Transcript énoncé

DYNAMIQUE DES FLUIDES
Décollage d’un Airbus A380
a) Calculer sa vitesse au décollage au niveau de la mer, à une température de
20°C, pour une masse de 421 tonnes, une surface portante de 845 m 2 et un
coefficient de portance C z = 1,38 .
Calculer la variation relative de cette vitesse due à une variation d’altitude de
+2250 m (altitude de Mexico).
Calculer la variation relative de cette vitesse due à une variation de
température de +20°C.
Commenter.
b) Le décollage se fait-il face aux vents dominants, avec le vent arrière, ou de
travers ?
Lorsque la vitesse de décollage est atteinte, le pilote actionne la gouverne de profondeur, ce qui provoque la rotation de l’avion
(le nez s’élève). Identifier cette gouverne sur le schéma ci-dessous. À quoi servent les autres parties mobiles (tangage ? lacet ?
roulis ?, tracer les axes de rotation dans chaque cas).
Que se passe-t-il lorsque l’avion entame sa rotation ?
Des éléments hypersustentateurs (becs au bord d’attaque des ailes, ou volets au bord de fuite) peuvent être orientés vers le haut
ou vers le bas. Commenter leur influence lors des phases d’atterrissage et de décollage.
c) La finesse de l’avion est le rapport du coefficient de portance sur celui de
traînée Sa valeur maximale est de 22 pour l’A380. Montrer que c’est le rapport
de la distance horizontale parcourue sur la perte d’altitude lors d’un vol
« plané » (moteurs coupés). Quelle est sa signification dans le digramme
paramétrique donnant C z (i ) et fonction de C x (i ) (polaire d’Eiffel) pour
différentes incidences ?
Le graphe ci-contre représente trois polaires d’Eiffel pour trois nombres de
Reynolds différents. Identifier la courbe correspondant au Re le plus élevé.
réponse : a) v = 276 km.h -1 , altitude :
∆v
∆v
= 13% , température :
= 3,4%
v
v
Écoulements externes
1. Écoulement de Stokes autour d’une sphère
On considère l’écoulement stationnaire incompressible à faible nombre de Reynolds ( Re < 1 ), uniforme à l’infini (vitesse
r
r
u = uez ), autour d’une sphère lisse de rayon R et de centre O. On repère un point M de l’écoulement en coordonnées
sphériques. On néglige l’action de la pesanteur.
a) Simplifier l’expression de la vitesse eulerienne en analysant les symétries du problème. Donner les conditions aux limites du
problème.

 3 R R3 
+ 3
vr = u cos θ 1 −

 2 r 2r 
On montre que le champ de vitesse de l’écoulement est donné par 
 3 R R3 

v
=
−
u
sin
θ
− 3
1 −
 θ
 4 r 4r 

r
b) Calculer la pression p(r , θ) en prenant p → p0 . Calculer la résultante Fp des actions de pression sur la sphère. Comment
r →∞
faudrait-il modifier ce résultat si l’on tenait compte de la pesanteur ?
c) Le fluide exerce également sur un élément de surface d 2 S de la sphère une force visqueuse :
r
r
r
∂v
d 2 Fv = η θ (r = R )d 2 S eθ . Justifier cette expression et calculer Fv .
∂r
d) En déduire le force de traînée exercée par le fluide sur la sphère. Montrer que l’on obtient bien la formule de Stokes
r
r
r
Ft = −6πηRu pour une sphère mobile avec u dans un fluide au repos à l’infini.
r
r
r
3uηR
réponse : b) p(r , θ) = p0 −
cos θ , Fp = 2πuηR e z avec la pesanteur, on a un gradient de p dû à g et il se rajoute la
2
2r
r
r
r
r
poussée d’Archimède. c) Fv = 4πuηR e z d) Ft = 6πuηR e z
2. Chute d’une bille
On laisse chuter sans vitesse initiale une bille de masse m = 0,4 g , de rayon r = 2,5 mm dans de la glycérine de masse
volumique ρ = 1300 kg ⋅ m -3 et de viscosité dynamique η = 0,60 Pl . On suppose que la force de traînée qu’exerce la glycérine
r
r
r
sur la bille vaut Ft = −6πηrv , où v est le vecteur vitesse de la bille.
On donne l’intensité du champ de pesanteur : g = 9,8 m ⋅ s -2 .
a) Déterminer la loi donnant v(t ) en projection sur un axe vertical descendant et en déduite la vitesse limite vlim de la bille
ainsi que la durée caractéristique τ d’obtention du régime stationnaire. On introduira la masse volumique ρ0 de la bille.
Commenter les valeurs numériques de vlim et de τ.
b) Calculer le nombre de Reynolds caractérisant l’écoulement autour de la bille et commenter l’expression utilisée pour la force
de traînée. Comment évolue Re avec r ?
c) Proposer une méthode pour mesurer η.
d) Pourquoi la bille ne doit-elle pas être placée trop près des parois du récipient contenant la glycérine ?
réponse : a) vlim =
2ρ r 2
2 gr 2
(ρ0 − ρ) = 10,9 cm ⋅ s -1 ; τ = 0 = 14,1 ms b) Re = 1,18 convenable, marche mieux avec r plus petit
9η
9η
(Re en r 3 ) c) mesure de vlim en chronométrant les passages de la bille au niveau de graduations régulièrement espacées.
Écoulements internes
3. Écoulement sur un plan incliné
On cherche à modéliser l’écoulement de la lave le long des pentes d’un volcan.
On considère pour cela l’écoulement stationnaire d’une fine couche de fluide visqueux de viscosité dynamique η,
incompressible, de masse volumique ρ, sur un plan incliné d’un angle α avec l’horizontale.
r
r
On suppose l’épaisseur h de la couche constante, et l’écoulement parallèle à la ligne de plus grande pente : v = v x ( x, y )ex .
L’air est supposé être un fluide parfait à la pression p0 .
y
p0
h
O
g
x
r
r
a) Montrer que v = v x ( y )e x . Donner les conditions aux limites portant sur v x ( y ) . On étudiera pour la condition en y = h
l’équilibre de la surface libre du fluide.
b) En déduire le champ de pression dans le fluide, puis le champ de vitesse. Représenter le profil des vitesses. Calculer vmax .
c) Calculer le débit volumique qV pour une tranche de fluide de largeur L selon Oz.
d) Déterminer la contrainte (force par unité de surface) tangentielle exercée par le fluide sur le plan incliné.
réponse : a)
∂v x
ρg sin α 
y
ρgL sin αh3
( y = h) = 0 b) p = p0 − ρg cos α ( y − h) indépendant de x ; v x =
y h −  c) qV =
η
2
∂y
3η

