Transcript Fale

Fale
R/H/W t. 2, rozdz. 17 i 18
Klasyfikacja fal
Fale harmoniczne biegnące
Interferencja fal
Fale stojące
Zjawisko Dopplera
dr inż. Monika Lewandowska
Klasyfikacja fal (I)
Fala – zaburzenie rozchodzące się w przestrzeni,
przy czym transportowi energii nie towarzyszy
transport materii na duże odległości.
Ze względu na naturę fizyczną zaburzenia wyróżniamy:
• fale mechaniczne
• fale elektromagnetyczne
• fale materii
Fala mechaniczna powstaje na skutek wychylenia fragmentu ośrodka
sprężystego z położenia równowagi, co następnie powoduje drgania
tego fragmentu na skutek działania międzycząsteczkowych sił
sprężystości. Drgający element będzie z kolei oddziaływał na
sąsiadujące fragmenty, pobudzając je do takich samych drgań.
Przykłady: fale dźwiękowe, fale na powierzchni wody, fale w strunach
instrumentów., fale sejsmiczne
2
Fale elektromagnetyczne
Fala e-m - rozchodzące się w
przestrzeni zaburzenie pola
elektromagnetycznego.
Widmo fal elektromagnetycznych
Źródło: Wikipedia
Przykładowe źródła fal elektromagnetycznych:
• oscylacja dipola elektrycznego (Hertz, fale radiowe)
• przyspieszanie cząstek naładowanych w akceleratorach
(promieniowanie synchrotronowe)
• hamowanie elektronów w polu jądra atomowego
(promieniowanie Röntgena)
• oscylatory atomowe (promieniowanie termiczne)
3
Fale materii (fale de Broglie’a)
Hipoteza: Każdej poruszającej się cząstce materialnej
materialnej o pędzie p i energii E można przyporządkować falę
  E/h
  h / p  h /(i częstotliwości
mv)
o długości
1924 ks. L.V.R.P. de Broglie, nagroda Nobla 1929
Louis de Broglie 1929
Obserwuje się efekty potwierdzające falową naturę materii w
postaci dyfrakcji i interferencji cząstek elementarnych, a nawet
całych jąder atomowych.
Pierwsze potwierdzenie eksperymentalne:
doświadczenie Davissona – Germera (1927)
dyfrakcja elektronów na krysztale niklu
C. Davisson i L. Germer
4
Klasyfikacja fal (II)
Ze względu na kąt pomiędzy kierunkiem zaburzenia a kierunkiem
rozchodzenia się fali wyróżniamy:
• fale podłużne, np. fale dźwiękowa
• fale poprzeczne, np. fale w elektromagnetyczne, fale w strunach
• inne, np. fale na powierzchni wody
Ze względu na kształt czoła fali (powierzchni falowej) wyróżniamy
fale: płaskie, kuliste, eliptyczne, walcowe i inne
Ze względu na charakter zaburzenia wyróżniamy:
• impuls falowy – fala wywołana przez pojedyncze drgnięcie
• ciąg falowy – fala wywołana przez szereg kolejnych drgań
Jeśli przyczyna wywołująca zaburzenie działa w sposób
periodyczny otrzymujemy periodyczny ciąg falowy. Najprostszym
przykładem periodycznego ciągu falowego jest fala harmoniczna.
5
Biegnąca fala harmoniczna w ośrodku
jednowymiarowym (I)
Równanie fali harmonicznej biegnącej w ośrodku jednowymiarowym
y( x, t )  A sinw(t  x / v)  A sin(w t  kx)
w kierunku rosnących x
y( x, t )  A sinw(t  x / v)  A sin(w t  kx) w kierunku malejących x
Parametry występujące w równaniu fali harmonicznej
A – amplituda fali - maksymalne wychylenie fragmentu ośrodka z położenia
równowagi (m)
 w – częstość kołowa fali (rad/s)


T = 2p/w – okres fali – czas trwania jednego pełnego drgania (s)

f = 1/T - częstotliwość fali – ilość drgań na jednostkę czasu (Hz)

wt ± kx - faza fali w punkcie x w chwili t (rad)

k - liczba falowa (rad/m)

