Transcript Fizyka_w08

WYKŁAD
3=?
2
dr Marek Siłuszyk
WSFiZ
Drgania
Ruch harmoniczny

Przemieszczenie

Prędkość

Przyspieszenie
Plan wykładu:
Siła w ruchu harmonicznym
Fale

Energia w ruchu harmonicznym
Wahadła:

Mechaniczne
Elektromagnetyczne
Ruch harmoniczny a ruch jednostajny po okręgu
Oscylator tłumiony
Drgania wymuszone
Rezonans mechaniczny
Rodzaje fal:
Fale materii
Fale poprzeczne i podłużne

UWAGA!!!: Skorpion
Własności fal:

Długość fali

Częstość fali

Prędkość fali biegnącej

Energia i moc fali biegnącej
przemieszczenie
czas(t)
0
Wykres zależności położenia x od czasu: x=x(t)
Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach
czasu nazywamy ruchem okresowym.
Zależność przemieszczenia x ciała względem początku
układu współrzędnych od czasu opisana jest wzorem:
xt   xm  cos t   
gdzie: xm ,  ,  -stałe
Taki ruch nazywamy ruchem harmonicznym –jest to
ruch okresowy opisywany sinusoidalną funkcją czasu.
przemieszczenie
w chwili t
faza
xt   xm  cos t   
amplitudadodatnia
stała
czas
częstość
kołowa
faza
początkowa
1. 50
1. 00
0. 50
0. 00
0. 00
1. 00
2. 00
3. 00
4. 00
5. 00
6. 00
7. 00
- 0. 50
Na
wykresach
są
przedstawione 2 ruchy
drgające.
- 1. 00
Czym one się różnią ?
- 1. 50
1. 50
1. 00
0. 50
0. 00
0. 00
1. 00
2. 00
3. 00
4. 00
5. 00
6. 00
7. 00
- 0. 50
• Częstość kołowa
- 1. 00
• Faza początkowa
- 1. 50
• Amplituda
1. 50
1. 00
0. 50
0. 00
0. 00
- 0. 50
- 1. 00
- 1. 50
1. 00
2. 00
3. 00
4. 00
5. 00
6. 00
7. 00
Dla przemieszczenia w ruchu okresowym
spełniony jest warunek:
t xt   xt  T 
Dla uproszczenia rozważań weźmy:
 0
xm  cos t  xm  cos t  T 
T  2
2

 2
T
Prędkość w ruchu harmonicznym
Różniczkując równanie na przemieszczenie otrzymujemy
wzór na prędkość:
dx t  d
V t  
 xm  cos  t   
dt
dt
V t    xm  sin t   
Przyspieszenie w ruchu harmonicznym
Różniczkując równanie określające prędkość otrzymujemy
wzór na przyspieszenie:
dv t  d
at  
  xm  sin  t   
dt
dt
at    xm  cos t   
2
Związek między przemieszczeniem a
przyspieszeniem w ruchu harmonicznym
at     xm cos t   
2
at    xt 
2
d xt 
2





x
t
2
dt
2
Równanie
różniczkowe
X(t)
przemieszczenie
Związek między przemieszczeniem a
przyspieszeniem w ruchu harmonicznym
at     xm cos t   
2
at    xt 
2
d xt 
2





x
t
2
dt
2
Równanie
różniczkowe
X(t)
przemieszczenie
Siła w w ruchu harmonicznym
F  ma  mat   m x
2
Z Prawa Hooke’a:
K – stała sprężystości
F   kx
k  m
2
Ruch harmoniczny jest to ruch, jaki wykonuje ciało o
masie m, na które działa siła proporcjonalna do
przemieszczenia, ale o przeciwnym znaku.
Liniowy oscylator harmoniczny
k
m
-xm
k

