Transcript Híres matematikatörténeti problémák

Nincs királyi út!
Híres matematikatörténeti problémák
I. Szerkeszthetőség
Tóth Andrásné
Eötvös József Gimnázium, Tata
1
„ Ne lépjen ide be senki,
aki a geometriát nem ismeri”
Platón
2
Egy kis (matematika)történelem
i.e. 2000 – 300
Mezopotámia, Egyiptom,
Kína, India
Megismerni a világot
(gyakorlati jelleg, sok ismeret,
eljárások rögzítése bizonyítási
igény nélkül)
i.e. VII – VI. görög
városállamok
Megérteni a világot
(bizonyítási igény, ok-okozati
összefüggések...tudomány)
Thalész, Pitagorasz („Iskola”)
i.e. V.
Megmagyarázni a világot
Hippokratész, Zénón
A nevezetes problémák
felmerülése
3
A görög-hellén-római világ nagyjainak kronológiája
4
i.e. IV .
Athén bukása,
Alexandria
Platón
- a filozófia alapja a geometria
- az istenek kívánsága
- bizonyítási módszerek
Arisztotelész
Eudoxosz
EUKLIDESZ- rendszerezés
Apolloniosz
ARKHIMÉDÉSZ
Ptolemaiosz
Menelaosz
Hérón
Diophantosz
Papposz
a matematika aranykora
5
Azok a bizonyos problémák
A Déloszi probléma, avagy a
kockakettőzés
A szögharmadolás
A kör négyszögesítése
A szabályos sokszögek szerkesztése
6
…és
mi a probléma?
Szerkesztési módszerek
- „Euklideszi”
- egyéb
- eszközök( körző, egyélű vonalzó)
- megengedett mozzanatok
- csak körzővel (Mohr 1672 -Mascheroni )
- csak vonalzóval (Poncelet, Steiner)
- egy ill. két derékszögű vonalzóval, stb.
7
x3  2a
V  a3  23
x  2a
A kockakettőzés
Szerkesztendő
kétegységnyi térfogatú
kocka (éle)
V  x3  2
V x 2
3
x 2
3
Apollóniusz „szerkesztése”:
FE úgy, hogy AE=AF és OF=OE
8
Szögharmadolás
Hippiasz (triszektrix görbe)
4x3 – 3x – a = 0
Arkhimédészi spirál
Arkhimédesz módszere
Bolyai János eljárása
9
r 2  a
Körnégyszögesítés
Feladat:
Szerkesztendő egy kör területével
egyenlő területű négyzet oldala
r  a
2
2
Arkhimédész
Ha r=1, akkor
a 
szerkesztendő
10
A szabályos ötszög szerkesztése
aranymetszés
Szerkeszthető!
11
Szabályos sokszögek szerkesztése
Alap: un. körosztás ( n egyenlő részre)
Középponti szög osztása n egyenlő részre
n= 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
13 14, 15, 16, 17, 18, ...
egyszerűen szerkeszthetők
Hippaszosz (i.e. 450 körül)
hogyan???
12
Geometria
a geometriai probléma
„ számok szerkesztése”,
adott hosszúságú
szakasz
szerkeszthetősége
számok helye a
számegyenesen
és
algebra
algebrai kifejezés,
egyenlet, egyenlet gyöke
- egész
- racionális
- irracionális
szám
Egyik szerkeszthető, a
másik miért nem?
13
És a megoldás?
3, 5 , 17, 257, 65537,...?
- Képlet?
- Fermat-féle prim (Euler)
- Mi köze a feladathoz ?
Gauss: A prímszám oldalú szabályos sokszögek közül csak azok szerkeszthetők,
amelyek un. Fermat-féle primek, az
összetett szám esetében akkor, ha „n”
egy Fermat-féle prim első hatványának és
2 valamely pozitív egész kitevőjű
hatványának szorzata
17 igen, 7 nem, stb
14
Egyenlet-gyökök-szerkeszthetőség
Gauss: ha egy geometriai feladat algabrai
megfelelője olyan harmadfokú egyenlet,
melynek nincs racionális gyöke, akkor a
feladat euklideszi szerkesztéssel nem
szerkeszthető meg...
Szögharmadolás:
4x2 – 3x – a = 0, nics minden a-ra
rac.győk
Kockakettőzés: x3 = 2 gyöke nem rac.
Galois: olyan szám hosszúságú szakasz,
melyhez nem található racionális
együtthatójú egyenlet, aminek gyöke
volna, euklideszi módon nem
szerkeszthető
(transzcendens szám)
Lindemann(1882) megmutatta,
Körnégyszögesítés: a
transzendens szám

15
Kétezer év telt el...
16
Itt a vége....?
-
:
sok (rész)eredmény
különböző területekről
+ zseniális elme az összefüggések felismerésére,
alkalmazására
megoldás
van még néhány!....
17
A Fermat-féle prímek
k
n=
0 1 2
2 1
2k
3
4
5
3 5 17 257 65537 641*6700417
A megoldás ?
18