 = 2p/k = vT - długość fali - minimalna odległość między dwoma punktami o
tej samej fazie, odległość którą przebywa fala w czasie T (m)

v = w/k - prędkość fazowa fali (m/s)
6
Biegnąca fala harmoniczna w ośrodku
jednowymiarowym (II)
Przykład
Fala poprzeczna biegnąca wzdłuż długiego węża gumowego opisana
jest równaniem: y(x,t) = 6 cm ∙ sin(0.02p rad/cm ∙ x - 4p rad/s ∙ t).
Znajdź a) częstotliwość i okres fali, b) długość fali, c) prędkość
fazową fali, d) kierunek rozchodzenia się fali, e) maksymalną
prędkość poprzeczną i przyspieszenie poprzeczne elementu węża.
7
Prędkość fali w napiętej linie (I)
Właściwościami ośrodka decydującymi o rozchodzeniu się w nim fal są
bezwładność i sprężystość. Sprężystość jest czynnikiem, który
powoduje pojawienie się sił przywracających, gdy jakaś część ośrodka
zostanie wychylona z położenia równowagi, natomiast bezwładność
decyduje o tym jak będzie zachowywała się wychylona część ośrodka pod
działaniem tych sił. Oba te czynniki łącznie określają prędkość
rozchodzenia się zaburzenia (fali) w ośrodku.
Przykład Oszacować (metodą analizy wymiarowej) prędkość fali o częstości
w rozchodzącej się w linie o gęstości liniowej m naprężonej siłą F.
wielkość
wymiar
v
lt -1
m
w
ml-1
F
t -1
mlt
-2
v  Cm  w  F 


