Wstęp do optyki współczesnej Krystyna Kolwas
Download
Report
Transcript Wstęp do optyki współczesnej Krystyna Kolwas
Wstęp
do
optyki współczesnej
Krystyna Kolwas
Instytut Fizyki PAN, ON2.2
Budynek VIII, pokój 4.
www.ifpan.edu.pl/ON-2/on22/staff/kolwak.html
Wstęp
do
optyki współczesnej
Indeks terminów i nazw dotychczas
omówionych:
doświadczenie Michelsona-Morleya,
doświadczenie Younga,
prawo Snella,
zasada Huygensa,
Fale
Fale podłużne a fale
poprzeczne
zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni.
poprzeczne :
podłużne :
kierunek drgań jest
prostopadły do kierunku
rozchodzenia się fali
(np. fala elektromagnetyczna)
drgania odbywają się w
kierunku równoległym do
kierunku jej rozchodzenia
się (np. fala dźwiękowa, fale
trzęsień Ziemi, fale p)
Fale podłużne a fale
poprzeczne
zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni.
poprzeczne :
podłużne :
kierunek drgań jest
prostopadły do kierunku
rozchodzenia się fali
(np. fala elektromagnetyczna)
drgania odbywają się w
kierunku równoległym do
kierunku jej rozchodzenia
się (np. fala dźwiękowa, fale
trzęsień Ziemi, fale p)
Fale podłużne a fale
poprzeczne
zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni.
poprzeczne :
podłużne :
kierunek drgań jest
prostopadły do kierunku
rozchodzenia się fali
(np. fala elektromagnetyczna)
drgania odbywają się w
kierunku równoległym do
kierunku jej rozchodzenia
(np. fala dźwiękowa, fale
gęstości, fale trzęsień Ziemi,
fale p)
Przykłady fal
(modelowanie)
na siatce 2D:
fala poprzeczna
fala płaska:
fala kołowa
fale podłużna:
Przykłady fal
(modelowanie)
na siatce 2D:
fala poprzeczna
fala płaska:
fala kołowa
fale podłużna:
Przykłady fal
(modelowanie)
na siatce 2D:
fala poprzeczna
fala płaska:
fala kołowa
fale podłużna:
Przykłady fal
(modelowanie)
na siatce 2D:
fala poprzeczna
fala płaska:
fala kołowa
fale podłużna:
Przykłady fal
(modelowanie)
Impuls wędrujący wzdłuż struny
zamocowanej z dwóch stron
Fala stojąca
Paczka falowa (suma wielu fal)
(mechanika kwantowa!)
Przykłady fal:
* Fale morskie czy oceaniczne: zaburzenie propagujace się w wodzie
* Fale elektromagnetyczne: mogą propagować się w próżni (c=299 792 458m/s)
* Fale dźwiękowe — fale mechaniczne propagujace się w gazach, cieczach i
ciałach stałych
* Fale sejsmiczne (3 typy: S, P i L)
* Fale grawitacyjne – nieliniowe fluktuacje w krzywiźnie czasoprzestrzeni,
przewidziane w Ogólnej Teorii Względności, nie wykryte w doświadczeniach
* Wewnętrzne fale w wirujących cieczach (efekt Coriolisa)
Równanie falowe
Jednowymiarowe skalarne równanie falowe (wyprowadzimy je z
równań Maxwella) funkcji f:
2f
x2
1 2f
v2 t 2
0
Skalarne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu,
opisujące propagację różnorodnych fal (elektromagnetycznych,
dźwiękowych, fal powierzchniowych).
Fale elektromagnetyczne (w tym pole elektryczne E fali świetlnej)
są rozwiązaniem równania falowego z v = c.
Równanie falowe
Jednowymiarowe skalarne równanie falowe posiada proste rozwiazanie:
f ( x, t ) f ( x vt )
gdzie f (u) może być dowolną funkcją podwójnie różniczkowalną.
