, Bernoulli :
En fluide réel, Bernoulli généralisé :
La pression diminue le long de l’écoulement
Attention : ce n’est pas la vitesse qui diminue ! vS = Cte
Pertes de charge linéiques (suite)
v
pe
ps
D
L
Comment estimer
?
Analyse dimensionnelle :
Ce n’est pas une formule utilitaire
Elle ramène le calcul de hv (hauteur) à celui de f (sans dimension)
f coefficient de perte de charge = f (Re, e/D), e rugosité
en laminaire (Re < 2300)
(on le montrera)
approximatif, en turbulent
précis, en turbulent
e = rugosité (en m)
Diagramme de moody
Donne f ( Re , e/D)
Turbulent
Laminaire
f presque
indépendant de Re
pour Re élevé
f
Transition
laminaire/turbulent
pour Re = 2300
Re
Pertes de charge singulières
Lié à un « accident » sur a tuyauterie
(rétrécissement, coude, robinet ...)
Analyse dimensionnelle :
Ce n’est pas une formule utilitaire
Elle ramène le calcul de hv (hauteur) à celui de ev (sans dimension)
ev dépend :
de Re (peu en turbulent)
de la géométrie de la singularité
Pertes de charge singulières
Référence
vitesse amont
Référence
vitesse aval
Pertes de charge : la bible
Gains de charge : pompes
Une pompe augmente l’énergie mécanique du fluide
D
D
• Dans cet exemple augmente la pression du fluide
• Exactement l’inverse d’une perte de charge
Caractéristique d’une pompe
Attention : la puissance délivrée par une pompe dépend du débit
Dépendance environ
parabolique
(débit nul =>
puissance nulle)
MAIS
Application aux réseaux de fluide
Equation implicite
sur le débit
Application aux réseaux de fluide
Mêmes concepts qu’en électricité :
Lois des mailles (Dcharge <=> DV)
Lois des noeuds (débit = courant)
MAIS
Equations non linéaires
Mêmes problèmes complexes :
Changements de topologie
Théorie des graphes