m
x=0 +xm
m
T  2
k
Pytanie kontrolne:
Która z poniższych zależności między
działającą na ciało siłą F, a położeniem
x ciała opisuje ruch harmoniczny ?:
F = - 5x
F = - 400x2
F = 10x
F = 3x2
Energia w ruchu harmonicznym
Energia oscylatora liniowego zmienia się wciąż z
energii kinetycznej w potencjalną i z powrotem,
podczas gdy ich suma – energia mechaniczna E
oscylatora – pozostaje stała.
E p  Ek  E  const
Energia potencjalna
Energia potencjalna oscylatora liniowego w
całości związana jest ze sprężyną. Jej wartość
zależy od rozciągnięcia lub ściśnięcia sprężynyczyli od x(t).
1 2 1 2
2
E p t   kx  k xm cos t   
2
2
Energia kinetyczna
Energia kinetyczna oscylatora liniowego w
całości związana jest z klockiem. Jej wartość
zależy od tego jak szybko porusza się klocek –
czyli od V(t).
1 2 1 2
2
Ek t   mv  k xm sin t   
2
2
Na podstawie powyższych wzorów proszę
wyprowadzić wzór na całkowitą energię oscylatora
E  E p  Ek  ...?
Ostatecznie otrzymamy:
1 2
E  k xm
2
1. 20
E
1. 00
Wykresy energii
w funkcji:
0. 80
0. 60
a) E=E(t)
0. 40
b) E=E(x)
0. 20
t
0. 00
0. 00
0. 50
1. 00
1. 50
E
2. 00
2. 50
3. 00
3. 50
30. 0
25. 0
20. 0
15. 0
10. 0
Która energia jest która ?
5. 0
0. 0
-6
-4
-xm
-2
0
2
4
6
+xm
Wahadło Torsyjne (skrętne) – jest to oscylator
harmoniczny, którego sprężystość jest związana ze
skręcaniem zamocowanego na jednym końcu cienkiego
pręta
Nieruchomy koniec
drut
I
T  2
k
T – okres drgań
I – moment bezwładności
K – moment kierujący
Wahadło matematyczne – jest to oscylator harmoniczny,
który ma postać ciała (ciężarka) o masie m zawieszonego
na jednym końcu nierozciągliwej nici o znikomo małej
masie i długości L
Nieruchomy koniec
L
T  2
g
T – okres drgań[dla małych amplitud]
L – długość wahadła
g – przyspieszenie ziemskie
Wahadło Fizyczne – jest to rzeczywiste wahadło w
przeciwieństwie do wahadła matematycznego może mieć
skomplikowany rozkład masy
I
T  2
m gh
T – okres drgań
[dla małych amplitud]
I – moment bezwładności
m – masa wahadła
g – przyspieszenie ziemskie
h – długość ramienia
Ruch harmoniczny a ruch jednostajny po okręgu
Ruch harmoniczny jest ruchem rzutu punktu
poruszającego się ruchem jednostajny po okręgu na
średnicę okręgu, po którym ten ruch się odbywa
xt   xm  cos t   
V t    xm  sin t   
at    xm  cos t   
2
P’
xm
P
X(t)
Ruch harmoniczny tłumiony
Jeżeli ruch oscylatora słabnie na skutek
działania sił zewnętrznych, to taki oscylator
nazywamy oscylatorem tłumionym, a jego
drgania nazywamy tłumionymi
Zakładamy, że siła oporu F0 jaką działa
ciecz jest proporcjonalna do wartości
prędkości V łopatki i klocka zatem:
F0  b V
b – stała tłumienia [g/s]
Wiemy, że sprężyna działa na klocek siłą Fs = -k x
Ponieważ siła ciężkości P jest znikomo mała w
porównaniu z siłami F0, Fs czyli F0 <<P oraz Fs <<P
Na podstawie II zasady dynamiki Newtona możemy
zapisać :
 b V  k  x  m  a
2
d x
dx
m 2  b  kx  0
dt
dt
2
d x
dx
m 2  b  kx  0
dt
dt
Rozwiązując równanie różniczkowe otrzymujemy:
xt   xm
bt
 e 2m
 cos t   
2
k
b
 

2
m 4m
Pytanie kontrolne 
Co otrzymamy gdy (b=0) ?
Czy coś to Państwu przypomina ?
xt   xm
Oczywiście macie
Państwo rację.
Jest to ruch
harmoniczny bez
tłumienia
bt
 e 2m
 cos t   
2
k
b
 

2
m 4m
ENERGIA
W przypadku oscylatora tłumionego amplituda drgań
stopniowo maleje z upływem czasu.
Energia oscylatora także będzie spadać zgodnie ze wzorem:
1
E t  
2
bt
2 m
k  xm e
E(t)
1. 2
1
E(t) ~ e-t
E(t) ~ e-t
0. 8
0. 6
0. 4
t
0. 2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Drgania wymuszone.
Drgania, które wykonuje ciało wychylone ze stanu
równowagi i pozostawione samemu sobie, tj. nie
poddane działaniu dodatkowych sił zewnętrznych
określamy mianem drgań własnych ciała.
Drgania własne ciała mają zawsze tę samą charakterystyczną dla niego
częstotliwość, niezależnie od sposobu wzbudzenia.
Wiemy, że zanikaniu wahań wahadła można zapobiec przez okresowe
pobudzanie go do ruchu. Jeżeli energia dostarczana w każdym impulsie
pobudzającym zrównoważy energię rozpraszaną, to drgania wahadła
staną
się
niegasnące.
Takie
drgania
wzbudzone
za
pomocą
zmieniających się okresowo sił zewnętrznych albo też przenoszone z
innego ciała drgającego nazywamy drganiami wymuszonymi.
Rezonans mechaniczny
A
B
C
Pobudzamy do drgań wahadło A,
obserwujemy,
że
jego
drgania
stopniowo zanikają, coraz bardziej
zaczyna się wahać wahadło C.
Wahadło B pozostaje cały czas w
spoczynku.
Zaobserwowaliśmy
zjawisko
rezonansu mechanicznego, czyli
zjawisko
przekazywania
drgań
(energii drgań) ciał o takiej samej
częstotliwości drgań własnych.
Zawieszenie wahadła nie jest sztywne lecz
porusza się w górę i w dół z częstotliwością
kołową  wym
Taki oscylator drga z częstotliwością  wym
A przemieszczenie dane jest starym wzorem:

xt   xm  cos wym t  
Amplituda drgań jest największa gdy
spełniony jest warunek REZONANSU:
wym  

36
X(t) [m]
2
xt   xm
1
bt
 e 2m
 cos t   
1
t[s]
0
0
-1
-1
-2
2
4
6
8
10
12
Był 19 września 1985 roku. Fale sejsmiczne wywołane przez
trzęsienie Ziemi na zachodnim wybrzeżu Meksyku
spowodowały ogromne zniszczenia w stolicy kraju – mieście
Meksyku - w odległości około 400km od miejsca gdzie
powstały
Dlaczego fale sejsmiczne spowodowały
tak ogromne zniszczenia w stolicy,
natomiast stosunkowo niewielkie po drodze?
Odpowiedz : =>
Trzęsienie w Meksyku było bardzo
silne około ~8.1 stopni w skali Richtera
Po drodze na twardym gruncie fale miały amplitudę
lecz w stolicy 
1. Miasto było zbudowane na dnie jeziora (miękkie
podłoże lepiej przenosi drgania)
2. Wiele budynków o średniej wysokości miało
częstości około 3 rad/s
Większość budynków o średniej wysokości runęła, zaś
budynki niższe (większe częstotliwości) oraz wyższe
(mniejsze częstotliwości) pozostały całe
Fala mechaniczna jest to fala, której rozchodzenie opisują prawa
mechaniki klasycznej. Fala mechaniczna to zaburzenie rozchodzące
się w ośrodkach sprężystych. Fale morskie to rozchodzące się po
powierzchni morza zaburzenie poziomu wody oraz ciśnienia. Fale
dźwiękowe to rozchodzące się w przestrzeni zaburzenie ciśnienia.
Aby określić własności fali mechanicznej najważniejsze jest zbadanie
własności sprężystych ośrodka.
W procesie rozchodzenia się fali zasadnicze znaczenie ma proces
przekształcania potencjalnej energii mechanicznej (energii ciśnienia
bądź naprężenia) w energię kinetyczną.
Jeżeli po odkształceniu/sprężeniu ośrodek potrafi znaczną część
energii potencjalnej przekształcić ponownie w energię kinetyczną, to
fala mechaniczna może rozchodzić się na znaczne odległości.
Poszczególne ośrodki mogą znacząco różnić się własnościami
mechanicznymi, co prowadzi to znacznych różnic w przebiegu
zjawisk falowych w różnych materiałach. Dla przykładu w stali
dźwięk rozchodzi się w przybliżeniu 20 razy szybciej niż w
powietrzu. Co więcej różne własności dotyczące tłumienia powodują,
że jego zasięg jest znacznie większy. Zjawiska sprężyste powodują,
że przyłożenie naprężenia do materiału, również może zmienić jego
własności jako medium przenoszącego fale. Przykładem może być
tutaj struna, w której szybkość rozchodzenia się fali zmienia się
zależnie od przyłożonej siły, co można wykorzystać do strojenia.
Fale elektromagnetyczne zależnie od długości fali
(częstotliwości) (od fal najdłuższych do najkrótszych)
Przykłady fal elektromagnetycznych:
• fale radiowe,
• podczerwień,
• światło widzialne,
• ultrafiolet,
• promieniowanie rentgenowskie (promieniowanie X),
• promieniowanie gamma.
Wszystkie fale elektromagnetyczne poruszają się w
próżni z tą samą prędkością c = 299 792 458 m/s
Fale materii, zwane też falami de Broglie'a jest to,
alternatywny w stosunku do klasycznego (czyli korpuskularnego),
sposób postrzegania obiektów materialnych. Według hipotezy
dualizmu korpuskularno-falowego każdy obiekt może być
opisywany na dwa sposoby: jako cząstka/obiekt materialny albo
jako fala (materii).
Pomysł opisu cząstek za pomocą fal pochodzi od Louisa de
Broglie'a, który w 1924 roku uogólnił teorię fotonową efektu
fotoelektrycznego. W tym czasie wiedziano już, że na potrzeby
opisu niektórych zjawisk fizycznych, z każdą falą
elektromagnetyczną można stowarzyszyć pewną cząstkę - foton.
Propozycja De Broglie'a polegała na tym, aby każdej cząstce o