Fale: parametryzacja
Najbardziej elementarna funkcja jednowymiarowa spełniająca równanie falowe:
E(x,t) = E
A0 cos[(k x – w t ) – ]
A - amplituda
- faza początkowa (faza absolutna)
=0
= 3/2
p
Fale: parametryzacja
Najbardziej elementarna funkcja jednowymiarowa spełniająca równanie falowe:
E(x,t) = E
A0 cos[(k x – w t ) – ]
A - amplituda
- faza początkowa
p
Oscylacje w czasie i przestrzeni
Długość fali
E(x,t) = A cos[(k x – w t ) – ]
długość fali
Amplituda
Fala harmoniczna:
wektor falowy: k = 2p/
liczba falowa: 1/
Zmiana w ośrodku niejednorodnym
z tłumieniem
Amplituda
Amplituda
ulega skróceniu w ośrodku o wyższym n
okres fali
częstość kołowa: w=2p/
częstość:
=1/
w pewnym
momencie czasu
Fala harmoniczna
E(x,t) = A cos[(k x – w t ) – ]
wielkości przestrzenne:
Amplituda
długość fali
wektor falowy: k = 2p/
liczba falowa: 1/
wielkości czasowe:
Amplituda
okres fali
częstość kołowa: w=2p/
częstość: =1/
Prędkość fazowa
długość fali
Z jaką prędkością
przemieszcza się fala?
Prędkość fazowa:
prędkość z jaką rozchodzą się miejsca fali o tej samej fazie:
vp = / T , lub:
vp = w / k
W ośrodkach prędkość fazowa fali może być różna dla różnych
częstotliwości. Mówi się wówczas, że dla tych fal zachodzi
dyspersja; wówczas:
w = w(k).
Wówczas przemieszczanie się paczki falowej złożonych z fal o różnych w opisuje dodatkowa
wielkość: prędkość grupowa
Prędkość fazowa fali
długość fali
Z jaką prędkością
przemieszcza się fala?
Prędkość fazowa:
prędkość z jaką rozchodzą się miejsca fali o tej samej fazie:
vp = / T , lub:
vp = w / k
W ośrodkach prędkość fazowa fali może być różna dla różnych
Nie wystarczy,
by opisać
częstotliwości.
Mówi się wówczas,
że dlafale
tych bardziej
fal zachodzi
dyspersja; wówczas:
złożone!
w = w(k).
Wówczas przemieszczanie się paczki falowej złożonych z fal o różnych w opisuje dodatkowa
wielkość: prędkość grupowa
Prędkość fazowa fali
-nie wystarczy, by
opisać fale bardziej
złożone!
długość fali
prędkość z jaką rozchodzą się miejsca fali o tej samej fazie:
vp = / T , lub:
vp = w / k
Na przykład: W ośrodkach dyspersyjnych:
w = w(k).
Przemieszczanie się paczki falowej złożonych z fal o różnych w opisuje
dodatkowa wielkość: prędkość grupowa
W ośrodku dyspersyjnym:
fale harmoniczne o różnych częstościach rozchodzą się z
różnymi prędkościami.
Każda ze składowych harmonicznych
rozchodzi się ze zwykłą prędkością fazową
(falową):
vp = w / k,
natomiast paczka fal jako całość przesuwa
się z prędkością
vg vp.
Falę taką opisać możemy jako
falę harmoniczną o zmieniającej się
(modulowanej) amplitudzie;
prędkość rozchodzenia się grzbietów
zawierających
częstości
z
modulacji to prędkość
grupowa:
Fala będąca paczką fal
pewnego przedziału będzie więc zmieniać swój kształt.
vg = dw/dk .
W ośrodku dyspersyjnym:
fale harmoniczne o różnych częstościach rozchodzą się z różnymi
prędkościami. Fala będąca paczką fal zawierajacych częstości z pewnego
przedziału będzie więc zmieniać swój kształt.
Każda ze składowych harmonicznych
rozchodzi się ze zwykłą prędkością fazową
(falową):
vp = w / k,
natomiast paczka fal jako całość przesuwa
się z prędkością
vg vp.
Falę taką opisać możemy jako
falę harmoniczną o zmieniającej się
(modulowanej) amplitudzie;
prędkość rozchodzenia się grzbietów
modulacji to prędkość grupowa:
vg = dw/dk .
W ośrodku dyspersyjnym:
fale harmoniczne o różnych częstościach rozchodzą się z różnymi
prędkościami. Fala będąca paczką fal zawierajacych częstości z pewnego
przedziału będzie więc zmieniać swój kształt.
Każda ze składowych harmonicznych
rozchodzi się ze zwykłą prędkością fazową
(falową):
vp = w / k,
natomiast paczka fal jako całość przesuwa
się z prędkością
vg vp.