4. Établissement d’un écoulement de Couette à une dimension (régime instationnaire)
On considère un fluide incompressible entre deux plaques horizontales d’équations y = 0 et y = h . Le fluide de viscosité
cinématique ν est au repos pour t ≤ 0 . À t = 0 , la plaque inférieure est mise en mouvement instantanément avec une vitesse
r
r
r
u = ue x . On suppose que la vitesse en un point du fluide est portée par ex à un instant t > 0 .
r
r
r
dv ∂v x ( y, t ) r
a) Montrer que v = v x ( y, t )ex . En déduire que l’accélération d’une particule fluide peut s’écrire
=
ex
dt
∂t
b) On considère une particule parallélépipédique de côtés dx, dy et dz (et donc de volume d 3V = dxdydz ). Sur quelles faces
du parallélépipède s’exercent des forces de viscosité ? En déduire que la résultante de ces forces sur la particule fluide vaut :
r
r
∂ 2v
d 3 Fv = η 2x d 3V ex .
∂y
c) En appliquant le principe fondamental à la particule fluide, montrer qu’en l’absence de gradient horizontal de pression
∂ 2 v x 1 ∂v x
=
(analogue à l’équation de diffusion thermique ou de
ν ∂t
∂y 2
particules). En déduire la durée τ caractéristique de l’établissement d’un régime stationnaire. Faire l’application numérique
avec ν = 10 −6 m 2 ⋅ s -1 et h = 10 cm .
y
d) Montrer que dans le cas h → ∞ , v x ( y, t ) = u[1 − erf (ξ)] avec ξ =
est solution du problème étudié.
4νt
appliqué, v x ( y, t ) est régi par l’équation de diffusion
ξ
On donne erf (ξ) =
2
π
∫
0
+∞
e
−X 2
dX et
∫
e − X dX =
2
π
2
0
Dans quel intervalle de temps la solution donnée est-elle une bonne approximation si h est fini ?
e) Calculer la contrainte visqueuse subie la plaque inférieure à la date t dans l’approximation précédente. Commenter le cas
t → 0.
r
réponse : b) incompressibilité d) σ v → ∞ : impossible de mettre la plaque en mouvement en une durée nulle
t →0
5. Coefficient de pertes de charges linéaires / diagramme de Moody
Dans une conduite circulaire de diamètre D, de rugosité ε et de longueur L s’écoule un fluide de masse volumique ρ et de
viscosité dynamique η avec une vitesse débitante u.
a) Justifier que la perte de charge ∆p entre l’entrée et la sortie de la conduite est proportionnelle à la longueur L, toutes choses
 ∆p

égales par ailleurs. On cherche donc une relation de la forme f 
, D, ε, u, ρ, η  = 0 .
 L

