Ruch falowy

Przenoszenie się zaburzenia w ośrodku. Transport energii.

Drgający punkt materialny będzie oddziaływał na sąsiednie punkty pobudzając je do takich samych drgań, co powoduje, że drganie przemieszcza się w ośrodku w postaci zaburzenia (punkty materialne wykonują drgania wokół położeń równowagi) – transport energii, a nie materii.

Promień fali

– kierunek rozchodzenia się zaburzenia,

powierzchnia falowa

– zbiór punktów o tej samej fazie,

czoło fali

– powierzchnia falowa najbardziej odległa od źródła. Fale mechaniczne, elektromagnetyczne, grawitacyjne, jednowymiarowe, dwuwymiarowe, trójwymiarowe, kuliste, eliptyczne, walcowe, płaskie, podłużne, poprzeczne, impuls falowy, ciąg falowy, fala harmoniczna.

v



v



K

r ;

E

r ;

v



v

 

p

r ;

G

r  

c p

E - moduł Younga, G - moduł sprężystości postaciowej r – gęstość ciała, E>G. W gazach fale poprzeczne się nie rozchodzą. K - moduł ściśliwości cieczy.

Fale sejsmiczne po cięciwach.

c v

___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy

Prędkość fali mechanicznej

F

 

t prawo F



m



m Hooke

'

a



Y



t



u

; 1 

t

;

m m S

:  r 

XS

,  

Y



t

 1

F S



t

 

u



E



Y



t



Y



X



Y E



X

r

S S

( 

X



t

) 2 

E

;

v



E

r

y



A

cos( 

t



kx

);

k

 

v

 2   ;

y



A

cos  (

t



x v

);   2 

k

 2 

v

 

vT



v f y



A

cos 2 

x

(  

T t

);

fala jest okresowa w przestrzen i i w czasie

 2

y



x

2  1

v

2  2

y



t

2  0 ;  2  

x

2   2  

y

2   2  

z

2  1

v

2  2  

t

2  0 ;  2   1

v

2  2  

t

2  0 ___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy 2

Fale na wodzie

Fale w strumyku – Lasek Arkoński Dr Jarosław Zaleśny ___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Fale mechaniczne 3

Rodzaje fal

Poprzeczne (sznur) Podłużne (sprężyna) ) - jedno, dwu i trój wymiarowe o różnych kształtach - harmoniczne proste i złożone, impulsowe ___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy 4

Impuls falowy powstaje gdy źródłem jest jednorazowe zaburzenie w ośrodku: na przykład gdy wrzucimy kamień do wody lub gdy jednorazowo odchylimy koniec napiętej liny Fala harmoniczna powstaje gdy źródło wykonuje drgania harmo niczne: na przykład gdy cyklicznie wychylamy koniec napiętej liny Czoło fali i promień fali ___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy 5

Ze względu na kształt powierzchni falowej możemy wyróżnić

fale płaskie i fale kuliste .

___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy 6

Równanie zespolone fali harmonicznej

re i

 

r

cos  

ir

sin  ,   

Ae i

(

k



r

 

t

) 

A

cos(

k



r

 

t

) 

iA

sin(

k



r

 

t

)   - zespolone wychylenie fali   Re(   ) 

A

cos(

k



r

 

t

);   

Ae i

k



r

e i



t

Płaska fala harmoniczna w dowolnym kierunku w przestrzeni:  

A

cos(

k



r

 

t

); |

k

| 

k

 2  

k –

wektor falowy, skierowany zgodnie z kierunkiem rozchodzenia się fali ___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy 7

Powstawanie fal mechanicznych

Źródło w punkcie A: y o =Asin  t, wychylenie punktu B odległego od A o x: y(x,t)=Asin  (t t (x)); t (x)=x/v; y(x,t)=Asin  (t-x/v)=Asin(  t-2  x/  ); 

/v=2



/



=k

k – liczba falowa;

y(x,t)=Asin(



t-kx)

 – najmniejsza odległość między punktami ośrodka znajdującymi się w jednakowej fazie – długość fali. Zależy ona od prędkości, z jaką fala rozchodzi się w ośrodku, a ta od własności sprężystych ośrodka. Dla rozchodzenia się fal poprzecznych ośrodek powinien mieć sprężystość postaci, dla rozchodzenia się fal podłużnych ośrodek musi mieć sprężystość objętości.

k

– wektor falowy (wektor propagacji) y(x,t)=Asin(  t-

kx

). Dla fali płaskiej A=const. Dla fali kulistej A=A o e -

kr

.

W czasie ruchu powierzchni falowej  t-kx=const, różniczkując: prędkość fazowa – prędkość z jaka przemieszczają się powierzchnie o tej samej fazie.

Aby fala mogła przenosić informację, trzeba ją zmodulować. przekształceniu amplitudy lub częstości w taki sposób, aby po demodulacji można było odtworzyć zakodowaną informację. W modulowanej fali  =

dx/dt=v Modulacja



f =



/k

– polega na (k). Prędkość z jaką rozchodzi się modulacja – prędkość grupowa: v g =d  /dk,  =kv f ;v g =v f +kdv f /dk v g =v f  dv f /d  – związek dyspersyjny. Dyspersja normalna gdy v f rośnie.

Równanie różniczkowe:  2 

x

2

y



v

1 2

f

 2 2

y

  2  

v

1

f

 2  

t

2  0 ___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy

Rozchodzenie się fal w przestrzeni Fala harmoniczna

gdzie:

y

(

t

,

x

) 

A

sin( 2 

T t

 2 

T x A T

– amplituda fali, – okres drgań,

lub

y

(

λ

– długość fali,

ω

– częstość kołowa zwana krótko częstością lub pulsacją fali,

t

,

k φ

– liczba falowa, – faza początkowa

x

) 

A

sin( 

t



kx

  )   ) ___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy 9

Fala biegnąca po strunie

Siła

F jaka działa na koniec struny porusza struną w górę i w dół wprawiając jej koniec w drgania w kierunku y.

