Transcript Fala p³aska 1, Linie TEM.ppt

prof. dr hab. inż. Wojciech Czarczyński
p.103, C2, tel.(320) 2572
[email protected]
FALA PŁASKA
LINIE DŁUGIE
Literatura
1. J. A. Dobrowolski, Technika wielkich częstotliwości, Oficyna Wyd. P.W.,
Warszawa 2001.
2. T. Morawski, W. Gwarek, Pola i fale elektromagnetyczne, WNT, Warszawa 1998.
3. R. Litwin, M. Suski, Technika mikrofalowa, WNT Warszawa 1972.
4. W. Czarczyński, Podstawy techniki mikrofalowej, Wyd. P.Wr. Wrocław 2003.
5. J. Thuery, Microwaves, Industrial, Scientific and Medical Applications, Artech House
Boston 1992.
6. D. J. Bem, Radiodyfuzja satelitarna, WKiŁ, Warszawa 1990
Uwaga: żadna z podanych pozycji nie odpowiada zakresowi wykładu.
Cztery pierwsze pozycje zawierają ogólne wiadomości z zakresu techniki mikrofalowej.
Ogólna charakterystyka mikrofal
Zakres mikrofal (całkowicie umowny): 300 MHz do 300 GHz.
Niezależnie od częstotliwości, jeżeli długość fali jest porównywalna z rozmiarami
rozpatrywanego elementu lub od niego mniejsza, należy stosować trójwymiarowe metody
analizy. To podejście stanowi istotę „techniki mikrofalowej”.
Mikrofale obejmują około 95% wykorzystywanego zakresu fal elektromagnetycznych.
Najważniejsze zastosowania:
• radiolokacja (w tym wszelkie detektory ruchu);
• radionawigacja (GPS, kontrola ruchu powietrznego);
• radiokomunikacja (satelitarna, naziemna i satelitarna);
• grzejnictwo (suszenie, termiczne procesy fizyczne i chemiczne, przemysł spożywczy,
konserwacja zabytków, kuchnie mikrofalowe);
• transport;
• medycyna;
• fizyka (w tym akceleratory cząstek elementarnych, badania materiałowe);
• przemysł (spożywczy, mikroelektroniczny, tworzyw sztucznych, techniki plazmowe):
• radioastronomia;
• miernictwo:
Oznaczenia pasm mikrofalowych
Pasmo
Stare oznaczenia
Nowe oznaczenia
(powszechnie stosowane)
(mało znane)
500-1000 MHz
UHF
C
1-2 GHz
L
D
2-4 GHz
S
E
3-4 GHz
S
F
4-6 GHz
C
G
6-8 GHz
C
H
8-10 GHz
X
I
10-12.4 GHz
X
J
12.4-18 GHz
Ku
J
18-20 GHz
K
J
20-26.5 GHz
K
K
26.5-40 GHz
Ka
K
Założenia i ograniczenia klasycznej teorii pola
1. Materia jest traktowana jako ośrodek ciągły. Pomijamy strukturę cząsteczkową.
2. Zależność wszystkich rozważanych wielkości od czasu jest określona.
3. W przestrzeni nie ma źródeł pola elektromagnetycznego.
4. Ośrodek wypełniający przestrzeń jest liniowy.
Ośrodek
Wpływ ośrodka na zachowanie się pola elektromagnetycznego określają zależności
D  E
B  H
J  E
ε - przenikalność elektryczna
μ - przenikalność magnetyczna
σ - konduktywność
Ośrodek jednorodny: ε, μ, σ nie zależą od współrzędnych punktu.
Ośrodek liniowy: ε, μ, σ nie zależą od wielkości pól.
Ośrodek dyspersyjny: ε, μ, σ zależą od częstotliwości.
Ośrodek izotropowy: ε, μ, σ nie zależą od kierunku wektorów pól.
Zapis za pomocą funkcji zespolonych
I (t )  I 0 cos(t   )  I (t )  I 0e j (t  )
I1 (t )  Re( I1e jt )  I 01 cos(t   )
Wektorem zespolonym E nazywamy wektor, którego 3 składowe mogą być liczbami
zespolonymi. Jest określony przez 2 wektory rzeczywiste: Re(E) oraz Im(E)
E  Re( E )  j Im( E )
Moduł wektora zespolonego
E  E  E*
E  E*
E  Re( E ) 
2
Równania falowe w idealnym dielektryku (1)
E
 E  
0
t
H
2
 H  
0
t
y
2
k
k
rα
α
r0
Rozpatrujemy falę płaską
x
r k cos   r0

k  kx  k y  kz  1


 
r  ix x  i y y  iz z
Równania falowe w idealnym dielektryku (2)
Dla fali płaskiej powierzchnia stałej fazy przesuwa się z prędkością v
 
k  v  vt  const
Uwaga: z równań Maxwella wynikają równania falowe ale nie każde równanie falowe
musi spełniać równania Maxwella.
Równanie falowe będzie spełnione dla dowolnej funkcji, jeżeli
Z podstawienia do równań Maxwella
v
1

