Transcript Zakres ważności Prawa Darcy`ego

OCHRONA WÓD
PODZIEMNYCH
Wykład nr 10
Na podstawie podręcznika
„HYDROGEOLOGIA z podstawami geologii”,
Jerzy KOWALSKI,
WUP, Wrocław 2007
OPRACOWAŁ
dr hab.inż.Wojciech Chmielowski prof.PK
Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej
Zakład Gospodarki Wodnej, PK
DYNAMIKA WÓD
PODZIEMNYCH
1.Liniowe prawo filtracji –
prawo Darcy’ego
2.Zakres ważności prawa
Darcy’ego
Spadek hydrauliczny w ośrodku nasyconym
Siłami czynnymi wywołującymi
ruch cieczy są siłą ciężkości i
siłą ciśnienia.
1
2
zwi
erci
a
dło
wod
Energia masy strumienia w
dowolnym przekroju wynosi:
y gr
unt
owe
dh
j
z1
M  v2
E  E p  EK  M  g  z  p 


2
Ep
energia potencjalna
M
z2
war
s
twa
dl
niep
r
EK
zep
usz
cza
lna
z0
energia kinetyczna
Jeżeli podzielimy poprzednie
równanie przez Mg możemy
energie jednostki masy wyrazić
wysokością słupa cieczy
określającą potencjał elementu
wody,
1
2
zwi
h1
erci
ad
ło w
ody
gru
nto
we j
H
dh
h2
z1
którą nazywamy wysokością
piezometryczną
h
h1
h2
war
stw
dl
a n
iepr
zep
usz
c
zaln
a
z0
z2
p
v2
hz 

  g 2 g
z
 p 


 g 
 v2 


 2 g 
wysokosc polozenia
wysokosc cisnienia
wysokosc predkosci
Transport masy cieczy z
przekroju „A” do przekroju „B”
związany jest z wykonaniem
pracy potrzebnej na
pokonanie sił oporu ruchu.
1
2
h1
zwi
erci
a
dło
wod
y gr
unt
owe
j
Na wykonanie tej pracy
zużyta zostaje część
potencjału strumienia „dh”
dh
h2
z1
h1
h2
war
z0
stw
dl
a n
iepr
zep
usz
cza
lna
z2
W przypadku przepływu
filtracyjnego prędkość
przepływu i wynikająca z
niej energia kinetyczna jest
w porównaniu z energią
potencjalną bardzo mała i
może być pominięta.
W rezultacie równanie bilansu energii
(równanie Bernoulliego ) można zapisać w
postaci:
1
2
h1
zwi
erci
a
dło
wod
y gr
unt
owe
j
dh
h2
z1
p1
p2
z1 
 z2 
 dh
g
g
h1
h2
war
z0
dl
stw
a n
iepr
zep
usz
cza
lna
z2
h1  h2  dh
dh  h2  h1
Stosunek przyrostu
wysokości
piezometrycznej „dh”
do długości przebytej
drogi „dl”
1
2
h1
zwi
erci
ad
ło w
ody
gru
nto
wej
nazywamy spadkiem
dh
hydraulicznym
h2
z1
lub
gradientem
hydraulicznym
h1
war
dl
stw
z0
a n
iepr
zep
usz
cza
lna
h2
z2
dh
I 
  grad h
dl
I   grad H
Prawo
Darcy’ego
dh  h1  h2
Q
A
F
h1
dl
h2
B
Aparat filtracyjny Darcy’ego
dh  h1  h2
Q
A
F
h1
dl
B
h2
Na podstawie badań
laboratoryjnych
przeprowadzonych w pionowym
cylindrze wypełnionym piaskiem
Darcy ( 1856) stwierdził, że
natężenie przepływu Q jest:
proporcjonalne do
powierzchni przekroju
przepływu i różnicy wysokości
piezometrycznej,
a
odwrotnie proporcjonalne do
długości przepływu.
h1  h2
dh
Q  kF 
k F 
 kF I
dl
dl
Q  kF 
dh  h1  h2
h1  h2
dh
k F 
 kF I
dl
dl
Współczynnik proporcjonalności
„k”
nazywamy
współczynnikiem filtracji.
Q
A
F
h1
dl
B
h2
Uwzględniając że
Q
v
F
można zapisać
Q
h1  h2
dh
v k
k 
 kI
F
dl
dl
Prędkość określona wzorem nazywa się prędkością filtracji
(przesączania), a ze wzoru wynika , iż jest ona liniowo zależna od
spadku hydraulicznego, stąd prawo Darcy’go nazywa się liniowym
prawem filtracji.
Współczynnik filtracji charakteryzuje zdolność przesączania wody
będącej w ruchu laminarnym przez skały porowate i jest miarą
przepuszczalności hydraulicznej skał (gruntów).
Przesączanie odbywa się siecią kanalików utworzonych z porów
gruntowych.
Grunt stawia opór przesączającej się wodzie, opór ten i współczynnik
filtracji zależy od właściwości gruntu:
•
rodzaju ośrodka gruntowego
•
porowatości
•
uziarnienia
•
struktury gruntu
właściwości filtrującej cieczy – lepkości.
Współczynnik filtracji jest miarą przepuszczalności wyłącznie dla wody i
nie powinno się go stosować w przypadku innych płynów, do których
odnosi się współcześnie stosowana wersja formuły Darcy'ego.
Jaka jest różnica wysokości
piezometrycznych , jeżeli:
1. Prędkość filtracji = 0,005[m/s],
2. Współczynnik filtracji = 0,5[m/s]
3. Długość przepływu wody =0,5[m]
Q
h1  h2
dh
v k
k 
 kI
F
dl
dl
0,005m s  0,5m s
h1  h2
;
0,5m
h1  h2   0,005m  5 103 m  5m m
http://www.ar.krakow.pl/~pbaran/Text/Wspolczynnik_filtracji.pdf
Analityczne wyprowadzenie Prawa
Darcy’ego
1
p (r )
F
z
O
2
Gr