Falę taką opisać możemy jako
falę harmoniczną o zmieniającej się
(modulowanej) amplitudzie;
prędkość rozchodzenia się grzbietów
modulacji to prędkość grupowa:
vg = dw/dk .
Prędkość grupowa
Dla fali harmonicznej o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie prędkość grupowa
jest prędkością obwiedni fali nośnej.
E (t ) E0 ( z v g t ) exp[ i (kz v pt )]
Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową.
Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową.
vgg
vpp
vg dw /dk
Prędkość grupowa
a dyspersja ośrodka: n(w)
vg dw /dk
Częstość fali harmonicznej w jest taka sama w rozważanym ośrodku, jak i
poza nim, ale k = k0 n,
k0 jest wektorem falowym w próżni,
n(w) jest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od
ośrodka.
1
Tak więc wygodnie jest pomyśleć o w jako o zmiennej vniezależnej:
g dk / d w
Mamy więc:
pochodna k:
k = w n(w) / c0,
dk /dw = ( n + w dn/dw ) / c0
vg c0 / ( n + w dn/d
w) = (c0 /n) / (1 + w /n dn/dw )
w dn
vvg =vw/ / 1k+= c0 /n,
vg = c0 / (n + w dn/dw)
n dw
Ostatecznie:
Prędkość grupowa
a dyspersja ośrodka: n(w)
vg dw /dk
Częstość fali harmonicznej w jest taka sama w rozważanym ośrodku, jak i
poza nim, ale k = k0 n,
Tak więc wygodnie jest pomyśleć o w jako o zmiennej niezależnej:
Mamy więc:
pochodna k:
k = w n(w) / c0,
dk /dw = ( n + w dn/dw ) / c0
v g dk / dw
1
vg c0 / ( n + w dn/dw) = (c0 /n) / (1 + w /n dn/dw )
v = w / k = c0 /n,
Ostatecznie:
w dn
v g v / 1 +
vg = c0 / (n + w dn/dw)
n dw
Prędkość grupowa
a dyspersja ośrodka: n(w)
vg dw /dk
Częstość fali harmonicznej w jest taka sama w rozważanym ośrodku, jak i
poza nim, ale k = k0 n,
Tak więc wygodnie jest pomyśleć o w jako o zmiennej niezależnej:
Ponieważ:
k = w n(w) / c0,
pochodna k:
dk /dw = ( n + w dn/dw ) / c0
v g dk / dw
1
vg c0 / ( n + w dn/dw) = (c0 /n) / (1 + w /n dn/dw )
v = w / k = c0 /n,
Ostatecznie:
w dn
v g v / 1 +
vg = c0 / (n + w dn/dw)
n dw
Prędkość grupowa
a dyspersja ośrodka: n(w)
vg dw /dk
Częstość fali harmonicznej w jest taka sama w rozważanym ośrodku, jak i
poza nim, ale k = k0 n,
Tak więc wygodnie jest pomyśleć o w jako o zmiennej niezależnej:
Ponieważ:
k = w n(w) / c0,
pochodna k:
dk /dw = ( n + w dn/dw ) / c0
v g dk / dw
1
vg c0 / ( n + w dn/dw) = (c0 /n) / (1 + w /n dn/dw )
v = w / k = c0 /n,
Ostatecznie:
w dn
v g v / 1 +
vg = c0 / (n + w dn/dw)
n dw
Prędkość grupowa
a dyspersja ośrodka: n(w)
vg dw /dk
Częstość fali harmonicznej w jest taka sama w rozważanym ośrodku, jak i
poza nim, ale k = k0 n, gdzie k0 jest wektorem falowym w próżni i n jest
parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka.
Tak więc wygodnie jest pomyśleć o w jako o zmiennej niezależnej:
v g dk / dw
vg = v
Ponieważ:
k = w n(w) / c0,
pochodna k:
dk /dw = ( n + w dn/dw ) / c0
1
vg c0 / ( n + w dn/dw) = (c0 /n) / (1 + w /n dn/dw )
v = w / k = c0 /n,
Ostatecznie:
w dn
v g v / 1 +
vg = c0 / (n + w dn/dw)
n dw
Tak więc prędkość grupowa równa jest prędkości fazowej, gdy
dn/dw = 0,
(brak dyspersji, tak jak np. w próżni).
Dyspersja prędkości grupowej a
impulsy światła
Impuls światła jest szeroki spektralnie (zawiera wiele częstości).