 
E k  0
 
H k  0
Pola elektryczne i magnetyczne fali płaskiej nie mają składowej w kierunku rozchodzenia
się fali. Jest to fala TEM.
Równania falowe w idealnym dielektryku (3)
W ośrodkach nieograniczonych i izotropowych dla fali płaskiej wynikają
z równań Maxwella następujące zależności
H 
 
k E


  
E
H k

Impedancja falowa ośrodka
W próżni
E
Zf 

H
0
Z0 
 120  377
0


Fala płaska w rzeczywistym ośrodku jednorodnym.
Równania falowe Helmholtza


 2 E  j (  j ) E  0


2
 H  j (  j ) H  0
 2   (  j )
    j
Stała propagacji
Współczynnik fazowy
 (0)  Ae
j0
 Ae
Stała tłumienia
j0
 (1)  Ae j1  Ae j1
  1  0
[ N ]
 (0)
 ln
 (1)
[ dB]
P1
V1
 10 log
 20 log
P2
V2
[ dB]  8.686[ N ]
Współczynnik tłumienia i stała fazowa
2
 j j ) j

 (0) 
Ae(
 Ae
 (1) Aejj  Ae  j

0
1
1
  1   0
    

v

2

0
Prędkość fazowa fali płaskiej
x
2π(n+3)
Warunek niezmienności fazy ze zmianą
czasu i położenia
2π(n+2)
Płaszczyzny
ekwifazowe
2π(n+1)
vx
 (t  t )   ( z  z )  t  z

t  z  0
v
2πn
vy
1 1 1
1
 2 2  2
2
vx v y vz v
y

dz

 v 
dt

Prędkość grupowa
vg 
Jeśli
Jeśli
dv
d
0
v  v g
1
v
dv
v d
wtedy
v  v g
ośrodek dyspersyjny
Kryterium klasyfikacji ośrodków
próżnia
dielektryki
D
} prąd przesunięcia
t
przewodniki prąd przewodzenia
J
J
E

 
D

j
j t
 Ee
t
t
przewodniki
<półprzewodniki>
dielektryki

 100
j

 100

Cu < 1016 Hz
Cu > 1020 Hz
Fala w przewodniku rzeczywistym
Zwykle w przewodnikach mamy
  
czyli
Z
 
j

j 
 


e


2
j

4
(1  j )

2
Silne tłumienie powoduje płytkie wnikanie fali elektromagnetycznej.
Miarą jest głębokość wnikania δw , na której amplituda pola maleje e krotnie
Fala płaska na granicy dwóch ośrodków (1)
 
E 1  i x E 0 e   1z
   E 0  1z
H1  i
e
Z0

E1 (0)
Współczynnik odbicia    
E1 (0)
(1   )
Z2 
Z1
(1   )
Z 2  Z1

Z 2  Z1
 
E1  ix E0 e  1z

 E0  1z
H 1  i y  e
Z0
Fala płaska na granicy dwóch ośrodków (2)
Fala w drugim ośrodku jest falą bieżącą, w pierwszym natomiast jest superpozycją fal
w przeciwnych kierunkach. Jest to fala częściowo stojąca.
Współczynnik fali stojącej:
E1max 1  
WFS   

E1min 1  
TE  1   
2Z 2
Z 2  Z1
TM  1   
2 Z1
Z 2  Z1
Współczynniki transmisji
WFS zmienia się od 1 do ∞; współczynnik Γ zmienia się od –1 do +1.
Uwaga: na wejściu wzmacniacza półprzewodnikowego może się zdarzyć Γ > 1.
Fala stojąca przedstawia przebieg sinusoidalny względem czasu i przestrzeni
Wartość chwilowa pola elektrycznego E fali padającej
2z 

Ei  Emax sin t 

 

Emax – amplituda pola fali padającej
z - odległość od rozwartego końca linii
λ - długość fali w linii
Dla fali odbitej
2z 

Er  Emax  t 

 