l  m   1   ml 
     2 
t  l  t   t 

v  Cm 1/ 2 F 1/ 2
v
F
m
8
Prędkość fali w napiętej linie (II)
Przykład
Dwie linki połączono razem za pomocą węzła i naciągnięto pomiędzy
dwoma sztywnymi wspornikami. Masy i długości linek wynoszą
odpowiednio: m1 = 42 g i L1 = 3 m oraz m2 = 56 g i L2 = 2 m, zaś ich
naprężenie wynosi 400 N. W obu linkach równocześnie wytworzono
impulsy biegnące od wsporników w kierunku węzła. Który z impulsów
szybciej dotrze do węzła?
9
Zasada superpozycji dla fal
Wypadkowe zaburzenie w dowolnym
punkcie obszaru, do którego docierają
dwie fale tego samego rodzaju jest sumą
algebraiczną zaburzeń wywołanych w tym
punkcie przez każdą falę z osobna.
y( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t )
Nakładające się fale nie wpływają na siebie
wzajemnie.
Zasada superpozycji przestaje obowiązywać w
przypadku bardzo silnych zaburzeń, takich jak np.
fale uderzeniowe, tsunami.
10
Interferencja fal (I)
Rozważmy dwie fale harmoniczne biegnące w tym samym
wzdłuż napiętej liny:
kierunku
y1 ( x, t )  A1 sin(k1 x  w1t  01 )  A1 sin 1
y2 ( x, t )  A2 sin(k 2 x  w2t  02 )  A2 sin  2
W wyniku nałożenia się tych fal powstaje zaburzenie wypadkowe:
y( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t )  A sin 
A2  A1  A2  2 A1 A2 cos( 2  1 )
2
2
2  1  (k2  k1 ) x  (w2  w1 )t  02  01
11
Interferencja fal (II)
A2  A1  A2  2 A1 A2 cos(k2  k1 ) x  (w2  w1 )t  02  01 
2
2
W wyniku złożenia dwóch fal niespójnych (w1  w2) otrzymujemy falę
anharmoniczną. Amplituda tej fali zmienia się w czasie w sposób okresowy.
T  2. p /(w 2  w1 )
Okres zmian amplitudy jest równy
Wartość średnia kwadratu amplitudy w czasie jednego okresu wynosi
A2 śr  A1  A2
Podczas nakładania się fal niespójnych dodają się ich natężenia.
2
2
W przypadku nałożenia się fal spójnych (w1  w2  w i k1  k2  k)
otrzymujemy falę harmoniczną o takiej samej częstości. Amplituda fali
wypadkowej nie zależy od czasu, natomiast jest różna w różnych punktach
przestrzeni. Wynik interferencji dwóch fal w danym punkcie przestrzeni
będzie zależał od różnicy dróg przebytych przez każdą z fal i różnicy faz
początkowych.
12
Interferencja fal (III)
.
Amax  A1  A2
Amplituda fali wypadkowej jest maksymalna i wynosi
w punktach, w których fazy obu fal składowych są zgodne, (są to tzw.
maksima interferencyjne) natomiast jest minimalna, równa
.Amin  A1  A2 w punktach, w których fazy fal składowych są przeciwne i
występują tzw. minima interferencyjne .
Podsumowanie
Interferencją fal nazywamy zjawisko nakładania się fal, w którym
zachodzi stabilne w czasie ich wzmocnienie (interferencja
konstruktywna) w jednych punktach przestrzeni, a osłabienie
(interferencja destruktywna) w innych punktach, w zależności od
wzajemnego przesunięcia fazowego nakładających się fal. Interferować
mogą tylko fale spójne. Podczas interferencji fal nie jest spełnione zwykłe
sumowanie się ich energii – natężenie fale w maksimach
interferencyjnych jest większe od sumy natężeń fal składowych,
natomiast w minimach jest mniejsze od tej sumy.
13
Interferencja fal (IV)
Przypadek: Interferencja 2 fal harmonicznych spójnych
o
takich samych amplitudach biegnących w tym samym kierunku w ośrodku
1-wymiarowym.
A2  A1  A2  2 A1 A2 cos( )
2
w1  w2  w i k1 = k2 = k
A2 = A1
2
A2  2 A1 [1  cos( )]  4 A1 cos( / 2)
2
2
A  2 A1cos( / 2)
Przykład 17.5: Dwie identyczne fale harmoniczne, poruszające się w tym
samym kierunku wzdłuż napiętej liny, interferują ze sobą. Amplituda każdej
z fal wynosi A1 = 9.8 mm, zaś różnica faz między nimi   100o.
a) Oblicz amplitudę
fali wypadkowej powstającej w wyniku interferencji obu fal i określ
charakter interferencji,
b) Wyznacz różnicę faz (w radianach
i w częściach długości fali) , przy której amplituda fali wypadkowej wynosi
4.9 mm.
Interferencja fal (V)
Fala stojąca (I)
Szczególnym przypadkiem interferencji fal są tzw. fale stojące.
Powstają one w wyniku superpozycji dwu fal harmonicznych
o tych samych częstościach i amplitudach biegnących w
przeciwnych kierunkach. Fale stojące wytwarzane są często
w wyniku interferencji fali padającej i odbitej od granicy ośrodka.
y1 ( x, t )  A sin(wt  kx)
y2 ( x, t )  A sin(wt  kx   )
y( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t )  Asin(kx  wt )  sin(kx  wt   )