Fale przenoszą dostarczoną ze źródła energię poprzez ośrodek dzięki przesuwaniu się zaburzenia w ośrodku. Na przykład wprawiając koniec struny w drgania poprzeczne źródło wykonuje pracę, która objawia się w postaci energii kinetycznej i potencjalnej punktów struny .

___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy 10

Powstawanie fal mechanicznych

sin sin a b

Zasada Huyghensa

Każdy punkt ośrodka, do którego dociera czoło fali staje się źródłem kulistej fali cząstkowej. Powierz – chnia styczna do wszystkich fal cząst 

v v

2 1 

n

21 ;

v

1

v

2 

n

2

n

1 

n

21 ;

n i

sin a

i



const

kowych stanowi nowe czoło fali

. Dyfrakcja

,

ugięcie fali

.

1.

Promienie fali padającej, odbitej i załamanej oraz normalna do granicy ośrodków leżą w jednej płaszczyźnie 2. Kąt padania równa się kątowi odbicia a = b 3. Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania równa się stosunkowi prędkości roz chodzenia się fal w obu ośrodkach.

___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy 11

Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia, kąt graniczny:

n

2 

n

1 ;

n

1 sin a 1 

n

2 ; a

gr

 arcsin

n

2 ;

n

1

n

2 

n

1 sin a

gr

Interferencja fal

– nakładanie się, superpozycja dwóch ( i więcej) fal o tych samych długościach  1    

A

cos(

kx

 1   2  

t

); 2

A

cos  2  2 

A

cos(

kx

 cos(

kx

 

t

 

t

 2 )   ) Gdy fazy fal są zgodne ( f =0, ±2  , ±4  ,…) amplituda wypadkowa: 2A - zachodzi wzmocnienie fal. Gdy fazy są przeciwne ( f =±  , ±3  ,…) amplituda wypadkowa 0 – fale wygaszają się.

Konieczny warunek interferencji: różnica faz nakładających się fal stała w czasie – fale koherentne (spójne) ___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy

Fale stojące

– superpozycja fal poruszajacych się w przeciwnych kierunkach  1 

A

sin(

kx

 

t

);  2 

A

sin(

kx

 

t

);    1   2  2

A

sin

kx

cos 

t

wszystkie cząstki ośrodka wykonują drgania harmoniczne w tej samej fazie kx=  /2, 3  /2, 5  /2,…; kx=0,  , 2  , 3  ,… x=  /4, 3  /4, 5 / 4,… ; x=0,  /2, 3  /2,… strzałki węzły Energia w fali stojącej nie jest przenoszona lecz trwale magazynowana w punktach ośr.

Dudnienia

– wynik superpozycji fal o nieco różniących się częstościach

y

1 

A

[sin(

A

sin(  1

t

  1

t



kx

);

y

2

kx

)  sin(  2

t

 sin(  2

t



kx

)]  

kx

); 2

A

(cos(

y

  1

y

1    2 2

y

2 

t

)  sin(  1   2 2

t



kx

) gdy  1 ~  2

A

mod  2

A

cos  mod

t

;  mod   1   2 2 ; 

sr

  1   2 2

y



A

mod (

t

) sin( 

sr t



kx

) ___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy 13

Superpozycja fal mechanicznych poprzecznych i podłużnych

___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy 14

Akustyka

Fale dźwiękowe

– podłużne fale mechaniczne w ciałach stałych, cieczach, gazach o częstościach od 20 Hz do 20000 Hz (infradźwięki – dźwięki – ultradźwięki). Fale sejsmiczne. Drgania strun, słupów powietrza, płyt i membran .

Tony

– fale monochromatyczne,wywołują zmiany ciśnienia w ośrodku,

v



v o

dźwięki złożone

T T o

– nakła danie się różnych drgań harmonicznych. Wysokość, barwa, natężenie.

I

  

t E



S

  

P S

(

W m

2 )

wrażliwość ucha ludzkiego

– próg słyszalności: 10 -6 W/m 2 dla 30 Hz, 10 -12 W/m 2

dźwięku

dla 1 kHz. Próg bólu ~1 W/m 2 .

Poziom natężenia

a

=10lgI/I o [dB]

– człowiek odbiera bodźce w skali logarytmicznej.

Głośność

– odbiór wrażenia przy różnych częstotliwościach (jednostka –

fon

). Dźwięk n-fonów, gdy wywołuje takie samo wrażenie słuchowe jak dźwięk 1000 Hz o natężeniu n-decybeli.

Zjawisko Dopplera :

obserwator poruszający się w kierunku źródła słyszy dźwięk wyższy, gdy oddala się słyszy dźwięk niższy

v f

' 

f

( 1 

o

);

f

' 

f

( 1 

v o

)

u u f

' 

f

' 

f f

1 1 

v z u

1  1 

m O m Z

;

f

'  1 1 

v z u

;

m



v u

Liczba Macha, m

– stosunek prędkości źródła lub obserwatora do prędkości dźwięku Hiperdźwięki, f>10 9 Hz ___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy 15

Akustyka

I – natężenie fali, której poziom natężenia obliczamy.

I 0 = 10 -12 W/m akustycznej o 2 , to minimalne natężenie fali częstotliwości 1000 Hz, słyszalnej dla człowieka.

Maksymalne natężenie fali akustycznej jakie nie prowadzi do uszkodzenia błony bębenkowej jest równe 1,07 W/m 2 .

Czułość ucha dla różnej częstotliwości dźwięków ___________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Ruch falowy 16

___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 17