Pole sumaryczne
Es  Ei  Er  2Emax sint cos
zależność od czasu
2z

zależność od odległości
Zmiana impedancji wzdłuż rozwartej linii długiej
XC

7
8
3
4
5
8

2
3
8

4

8
0
XL
Z  Z0ctg
2z

 Z0ctgz
Prowadzenie fal elektromagnetycznych
1. Fale TEM
Ez = 0
Hz = 0
Żadne z pól nie ma składowej w kierunku
propagacji.
2. Fale TE (H)
Ez = 0
Hz ≠ 0
Pole magnetyczne ma składową
w kierunku propagacji.
3. Fale TM (E)
Ez ≠ 0
Hz = 0
Pole elektryczne ma składową
w kierunku propagacji.
4 Fale (EH)
Ez ≠ 0
Hz ≠ 0
Oba pola mają składowe w kierunku
propagacji.
Linie prowadzące fale TEM (1)
Przykłady
Przykład linii mikropaskowej w MUS
Wzmacniacz o małych szumach, 1-2 GHz, 50 dB, FN = 0.7 dB
linia mikropaskowa
Linie prowadzące fale TEM (2)
U  U (0)e
jt
I  I (0)e jt
U ( z )  ( R  jL )( zI ( z )
I ( z )  (G  jC ) zU ( z )
Równania telegrafistów
d 2U ( z )
2


U ( z)
2
dz
d 2 I ( z)
2


I ( z)
2
dz
Linie prowadzące fale TEM (3)
  ( R  jL )(G  jC )
U ( z )  A1e z  A2 e  z
z
I ( z )  B1e
 B2 e
 z
R  jL
Z0 
G  jC
v 
1
LC
Linie prowadzące fale TEM (4)
Linia współosiowa (1)
z 
j (  j )
 T2 U  0,
U0
R
U
ln
R 
ln
r
Linie prowadzące fale TEM (5)
Linia współosiowa (2)
1
Z0 
2
E r
r
 0;
R
 e  2.71828
r

R ,U  const
Z0
E r
r
 R
ln
 r
E
 0;
 60 ln e  60

R , P  const
R
 e
r
Z 0  60 ln e  30

r
 0;

R  const
Z0 = 60 ln 3.592 = 76.72Ω.
R
 3.592
r
Linie prowadzące fale TEM (6)
Linia paskowa symetryczna
, 
Jeżeli szerokość pasków jest znacznie większa od
odległości między nimi, czyli w >>h.
Z0 
Dla wolnej przestrzeni (μ = μ0, ε = ε0)
h
Z 0  377
w

 h
 w
Linie prowadzące fale TEM (7)
Mikrolinia - asymetryczna linia paskowa (1)
Dla w/h < 1 mamy
w
h
Z0 
ε
 eff 
Dla w/h ≥ 1
 eff 
2

2
h
1

12


w


 eff
 r  1  r  1 
2

1 / 2
w
 8h
ln   0.25 
h
w
12h 
 1 

w


2
120  w
w

Z0 

1
.
393

0
.
66
ln

1
.
4444



h
h
 eff 


r  1 r 1 
60
1
1 / 2
2
w 

 0.0411   
h  

Linie prowadzące fale TEM (8)
Mikrolinia - asymetryczna linia paskowa( 2)
. Prędkość fazowa w mikrolinii
v 
1
 eff  0  0

c
 eff
Długość fali w linii mikropaskowej
m 
v
f

c
f  eff
0

 eff
Do wyznaczania długości fali w mikrolinii musimy stosować efektywną
przenikalność elektryczną.
Linia zakończona obciążeniem (1)
W obwodowym ujęciu współczynnik odbicia jest definiowany jako stosunek prądu
lub napięcia fali odbitej do prądu lub napięcia fali padającej
U max 1  


U min 1  
U I
   
U
I
Zk 
Uk
Ik
Napięcie i prąd w odległości z od obciążenia
U z U  e z  U  ez
Zk 
  z
Iz
I e  I  ez
U ( z)
 Z we
I ( z)
Z k  1 2z
e z  ez
 Z 0 z
 
e
z
Zk 1
e  e
Z  Z 0 tgh z
 Z0 1
Z 0  Z k tgh z
Dla linii bezstratnej ( = 0) wzór ten uprości się do postaci
Z we  Z 0
Z k  jZ 0 tg z
Z 0  jZ k tg z
Szczególne przypadki obciążenia linii(1)
1. Linia zwarta Zk = 0
U  U k cos z
I  I k cos z
U  jI k Z 0 sin z
Czysta fala stojąca.
3.
2. Linia rozwarta Zk = 
jU k
I
sin z
Z0
Czysta fala stojąca.
Linia obciążona czystą reaktancją Zk = jX
Z


U  U k  cos z  0 sin z 
X




X

I  I k  cos z 
sin z 
Z0


Powstaje czysta fala stojąca.
k  e j k

1
Z0
cos z 
sin z  0
X
 X 
1

z U ( z )  0  arctg  

 Z0 
Szczególne przypadki obciążenia linii(2)
4. Linia obciążona rezystancją, Zk = Rk.
5. Linia dopasowana Zk = Z0.
Rk  Z 0
k 
Rk  Z 0
a)
b)
  0;
Rk  Z 0 ; k  0 ;
Rk