Prędkość grupowa będzie różna dla różnych długości światła.
czasowy
początek
impulsu
czasowy
koniec
impulsu
vgr(żółta) < vgr(czerwona)
Ponieważ ultrakrótkie impulsy laserowe zawierają szeroki zakres długości
fal, dyspersja prędkości grupowej stanowi poważne wyzwanie, które nie
istnieje w przypadku pracy z laserem o pracy ciągłej (CW).
Dyspersja prędkości grupowej jest szkodliwa
w układach telekomunikacyjnych:
Ciąg impulsów wchodzących
Dyspersja sprawia, że
impulsy rozciągają się w
czasie.
Wiele kilometrów światłowodu
Dyspersja narzuca długości fal,
dla których transmisja
systemów telekomunikacyjnych
jest możliwa oraz stawia
wysokie wymagania na
parametry światłowodów
(kompensacja dyspersji).
Ciąg impulsów wychodzących
Czy można:
• zatrzymać światło?
• przyspieszyć światło?!?
Prędkość grupowa
a dyspersja ośrodka
Prędkość grupowa jest mniejsza niż prędkość fazowa w obszarach
W szkle światło porusza się z prędkościa ok. 60% predkości c0.
częstości, dla których dany ośrodek nie absorbuje światła.
vg = c0 / (n + w dn/dw)
Współczynnik załamania n
W obszarach „normalnej” dyspersji ośrodka, dn/dw jest dodatnie. Tak
więc vg < c0 dla tych częstości.
W szkle światło porusza się z prędkościa ok.60% predkości c0.
Obszary dyspersji anomalnej
Dyspersja
normalna
Dyspersja
normalna
Dyspersja
normalna
Prędkość grupowa
a dyspersja ośrodka
A co się dzieje w obszarze anomalnej dyspersji?
vg = c0 / (n + w dn/dw)
Współczynnik załamania n
dn/dw jest ujemn. Tak więc vg może przewyższy c0 dla tych częstości!
Prędkość grupowa może przekroczyć c w ośrodku w obszarze
anomalnej dyspersji !!!
Obszary dyspersji anomalnej
vg < c0
vg < c0
Dyspersja
normalna
Dyspersja
normalna
vg < c0
Dyspersja
normalna
Ale w rejonach tych absorpcja jest duża, a dn/dw < 0 w wąskich przedziałach
częstości (schodek), tak wiec osiągniecie vg > c0 nie jest trywialne
(np. w doświadczeniach z impulsami, które zawierają szerokie spektrum częstości)
Czy można pokonać prędkość światła?
Współczynnik załamania
Współczynnik absorpcji
Aby prędkość grupowa mogła być większa, niż prędkość c0, musimy
dysponować ośrodkiem o ujemnej dyspersji dn/dw w dostatecznie dużym
obszarze częstości. Nachylenie zależności nie powinno by zbyt strome,
a absorpcja powinna być jak najmniejsza.
Trick: przygotować ośrodek przez uprzednie rezonansowe wzbudzenie
impulsem światła laserowego. Impuls świetlny „napompuje” układ
stwarzając warunki dla wzmocnienia światła w miejsce absorpcji;
odwrócenie krzywej). Między dwoma rezonansami powstanie obszar o
minimalnej absorpcji i prawie liniowym, ujemnym nachyleniu:
Nachylenie
zbyt duże
Obszar
przydatny
Nachylenie
zbyt małe
2
Czy można pokonać prędkość światła?
Współczynnik załamania
Współczynnik absorpcji
Aby prędkość grupowa mogła być większa, niż prędkość c0, musimy
dysponować ośrodkiem o ujemnej dyspersji dn/dw w dostatecznie dużym
obszarze częstości. Nachylenie zależności nie powinno by zbyt strome,
a absorpcja powinna być jak najmniejsza.
Trick: przygotować ośrodek przez uprzednie rezonansowe wzbudzenie
impulsem światła laserowego. Impuls świetlny „napompuje” układ
stwarzając warunki dla wzmocnienia światła w miejsce absorpcji;
odwrócenie krzywej). Między dwoma rezonansami powstanie obszar o
minimalnej absorpcji i prawie liniowym, ujemnym nachyleniu:
Nachylenie
zbyt duże
Obszar
przydatny
Nachylenie
zbyt małe
2
Prędkość grupowa (vg)
a prędkość fazowa (v)
vg 0
v g < v
v g v
v 0
v g v
v g v
Zadania:
1. Wykaż, że gdy funkcja f (x) spełnia równanie
falowe, funkcja f (x ± vt) również spełnia równanie
falowe.