różnym od zera pędzie przypisać falę, o określonej długości i
częstości. Propozycja ta wychodziła naprzeciw wynikom
eksperymentalnym, które świadczyły, że w pewnych sytuacjach
każda cząstka może zachowywać się jak fala.
Fala poprzeczna jest to fala, w której kierunek drgań
cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku
rozchodzenia się fali.
Fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi.
Fale mechaniczne poprzeczne nie mogą rozchodzić się w objętości
ośrodków płynnych, gdyż te nie przenoszą sił ścinających, a mogą
rozchodzić się tylko w ciałach stałych. Na tej podstawie
stwierdzono, że jądro Ziemi jest płynne. Fale na granicy ośrodków
(np. fale na wodzie) są z natury falami poprzecznymi.
Przeciwieństwem fal poprzecznych są fale podłużne, w ciałach
stałych w których mogą rozchodzić się oba rodzaje fal, fale
poprzeczne rozchodzą się wolniej.
Fala podłużna to fala, której drgania odbywają się w
kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia się.
Przykładem fali podłużnej jest fala dźwiękowa.
Fale dźwiękowe to rodzaj fal ciśnienia. Ośrodki w których mogą
się poruszać, to ośrodki sprężyste (ciało stałe, ciecz, gaz).
Zaburzenia te polegają na przenoszeniu energii mechanicznej przez
drgające cząstki ośrodka (zgęszczenia i rozrzedzenia) bez zmiany
ich średniego położenia. Ze względu na zakres częstotliwości
można rozróżnić następujące rodzaje tych fal:
•infradźwięki - poniżej 20 Hz,
•dźwięki słyszalne 20 Hz - 20 kHz - słyszy je większość ludzi,
•ultradźwięki - powyżej 20 kHz,
•hiperdźwięki - powyżej 1010 Hz.
48
Legenda:
•B - fale radiowe
•C - mikrofale
•D - podczerwień
•E - światło widzialne
•F - ultrafiolet
•G - promieniowanie rentgenowskie (promieniowanie X)
•H - promieniowanie gamma
•I - widmo światła widzialnego
Gdy chrząszcz idący po piasku znajduje się w
odległości kilkudziesięciu centymetrów od
skorpiona, ten natychmiast odwraca się w
kierunku chrząszcza i rzuca się na niego (aby
go zjeść). Skorpion może to zrobić, ani nie
widząc (jest zwierzęciem nocnym), ani nie
słysząc chrząszcza.
W jaki sposób skorpion jest w stanie tak
precyzyjnie zlokalizować swoją ofiarę?
W chwili t przemieszczenie y(x,t) elementu znajdującego się
w punkcie x dane jest wzorem [funkcją 2-zmiennych]
yx, t   ym  sinkx   t 
Na podstawie tego równania jesteśmy w stanie określić w
którym momencie t oraz w jakiej odległości x będzie
przemieszczenie y
czynnik oscylacyjny
przemieszczenie
faza
yx, t   ym  sinkx   t 
amplituda
czas
liczba
falowa
położenie
częstość
kołowa
Długość fali λ - to odległość (mierzona równolegle do kierunku
rozchodzenia się fali) pomiędzy powtarzającym się fragmentem
fali.
Dla fali sinusoidalnej długość to odległość między dwoma
szczytami.
Liczba falowa - wielkość opisująca falę. Zdefiniowana wzorem:
gdzie:
k - liczba falowa [rad/metr]
λ - długość fali[m]
k
2

Użycie liczby falowej w miejsce długości fali upraszcza zapis
równania falowego.
56
Okres T definiujemy jako czas, w ciągu którego dowolny
element liny wykona jedno pełne drganie
2
 
T
Częstość kołowa -
 rad 

 s 
1

  
T 2
Częstość (częstotliwość) -
 Hz
Prędkość fali biegnącej V
obliczamy biorąc punkty gdzie jest
taka sama faza drgań czyli:
przemieszczenie
czas(t)
0
kx  t  const
To równanie oznacza stałą fazę, chociaż x i t się zmieniają
Prędkość fali V obliczamy biorąc pochodną powyższego
równania czyli:
dx
k
  0
dt

V 

k


T
 
62
63
64