Z0
Rk  Z 0 ; k  0 ;
Z0

Rk
  1;
Z we  Z 0
6. Dowolne obciążenie Zk = Rk + jXk
Z max  Z 0 ;
Z min 
Z0

;
Rmax Rmin  Z 02
Co ¼ długości fali występują charakterystyczne punkty, w których współczynnik odbicia
jest rzeczywisty, napięcie i prąd osiągają wartości ekstremalne, a impedancja
wejściowa jest na przemian największa i najmniejsza.
Szczególne właściwości odcinków linii o długości λ/4 i λ/2
l  ( 2n  1)

4
 2

l  ( 2n  1)
 ( 2n  1)
4 
2
Z we  Z  / 4
Z 02

Zk
dla Zk = 0 (zwarcie ) mamy Zλ/4 = ∞; natomiast dla Zk = ∞ (rozwarcie) mamy
Zλ/4 = 0.
ln

l  n
2
Z / 2  Zk
Impedancja wejściowa odcinka o długości λ/2 jest równa impedancji obciążenia.
Dławik uszczelniający drzwiczki kuchenki mikrofalowej, wykorzystujący
właściwości ćwierć- i półfalowego odcinka linii.
Dopasowanie impedancji za pomocą odcinków linii
Z we
Z k  jZ 0 tg z
 Z0
Z 0  jZ k tg z
z

4
n

2
Z T  Z1Z 2
we 
Z 2  Z1
Z 2  Z1  j 2 Z1Z 2 tg l
Wpływ dopasowania na moc wydzielaną w obciążeniu
Generator dopasowany do linii bezstratnej (Rg = Z0)dostarczy
do obciążenia maksymalną moc, gdy Zk = Z0. Wtedy
Pmax
Z0
P

(1  k ) 2
Pmax Rk
P

Pmax

4
1

2
U k2 U  (1  k )


Rk
Rk
Rk  Z 0
k 
Rk  Z 0
Pmax
Pmin
  k2
 
Przykład 1.1
Linia o długości λ/4 jest zakończona obciążeniem o impedancji 50+j100 Ω.
Impedancja charakterystyczna linii wynosi 50 Ω. Znaleźć impedancję wejściową,
współczynnik odbicia obciążenia oraz współczynnik fali stojącej.
l 
2


Zwe  Z0

4


2
Zk  jZ0 tgl
 10  j 20
Z0  jZ k tgl

j
Zk  Z0 50  j100  50 1
1
 

  j  0.7071e 4
Zk  Z0 50  j100  50 2
2
WFS   
1 
1 

1  0.7071
 5.83
1  0.7071
Wykres Smitha (1)
Wykres impedancji we współrzędnych biegunowych.
Z  Z0
k  k
;
Zk  Z0
Zk
 zk ;
Z0
z 1

;
z 1
g 
Zg
Z0
Z g  Z0
 zg
z  r  jx
  u  jv
1 
z
1 
1 u 2  v2
r
;
2
2
1 u  v
Z g  Z0
x
2v
1  u 2  v 2
Wykres Smitha (2)
v
Równania okręgów
1_
x
2
1
1+r
=1
1_
x
r 
1

2
u 
 v 
(1  r ) 2
 1 r 
a)
=0.5
r
1+r
współrzędne środka
u
 r 
u
;
1 r 
promień
R
1
1 r
2
b)
współrzędne środka
1
1

(u  1) 2   v    2
x
x

u (1);
 1
v  
 x
promień
1
R
x
v ( 0)
Przykład 1.2
Linia o długości λ/4 jest zakończona obciążeniem o impedancji 50+j100 Ω.
Impedancja charakterystyczna linii wynosi 50 Ω. Posługując się wykresem
Smitha znaleźć impedancję wejściową, współczynnik odbicia obciążenia oraz
współczynnik fali stojącej.
(To zadanie jako przykład 1.1 zostało poprzednio rozwiązane analitycznie.)
Normalizujemy impedancję obciążenia
.
do obciazenia
Z k 50  j100

 1 j2
Z0
50
do generatora
,
0.2-j0.4
zk 
l  2 
0.2
0.4

4
  0.71e
0.707
1
j

4
WFS  5.8
z we  0.2  j 0.4
1
Z we  50(0.2  j 0.4)  10  j 20 
2
π
1+j2
.
do obciazenia
do generatora
,
0.2-j0.4
0.707
1
0.2
0.4
1
2
1+j2