2. Sprawdź poprawność związków między
prędkością fazową i prędkością grupową:
Przedyskutuj ten związek dla ośrodków
posiadających dyspersję czasową (w ośrodkach
takich częstość w zależy od długości fali ).
Opis fal przy pomocy liczb zespolonych
Pole elektryczne fali świetlnej o częstości w :
E(x,t) = A cos(kx – wt – )
Ponieważ exp(ij) = cos(j) + i sin(j) (formuła Eulera ):
E(x,t) = Re { A exp[i(kx – wt – )] }
lub
E(x,t) = 1/2 A exp[i(kx – wt – )] + c.c.
Często
wyrażenia te są
zapisywane bez
½, Re, or +c.c.
gdzie "+ c.c." oznacza "plus oznacza sprzężenie zespolone
wszystkiego, co jest przed plusem.
Możemy wygodnie różniczkować exp(ikx):
Opis fal przy pomocy liczb zespolonych
Pole elektryczne fali świetlnej o częstości w :
E(x,t) = A cos(kx – wt – )
Ponieważ exp(ij) = cos(j) + i sin(j) (formuła Eulera ):
E(x,t) = Re { A exp[i(kx – wt – )] }
lub
E(x,t) = 1/2 A exp[i(kx – wt – )] + c.c.
Często
wyrażenia te są
zapisywane bez
½, Re, or +c.c.
gdzie "+ c.c." oznacza "plus oznacza sprzężenie zespolone
wszystkiego, co jest przed plusem.
Możemy wygodnie różniczkować exp(ikx):
Opis fal przy pomocy liczb zespolonych
Pole elektryczne fali świetlnej o częstości w można opisać:
E(x,t) = A cos(kx – wt – )
Ponieważ exp(ij) = cos(j) + i sin(j) (formuła Eulera ):
E(x,t) = Re { A exp[i(kx – wt – )] }
lub
E(x,t) = 1/2 A exp[i(kx – wt – )] + c.c.
gdzie "+ c.c." oznacza "plus oznacza sprzężenie zespolone
wszystkiego, co jest przed plusem.
Możemy wygodnie różniczkować exp(ikx):
Przypomnienie: liczby zespolone
Każdą liczbę zespoloną z, można zapisać:
Tak więc:
z = Re{ z } + i Im{ z }
Re{ z } = 1/2 ( z + z* )
i
Im{ z } = 1/2i ( z – z* )
gdzie z* jest liczbą sprzężoną liczby z ( i –i )
Wielkość | z | (moduł), liczby zespolonej:
| z |2 = z z* = Re{ z }2 + Im{ z }2
Liczbęz zapisać można w postaci polarnej: A exp(ij). gdzie:
A2 = Re{ z }2 + Im{ z }2
tan(j) = Im{ z } / Re{ z }
Przypomnienie: liczby zespolone
Każdą liczbę zespoloną z, można zapisać:
Tak więc:
z = Re{ z } + i Im{ z }
Re{ z } = 1/2 ( z + z* )
i
Im{ z } = 1/2i ( z – z* )
gdzie z* jest liczbą sprzężoną liczby z ( i –i )
Wielkość | z | (moduł), liczby zespolonej:
| z |2 = z z* = Re{ z }2 + Im{ z }2
Liczbę z zapisać można w postaci polarnej: A exp(ij).
A2 = Re{ z }2 + Im{ z }2
tan(j) = Im{ z } / Re{ z }
z
Fale zapisane przy pomocy
zespolonych amplitud
W opisie fal wygodnie jest dopuścić zespolone amplitudy:
E ( x, t A exp i ( kx w t
E ( x, t A exp(i ) exp i ( kx w t
Szybko-zmienne części zostały odseparowane od części stałych w czasie.
W wyniku otrzymujemy „zespolone amplitudy":
Tak więc:
E0 A exp(i )
(note
uwagathe
na " ~ ")
E ( x, t E0 exp i ( kx w t
Pole tak zapisane jest
całkowicie zespolone!
Jak odróżnić, E0 jest rzeczywiste, czy zespolone?
Nie wszyscy używają znaczka "~", by oznaczyć zespoloność
amplitudy. Lepiej jest zawsze założyć, że jest zespolona.
