Transformations de Squire pour un fluide purement visqueux

Ecoulement à surface libre sur plan incliné M.H. ALLOUCHE , V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY, H. BEN HADID, F. ROUSSET* Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique, 1 1

Etude de stabilité

S.Millet

et.al

(2007) 2

3

Plan

I.

II.

III.

IV.

Stabilité d’écoulement de fluide newtonien en canal plan (

Squire H.B 1933

) Stabilité d’écoulement à surface libre de fluide newtonien sur plan incliné

(Yih C.S 1955 et Chang-Demekhin)

Stabilité d’écoulement de fluide purement visqueux en canal plan

(Nouar et.al 2007)

Stabilité d’écoulement à surface libre de fluide purement visqueux sur plan incliné 4

Equation d’Orr-Sommerfeld

• 3 Equations de Navier-Stokes + continuité • [u,p] (x,y,z,t)=champ de base + [u’,p’] (x,y,z,t) => 4 Equations aux perturbations • On élimine p’, u’ et w’ => 1 équation d’ordre 4 en v’ • Perturbations périodiques : • CL en canal plan : non glissement aux parois • CL à surface libre : non glissement au fond + contraintes tangentielles et normales à la SL + condition cinématique 5

Fluide newtonien en canal plan

6

Fluide newtonien en canal plan

Squire H.B. 1933

• Perturbations (Orr-Sommerfeld) : • Relations de Squire : • Théorème de Squire : – Pour étudier les instabilités 3D, il suffit d’étudier les instabilités 2D.

– Les instabilités 2D sont les plus dangereuses.

7

Fluide newtonien sur plan incliné

8

Fluide newtonien sur plan incliné

Chang-Demekhin et Yih C.S.

• Champ de base : • Nombres adimensionnels : 9

Fluide newtonien sur plan incliné

Chang-Demekhin et Yih C.S.

• Eq d’Orr-Sommerfeld identique • CL différentes : 10

11

Fluide purement visqueux en canal plan

12

Fluide purement visqueux en canal plan • Eq d’Orr-Sommerfeld généralisée 3D Avec θ tenant compte de la perturbation de viscosité fluide purement visqueux • Les relations de Squire sont-elles applicables ?

– Terme en Dw : pas de relation de Squire ! – Introduire une équation supplémentaire ?

– Nouar

et.al

(2007) : • Etude numérique 3D  • • En forçant θ=η...

• La viscosité perturbée n’intervient qu’au niveau des contraintes de cisaillement dans le plan (x,y) 13

Fluide purement visqueux sur plan incliné

14

Fluide purement visqueux sur plan incliné • Champ de base Avec • Nombres adimensionnels : 15

Fluide purement visqueux sur plan incliné • Eq d’Orr-Sommerfeld généralisée • CLs avec des perturbations 3D : 16

17

Merci de votre attention

18

Équations aux perturbations :

où  '

xy

 q   

u

' 

y

 

v

' 

x

   Interprétation de q : 

xy

       

U



y

'     

U



y

  ' 

U



y

   

u

' 

y

 

v

' 

x

         

u

' 

y

 

v

' 

x

   '

xy

Fluide non newtonien en canal plan

C.Nouar et al

• Modèle de Carreau • Perturbation de contrainte • Equations aux perturbations 3D 20

Fluide non newtonien en canal plan

C.Nouar et.al 2007

• Sous quelles conditions le théorème de Squire est-il applicable ?

21

22 100 90 80 70

Re cr

60 50 40 30 20 10 0 0 1 Seuil de stabilité (approche Orr Sommerfeld) approche numérique - fluide newtonien approche numérique - fluide rhéofluidifiant approche asymptotique - fluide newtonien approche asymptotique - fluide rhéofluidifiant

Seuils de stabilité selon l’angle d’inclinaison

Re

cr

 5 6 cot  ( Millet

et al.

2007 ) Re

cr

 5 6 cot   71 28 .

3 1 / 3 (

I

 1 )(

n

 1 ) cot 

L

2 

O

(

L

4 ) 2 3 4 5 angle d'inclinaison 6

Angle d’inclinaison

7 8 9 10 – –

L

= 0 dans le cas d’un fluide newtonien

L

= 0.5 dans le cas d’un fluide de Carreau et

I

= 10 -3 ,

n

= 0.5

22 .

 1 

d

 Prise en compte de la perturbation de viscosité.



U



y d

    

u

' 

y

 

Pente de la loi constitutive en échelles log

On peut écrire : avec :  

d

      

U

 

u



y y

'