Transcript Dynamique des fluide parfait

MDF
L3 GMP
M.MALKI
INTRODUCTION
Dans ce chapitre, nous allons étudier les fluides en
mouvement. Contrairement aux solides, les éléments d’un
fluide en mouvement peuvent se déplacer à des vitesses
différentes.
On s’intéresse aux équations fondamentales qui régissent la
dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier :
l’équation de continuité (conservation de la masse),
le théorème de Bernoulli (conservation de l’énergie).
Un écoulement est dit permanent ou stationnaire si le champ
de vitesse ainsi que la pression en chaque point d’un fluide ne
dépendant pas du temps. Donc la vitesse du fluide en un point
donné est la même à chaque instant.
EQUATION DE CONTINUITE
(CONSERVATION DE LA MASSE)
DÉBIT :
qm =  * u* S [Kg/s] =  * V / t [Kg/s]
qv = u* S [m3/s] = V / t [m3/s]
Considérons un tube de courant entre deux sections S1 et S2.
Pendant l'intervalle de temps t, la masse M1 de fluide ayant
traversé la section S1 est la même que la masse M2 ayant
traversé la section S2.
Fluide sortant :
Masse volumique :
2
Masse sortante: M2
M2 = 2 S2 L2
Fluide entrant :
Masse volumique :
1
Masse entrante: M1
M1 = 1 S1 L1
 1 S1 u1 t = 2 S2 u2 t

1 S1 u1 = 2 S2 u2
Pour un fluide incompressible ( = cst)
Donc : qv1 = qv2
S1 u1 = S2 u2
Vitesse Moyenne :
En général la vitesse n'est pas constante sur la section d'un tube (à cause des forces
de frottement).
u 1 S2

u 2 S1
La vitesse moyenne est d’autant plus grande que la section est faible
EQUATION DE BERNOULLI
Pour un fluide Parfait sans échange de travail :
1- BILAN ÉNERGETIQUE :
Dans un fluide l’énergie mécanique se présente sous trois formes :
• L’Energie Potentielle : (on dit aussi de Pesanteur)
Proportionnelle au poids et à l’altitude :
Ep = m g z
[J]
• L’Energie Cinétique : Proportionnelle à la masse et au carré de la vitesse :
Ec = ½ m u²
[J ]
• L’Energie de Pression :
Epr = m P / 
[ J]
La somme des trois formes d’énergie mécanique contenue dans un fluide, en un point
donné, est appelée : La CHARGE de ce fluide
ETOT1 = ETOT2 =
Ec
+
Ep
+
Epr
½ m u1² + m g z1 + m P1/ = ½ m u2² + m g z2 + m P2/
Dans un fluide parfait incompressible, les pertes d’énergies mécanique étant nulles,
l’équation de BERNOULLI traduira la conservation de l’énergie mécanique.
2- BILAN DES PRESSIONS :
P1 + ½  u1² +  g z1 = P2 + ½  u2² +  g z2
• Pression statique :
P+ g z
[N/m²] ou [ J/m3 ]
• Pression dynamique :
Ec = ½  u²
[ J/m3 ]
3- BILAN DES HAUTEURS :
P1 u1 ²
P2 u 2 ²

 z1 

 z2
 .g 2.g
 .g 2.g
• Hauteur Piézométrique :
Z+P/ g
[m]
Le terme altitude : Z et le terme hauteur manométrique : P /  g
• Hauteur Capable (cinétique ou dynamique) :
u² / 2 g
[ m]
APPLICATION DU THEOREME DE BERNOULLI
1- Théorème de Torricelli
Considérons un réservoir muni d’un petit orifice à sa base, de section s.
En appliquant le théorème de Bernoulli entre (1) et (2).
P1 + ½  u1² +  g z1 = P2 + ½  u2² +  g z2
Or P1= P2 = Patm
Et S1>>S2 alors u1<<u2
(équation de continuité) : u1  0
D’où :
2- Tube de Venturi
Son principe repose sur l’effet Venturi, autrement dit sur le fait que la
pression est plus basse la ou la section est plus faible.
- Théorème de Bernoulli :
PA – PB = ½  (uB² – uA²)
- Hydrostatique :
PA – PB =  g h
- Débit :
qv = SA uA = SB uB
h
Ce qui permet d’écrie :
C’est-à-dire :
Le débit est proportionnel à la racine carrée de la hauteur
h
3- Tube de Pitot
Notion de pression d’arrêt
On présence d’un obstacle,
les lignes de courant
contournent l’obstacle, mais il y en a au moins une qui
s’arrête en un point de cet obstacle.
En ce point M appelé point d’arrêt uM = 0
PM = PN + ½  uN² qui représente la pression d’arrêt
Dispositif de Pitot
On considère un liquide en écoulement
dans une canalisation et deux tubes
plongeant dans le liquide, l’un en A
face au courant, et l’autre en B le long des lignes de courant.
D’après le théorème de Bernoulli :
PA = PB + ½  uB²
soit
½  u² =  g h
En mesurant la dénivellation h du liquide dans les deux tubes, on
peut déduire la vitesse u d’écoulement du fluide
EQUATION DE BERNOULLI
Pour un fluide Parfait avec échange de travail :
Jusqu’à présent le système étudié est isolé du milieu
extérieur : il n’existe pas d’échange d’énergie mécanique
entre le système et le milieu extérieur.
Introduisons dans le système une machine permettant les
échanges d’énergie mécanique :
- Machine réceptrice ( ex : turbine)
- Machine génératrice (pompe, ventilateur)
 GAIN D’ENERGIE (POMPE) :
2
h
E1 + Epompe = E2
1
P1 + ½  u1² +  g z1 + Ppompe = P2 + ½  u2² +  g z2
 Puissances et Rendements :
Puissance utile ou hydraulique :
Phyd =  qv Wpompe =  g qv h
Pu
 =
Pabs
; Pu : Puissance utile & Pabs : Puissance absorbée
Pu moteur
Pélec
Pabs pompe
Pu pompe
moteur
pompe
Phyd

Pu moteur
m
=

Pélec

Phyd
g
=
Pélec
Phyd
p
=
Pabs pompe
 PERTE D’ENERGIE (TURBINE) :
1
2
E1 - Eturbine = E2
P1 + ½  u1² +  g z1 - Pturbine = P2 + ½  u2² +  g z2
Pu
 =
Pabs
; Pu : Puissance utile & Pabs : Puissance absorbée