Fale zapisane przy pomocy
zespolonych amplitud
W opisie fal wygodnie jest dopuścić zespolone amplitudy:
E ( x, t A exp i ( kx w t
E ( x, t A exp(i ) exp i ( kx w t
Szybko-zmienne części zostały odseparowane od części stałych w czasie.
W wyniku otrzymujemy „zespolone amplitudy":
Tak więc:
E0 A exp(i )
(note
uwagathe
na " ~ ")
E ( x, t E0 exp i ( kx w t
Pole tak zapisane jest
całkowicie zespolone!
Jak odróżnić, E0 jest rzeczywiste, czy zespolone?
Nie wszyscy używają znaczka "~", by oznaczyć zespoloność
amplitudy. Lepiej jest zawsze założyć, że jest zespolona.
Fale zapisane przy pomocy
zespolonych amplitud
W opisie fal wygodnie jest dopuścić zespolone amplitudy:
E ( x, t A exp i ( kx w t
E ( x, t A exp(i ) exp i ( kx w t
Szybko-zmienne części zostały odseparowane od części stałych w czasie.
W wyniku otrzymujemy „zespolone amplitudy":
Tak więc:
E0 A exp(i )
(note
uwagathe
na " ~ ")
E ( x, t E0 exp i ( kx w t
Pole tak zapisane jest
całkowicie zespolone!
Jak odróżnić, E0 jest rzeczywiste, czy zespolone?
Nie wszyscy używają znaczka "~", by oznaczyć zespoloność
amplitudy. Lepiej jest zawsze założyć, że jest zespolona.
Liczby zespolone w optyce ułatwiają życie
Dodawanie fal o tych samych częstościach i różnych fazach
początkowych daje falę o tej samej częstości.
Nie jest to takie oczywiste w zapisie z użyciem funkcji
trygonometrycznych, a jest natychmiastowe z użyciem eksponensów:
Etot ( x, t ) E1 exp i(kx w t ) + E2 exp i(kx w t ) + E3 exp i (kx w t )
( E1 + E2 + E3 ) exp i(kx w t )
gdzie wszystkie fazy początkowe zostały włączone w E1, E2, i E3.
Fala płaska: E0 exp[i(k r wt )]
Jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe
(powierzchne jednakowej fazy) tworzą równoległe do siebie
płaszczyzny. Wypełniają one całą przestrzeń.
Płaszczyzny frontów
falowych fal
elektromagnetycznych
wędrują w próżni z
prędkością światła.
Płaszczyzny frontów falowych są odległe
o długość fali.
Są one prostopadłe do kierunku
propagacji.
Na oznaczenie fali
płaskiej zazwyczaj
rysujemy linie.
Wiązka laserowa a fala płaska
Płaszczyźniane fronty falowe fali płaskiej
wypełniają całą przestrzeń. Fala płaska niesie
więc nieskończoną energię. Fala taka nie
istnieje realnie!
Wiązka lasera jest przestrzennie zlokalizowana. Można ją
przybliżyć jako falę harmoniczną względem czasu z
rozkładem Gaussa w płaszczyźnie frontu falowego.
x2 + y 2
E ( x, y, z, t ) E0 exp
exp[i(kz wt )]
2
w
z
w
y
Zlokalizowane fronty falowe
x
Plamka wiązki
laserowej na
ścianie
Wiązka laserowa a fala płaska
Płaszczyźniane fronty falowe fali płaskiej
wypełniają całą przestrzeń. Fala płaska niesie
więc nieskończoną energię. Fala taka nie
istnieje realnie!
Wiązka lasera jest przestrzennie zlokalizowana. Można ją
przybliżyć jako falę harmoniczną względem czasu z
rozkładem Gaussa w płaszczyźnie frontu falowego.
x2 + y 2
E ( x, y, z, t ) E0 exp
exp[i(kz wt )]
2
w
z
w
y
Zlokalizowane fronty falowe
x
Plamka wiązki
laserowej na
ścianie
Równania Maxwella
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W próżni (w powietrzu):
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],
2
B - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m ],
e0 - przenikalność elektryczna,
m0 - przenikalność magnetyczna,
- operator dywergencji, [1/m],
- operator rotacji, [1/m].
Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali
elektromagnetycznej.