sin  sin   2 sin
cos
2
2
y( x, t )  2 A sin(kx   / 2) cos(wt   / 2) - równanie fali stojącej
Fala stojąca charakteryzuje się ustalonymi położeniami punktów, w
których amplituda drgań jest równa 0 (zwanych węzłami) i punktów, w
których amplituda drgań jest maksymalna (zwanych strzałkami).
15
Interferencja fal (VI)
Odbicie fali na granicy ośrodka
Impuls padający z prawej strony odbija się
od końca liny zamocowanego do ściany.
Impuls odbity jest odwrócony względem
impulsu padającego
(przy odbiciu
nastąpiła zmiana fazy fali padającej na
przeciwną)
a)
Lewy koniec liny zamocowany jest do
pierścienia, który może swobodnie ślizgać
się wzdłuż pręta w górę i w dół. W tym
przypadku podczas odbicia nie następuje
zmiana fazy fali, zatem impuls po odbiciu
nie jest odwrócony.
b)
R/H/W rys. 17.19
16
Interferencja fal (VI)
Fale stojące w strunie. Częstości rezonansowe
Struna napięta pomiędzy dwoma
uchwytami i wprawiona w drgania w
postaci fali stojącej
RHW rys. 17.21
a)
Ton podstawowy struny –
najprostszy możliwy kształt: 1 pętla 2
węzły i 1 strzałka
b)
Druga harmoniczna - kształt zawiera 2
pętle (3 węzły i 2 strzałki)
c)
Trzecia harmoniczna – kształt zawiera
3 pętle (4 węzły i 3 strzałki)
Częstotliwość tonu podstawowego struny:
v
v
f  
 2L
17
Interferencja fal (VII)
Fale stojące w strunie.
Przykład 17.7
Strunę umocowaną z jednej strony do wibratora sinusoidalnego P i
przerzuconą z drugiej strony przez wspornik Q, obciążono klockiem o
masie m. Odległość między punktami P i Q wynosi
L = 1.2 m.
Liniowa gęstość struny m = 1.6 g/m, a częstotliwość wibratora wynosi f
= 120 Hz .
a)
Przy jakiej masie klocka wibrator może wzbudzić w tej strunie
czwartą harmoniczną?
b)
Przyjmij, że masa klocka wynosi 1 kg. Czy w takim przypadku
wibrator może wzbudzić w tej strunie falę stojącą?
18
Zjawisko Dopplera (I)
Zjawisko Dopplera jest efektem charakterystycznym dla wszystkich
rodzajów fal. Polega ono na tym, że obserwator odbiera falę o innej
częstotliwości niż fala emitowana przez źródło, jeżeli obserwator i źródło fali
poruszają się względem siebie.
Jeśli obserwator i źródło zbliżają się do siebie, obserwator rejestruje
częstość wyższą od emitowanej przez źródło, natomiast w przypadku gdy
obserwator i źródło oddalają się od siebie częstość rejestrowana przez
obserwatora jest niższa od tej emitowanej przez źródło.
Zjawisko to zostało przewidziane przez J.Ch. Dopplera w 1842 r.,
następnie potwierdzone doświadczalnie przez B. Ballota w 1845 r.
f ' f
v  vD
v  vS
a
- częstotliwość rejestrowana przez obserwatora
19
Zjawisko Dopplera (II)
Przypadek: obserwator zbliża się do
nieruchomego źródła (I)
20
Zjawisko Dopplera (III)
Przypadek: obserwator zbliża się do
nieruchomego źródła (II)
Częstotliwość fali rejestrowana przez
obserwatora jest równa ilości
powierzchni falowych docierających do
niego w jednostce czasu.
(vt  vD t ) / 
v  vD
f '
 f
t
v
Częstotliwość rejestrowana przez
obserwatora gdy zbliża się on do źródła z
prędkością vD
f ' f
v  vD
v
Częstotliwość rejestrowana przez
obserwatora oddalającego się od źródła z
21
prędkością v .
Zjawisko Dopplera (IV)
Przypadek: źródło fali zbliża się do
nieruchomego obserwatora
f ' f
v
v  vS
Częstotliwość rejestrowana
przez obserwatora gdy
źródło zbliża się do niego z
prędkością vS
22
Zjawisko Dopplera (V)
Przykład 18.8
Rakieta leci z prędkością 242 m/s w kierunku nieruchomego masztu
emitując fale dźwiękowe o częstotliwości f = 1250 Hz. Zakładamy, że
prędkość dźwięku w powietrzu jest równa v = 343 m/s
a)
Oblicz częstotliwość f’ zarejestrowana przez detektor przymocowany
do masztu.
b)
Część dźwięku odbija się i powraca do rakiety jako echo. Jaką
częstotliwość f’’ tego echa zarejestruje detektor umieszczony w
rakiecie?
23
Prędkości naddźwiękowe. Fala
uderzeniowa
a)
vS
Ma 
v
- Liczba Macha
v
sin  
vS
24