α
 ∆p  β1 β2 γ δ λ
Pour cela, on cherche à former des coefficients ni ∗ sans dimension de la forme ni ∗ = 
 D ε u ρ η
 L 
b) Montrer que l’on se ramène à un système linéaire en α, β = β1 + β 2 , γ, δ et λ. Il y a-t-il unicité des solutions de ce système ?
Montrer que l’on peut se fixer les valeurs de α et β.
α
β
 ∆p   ρu 
c) α et β étant supposés connus, résoudre ce système et montrer que ni =  2    D β − β 2 εβ 2 . Combien peut-on former
 ρu   η 
de coefficients sans dimension indépendants ?
d) Définir la rugosité relative de la conduite et le nombre de Reynolds de l’écoulement. Identifier à chaque fois les valeurs
correspondantes de α, β et β 2 .
∆p
e) On définit la coefficient de pertes de charges linéaires par λ =
. Identifier à chaque fois les valeurs correspondantes
1 2 L
ρu
2
D
de α, β et β 2 . De quels autres nombre sans dimension dépend-il ?
Expliquer la construction du diagramme de Moody.
f) Par lecture sur le diagramme de Moody, donner la perte de charge par mètre dans un tube de cuivre de diamètre intérieur de
1cm, de rugosité relative 5 ⋅ 10−3 , pour un débit d’eau de 7,8 ⋅ 10 −5 m 3 ⋅ s -1 . Commenter.
∗
réponse : e) α = 1 , β 2 = 0 et β = 1
6. Écoulement de Poiseuille dans une conduite cylindrique
Un fluide visqueux incompressible, de masse volumique ρ et de viscosité η, s’écoule dans un tube cylindrique d’axe Oz, de
rayon R et de longueur L. On néglige l’action de la pesanteur et on suppose que l’écoulement est stationnaire et parallèle à Oz :
r
r
v = v z (r , θ, z )ez .
On note ∆p = pe − ps la différence de pression entre l’entrée du tube ( z = 0 ) et la sortie ( z = L ).
r
r
a) Montrer que v = v z (r )ez et p = p(r , z )
∆p
b) Montrer que v z (r ) =
( R 2 − r 2 ) et calculer p(r , z ) .
4ηL
c) Montrer que le débit volumique s’écrit qV = A∆p (loi de Poiseuille). Exprimer A en fonction de R, η et L.
d) Calculer la force qu’exerce le fluide sur le tube. Commenter le résultat.
e) On applique les résultats précédents afin de déterminer la viscosité dynamique d’un fluide incompressible. Pour cela, on
alimente la conduite en plaçant en amont un récipient cylindrique d’axe vertical, de rayon a >> R . L’écoulement est alors
quasi-stationnaire. La pression extérieure est uniforme et vaut p0 .
Pendant une durée ∆t, le fluide passe d’une hauteur H1 à H 2 < H1 . En déduire l’expression de η en justifiant soigneusement
les approximations faites.
réponse : a) utiliser l’incompressibilité et les symétries b)
η=
ρgR 4 ∆t
H 
8 La 2 ln 1 
 H2 
p ( z ) = pe −
r
r
∆p
πR 4
z c) qV =
∆p d) Fv = π∆pR 2 ez e)
L
8ηL
7. Viscosimètre
On considère deux disques de même rayon a en rotation autour de l’axe Oz. Le
disque D1 est à la cote z = 0 et tourne à la vitesse angulaire ω1 , le disque D2
est à la cote z = e << a et tourne à la vitesse angulaire ω2 . On néglige les effets
de bord en r = a . On a placé entre les deux disques un fluide incompressible de
viscosité η. Aucun gradient de pression n’est appliqué.
a) Justifier que l’on recherche un champ de vitesse de la forme
r
r
v ( M , t ) = rω( z , t )eθ .
b) La force exercée par une couche de fluide de surface dS sur celle du
r
r
∂v
dessous est dF = η dS eθ . On considère un volume élémentaire de fluide compris entre r et r + dr , θ et θ + dθ , z et
∂z
z + dz . Déterminer les forces s’exerçant sur ce volume.
c) Appliquer le théorème du moment cinétique en projection sur Oz à ce volume, en déduire que ω( z , t ) est solution d’une
équation de diffusion.
d) On se place en régime stationnaire. Calculer ω( z ) . En déduire le moment du couple qu’exerce le fluide sur D1. Définir et
calculer le coefficient de frottement fluide λ entre les deux plaques.
e) On donne pour l’huile de ricin ρ = 0,965 kg ⋅ m -3 et η = 1,015 Pl . On donne également a = 10 cm et e = 5 mm ,
ω1 = Ω = 10 tours/min et ω2 = 0 . Vérifier que l’on est bien en régime laminaire. Donner également le temps caractéristique
d’établissement du régime stationnaire quand à partir du repos, ω1 passe brutalement à Ω.
réponse : d) Γ =
πηa 4
(ω2 − ω1 )
2e
Vol des oiseaux
Quelle est la loi reliant la vitesse de vol d’un oiseau à sa masse ?