Równania Maxwella
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W ośrodkach liniowych:
sformułowanie „makroskopowe”
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],
B - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m2],
- indukcja elektryczna, [ C / m2]
- natężenie pola magnetycznego, [ A / m ]
er - przenikalność elektryczna ośrodka,
mr - przenikalność magnetyczna ośrodka,
- gęstość prądu swobodnego, [A/m2],
- gęstość ładunku swobodnego, [ C / m3]
- operator dywergencji, [1/m],
- operator rotacji, [1/m].
D e0E + P
Fala elektromagnetyczna w próżni
(powietrzu)
Pola elektryczne i magnetyczne oscylują w tej samej fazie.
Migawka w czasie t:
Kierunek pola elektrycznego, magnetycznego i wektora falowego są
wzajemnie prostopadłe:
EB k
Światło jest nie tylko falą, ale i cząstką.
Fotografie wykonane przy przyciemnianym świetle są bardziej ziarniste.
Jeśli badamy światło bardzo słabe, możemy się przekonać, że składa
się ono z cząstek zwanych fotonami.
Fotony
Foton posiada energię:
i pęd:
Wielkość pędu wynosi:
, gdzie:
h jest stałą Plancka,
k jest wektorem falowym (o liczbie falowej k=2p /, ),
wp/ jest częstością kołową.
Wektor k wskazuje kierunek propagacji.
Fotony
Foton posiada energię:
i pęd:
Wielkość pędu wynosi:
, gdzie:
W pustej przestrzeni foton porusza się z prędkością światła c i
jego energia E i pęd p powiązane są relacją:
E=cp.
Dla porównania, odpowiadający temu związek energii i pędu
dla cząstki posiadającej masę byłby:
E2= (cp)2+(mc2)2
(szczególna teoria względności).
Fotony
Foton posiada energię:
i pęd:
Wielkość pędu wynosi:
, gdzie:
W pustej przestrzeni foton porusza się z prędkością światła c i
jego energia E i pęd p powiązane są relacją:
E=cp.
Dla porównania, odpowiadający temu związek energii i pędu
dla cząstki posiadającej masę byłby:
E2= (cp)2+(mc2)2
(szczególna teoria względności).
Fotony
Foton niesie również moment pędu (spin), który nie zależy od
częstości.
Fotony
Foton niesie również moment pędu (spin), który nie zależy od
częstości.
Długość momentu pędu wynosi
, tak więc jego składowe
mierzone wzdłuż kierunku ruchu (jego skrętności) wynoszą
odpowiednio
.
Wartości te odpowiadają dwóm możliwym stanom polaryzacji
kołowej (lewo- i prawo-skrętnej). Polaryzacja liniowa to
superpozycja tych polaryzacji.
Foton posiada więc spin całkowity (jest bozonem), podlega
więc statystyce Bosego–Einsteina. Dowolna liczba
bozonów może dzielić ten sam stan kwantowy.
Doświadczenia ze zliczaniem fotonów informują
nas o charakterze źródła światła.
Przypadkowe (niespójne) źródła
światła takie jak gwiazdy
(Słońce) i żarówki, emitują
fotony przypadkowo rozłożone
w czasie i statystyce BosegoEinsteina.
Laserowe (spójne) źródła światła,
posiadają bardziej jednorodne
(choć nadal przypadkowe)
rozkłady czasowe o
poissonowskim rozkładzie
prawdopodobieństwa.
BoseEinstein
Poisson
Pęd fotonów w oddziaływaniu z atomami
Jeśli atom emituje foton, podlega odrzutowi w przeciwnym kierunku,
zgodnie z zasada zachowania pędu.
Jeśli atomy zostaną wzbudzone, a następnie emitują światło, wiązka
atomowa stanie się bardziej rozbieżna, niż wiązka atomów przed
wzbudzeniem światłem.
Fotony – ciśnienie światła
Fotony nie mają masy, ale po zaabsorbowaniu przez przekazują swój pęd.
Promieniowanie słoneczne trafiające na Ziemię ma gęstość energii strumienia pola równą 1370
W/m2, więc ciśnienie promieniowania (gdyby zostało całkowicie pochłonięte) wynosi:
P= S/c
P (1400 W/m2)/(3x108 m/s) 5x10-6 Pa << Patm= 105 Pa
Żagle słoneczne, zaproponowane jako metoda napędu misji kosmicznych używałyby ciśnienia
promieniowania Słońca jako siłę napędową.
Ciśnienie promieniowania jest niezaniedbywalne:
•
Odchylanie warkoczy
komet (pozostałe siły są mniejsze)
•
Statek kosmiczny Viking (minąłby
Marsa o 15,000 km)
•
Wnętrz gwiazd
Fotony – ciśnienie światła
Fotony nie mają masy, ale po zaabsorbowaniu przez przekazują swój pęd.
Promieniowanie słoneczne trafiające na Ziemię ma gęstość energii strumienia pola równą 1370
W/m2, więc ciśnienie promieniowania (gdyby zostało całkowicie pochłonięte) wynosi:
P= S/c
P (1400 W/m2)/(3x108 m/s) 5x10-6 Pa << Patm= 105 Pa
Żagle słoneczne, zaproponowane jako metoda napędu misji kosmicznych używałyby ciśnienia
promieniowania Słońca jako siłę napędową.
Ciśnienie promieniowania jest niezaniedbywalne:
•
Odchylanie warkoczy
komet (pozostałe siły są mniejsze)
•
Statek kosmiczny Viking (minąłby
Marsa o 15,000 km)
•
Wnętrza gwiazd
• Spowalnianie atomów światłem lasera
Podstawy chłodzenia i
pułapkowania atomów światłem
laserowym –
Nobel 1997 S.Chu, C.Cohen-Tannoudji, W.Phillips
CHŁODZENIE ATOMÓW FOTONAMI:
atomy sodu:
M=23, = 590 nm
v = 600 m/s (@ 400 K)
po zabsorb. 1 fotonu:
wiązka atomów
wiązka lasera
vR = ħk/M = 3 cm/s
20 000 fotonów do zatrzymania
@ I = 6 mW/cm2
1 atom
czas zatrzymania:
1 ms
droga hamowania:
0,5 m
przyspieszenie: 106 m/s2
p
=
ħ kabs -
ħ kem = N ħ kL – 0
Pułapki magneto-optyczne umożliwiają
ochłodzenie chmury (gazu) neutralnych
atomów do temperatur rzędu 100µK
PUŁAPKA MOT
IF PAN
IF PAN (M. Głóź)
IF UW (W. Gawlik)
Laboratorium FAMO (Toruń)
Chmura zimnych atomów
Rb w centrum pułapki
Photons
"What is known of [photons] comes from observing the
results of their being created or annihilated."
Eugene Hecht
Można powiedzieć, że zdanie to jest słuszne nie tylko dla
fotonów, ale dla wszystkiego, co jesteśmy w stanie
zaobserwować. Nasz ogląd świata jest wynikiem kreowania i
anihilowania fotonów, czyli sposobu, w jaki światło oddziałuje z
materią.
Fale
Fale podłużne a fale poprzeczne
Równanie falowe, fala harmoniczna
Prędkość fazowa i grupowa
Jak pokonać prędkość światła
Opis fal przy pomocy liczb zespolonych
Fala płaska
Równania Maxwella
Fale elektromagnetyczne
Fotony
Spin
Ciśnienie światła; wiatr słoneczny
Chłodzenie atomów
Zadania
Indeks haseł dotychczas omówionych:
•
•
•
•
doświadczenie MichelsonaMorleya,
doświadczenie Younga,
prawo Snella,
zasada Huygensa
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Chłodzenie atomów światłem
laserowym
Ciśnienie światła
Dyspersja (czasowa)
Dyspersja prędkości grupowej
Fala elektromagnetyczna
Fale podłużne
Fale poprzeczne
Prędkość fazowa
Prędkość grupowa
Równania Maxwella w próżni
Równania Maxwella w
ośrodkach materialnych
Równanie falowe skalarne
Spin fotonu
Światło jako fala
elektromagnetyczna
Światło jako strumień fotonów
Dziękuję za uwagę
Zadania:
1. Wykaż, że gdy funkcja f (x) spełnia
równanie falowe, funkcja f (x ± vt) również
spełnia równanie falowe.
2. Sprawdź poprawność związków między
prędkością fazową i prędkością grupową:
1. Proof that f (x ± vt) solves the
wave equation
Write f (x ± vt) as f (u), where u = x ± vt. So u 1 and
x
f f u
x u x
Now, use the chain rule:
2
f f
f 2f
So
2
x u
x
u2
f f u
t u t
2
2f
f
f
f
2
v
v
and
t
u
t2
u2
Substituting into the wave equation:
2f
1 2f
2
2
x
v t2
u
v
t
2f
1 22f
2 v
0
2
2
u
v u