F
n
p ( r  r )
G
r
r
Fragment gruntu we
współrzędnych
cylindrycznych (z,r)
Prawo Darcy’ego wyraża zasadę równowagi sił działających na ciecz
przy jej przepływie przez ośrodek.
Na ciecz wypełniającą pory elementu objętości ośrodka porowatego
działają wzdłuż dowolnego kierunku „r” następujące siły:
1
p (r )
F
z
O
2
Gr


F
n
p ( r  r )
G
r
r
1. składowa siły ciężkości:
1
p (r )
F
z
O
2

P1  G  cosz, r     g  r  n  F  cosz, r 

Gr
F
n
p ( r  r )
G
r
2. różnica sił ciśnienia
porowego w
przeciwległych powierzchniach elementu
prostopadłych do kierunku „r”
P2  p  r  n  F  pr  r   n  F
r
p    g  h , cisnienie porowe
3. siły oporu ruchu wynikające z tarcia laminarnego. Przyjmujemy, że siła ta jest
proporcjonalna do objętości cieczy i prędkości filtracji
P3  Cr   vr  r  n  F
Cr 
wspolczynnik oporu, zaleznyod wlasciwosci osrodka,
 
lepkosc dynam iczna[ Pa  s ],
predkoscprzeplywu po kierunku " r" [m / s ]
vr 
1
p (r )
F
z
O
2

Gr
Warunek równowagi sił ma postać:

F
n
p ( r  r )
G
r
r
3
P  0
i 1
i
P1
P2
P3
  g  r  n  F  cosz, r    p  r  n  F  p  (r  r )  n  F   Cr   vr   r  n  F   0
Rozwijając w szereg Taylora
wyrażenie
p(r  r )  p(r ) 
oraz uwzględniając
p    g h
p
r
r
otrzymujemy
  g  r  n  F  cosz, r      g  h  r  n  F    g  h  r  n  F  p  r  n  F   Cr   vr   r  n  F   0

  g  cosz, r    p   Cr   vr   0
 r 
r

z   p 



g

    Cr   vr   0 / :   g


r   r 

z
1 p Cr 



 vr  0
r   g r   g
r
cos( z , r )  
z z
r
z
r
r
 g
  p

vr   
 z  
r    g
 Cr 
g
Cr 
Odpowiada współczynnikowi proporcjonalności „k”
(współczynnik filtracji).
 p


 z   h
 g

Odpowiada wysokości piezometrycznej „h”
W konsekwencji otrzymamy wzór identyczny do
wzoru otrzymanego prze Darcy’ego w drodze
eksperymentu
h
vr   k r 
r
1
p (r )
F
z
O
2


F
Gr
n
Współczynnik „kr” oznacza współczynnik
filtracji na kierunku „r”.
p ( r  r )
G
r
r
Z zależności
,że
g 1 g
kr 
 
Cr  Cr v
wynika
r
cos( z , r )  
z z
r
z
r
r
współczynnik filtracji zależy od właściwości
ośrodka określonych przez współczynnik oporu
„Cr” oraz od lepkości cieczy.
Odwrotność współczynnika oporu nazywamy współczynnikiem
przepuszczalności
 
1 2
K
m
Cr
Między współczynnikiem filtracji a przepuszczalności zachodzi
zależność :
g
g
k K
 K

v
1
p (r )
F
z
O
2


F
Gr
n
p ( r  r )
G
r
r
Współczynnik filtracji ma wymiar prędkości,
współczynnik przepuszczalności wymiar
powierzchni.
W praktyce za jednostkę współczynnika
przepuszczalności przyjmuje się 1 darcy (D)
=0,987 *10-8 cm2
r
cos( z , r )  
z z
r
r
r
z
h
vx  k x 
x
W prostokątnym układzie współrzędnych
składowe prędkości w kierunkach x,y,z
wynoszą:
 gh
g
h
kv 
Kk y   K  vz  k z 
y 
z
y
v
Powyżej założono, że ośrodek jest jednorodny ( homogeniczny), co
oznacza ,że wzdłuż dowolnego kierunku wartość współczynnika filtracji
jest stała.
Dla ośrodka niejednorodnego ( we współrzędnych cylindrycznych)

vr   k  h 
r
Kierunek przepływu pokrywa się z linią największego spadku
hydraulicznego, a prędkość filtracji wynosi :

v  k  grad h
Zakres ważności Prawa Darcy’ego
Przy wyprowadzaniu wzoru Darcy’ego w równaniu równowagi sił jako
siłę oporu ruchu uwzględniono siły tarcia laminarnego, wynikające z
lepkości cieczy.
Oznacza to, że prawo Darcy’ego traci swoją ważność wszędzie tam ,
gdzie poza tarciem laminarnym występują dodatkowe siły oporu , w
szczególności siły powierzchniowe ( molekularne), bezwładności
oraz tarcia burzliwego.
OCHRONA WÓD
PODZIEMNYCH
Wykład nr 10
Na podstawie podręcznika
„HYDROGEOLOGIA z podstawami geologii”,
Jerzy KOWALSKI,
WUP, Wrocław 2007
OPRACOWAŁ
dr hab.inż.Wojciech Chmielowski prof.PK
Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej
Zakład Gospodarki Wodnej, PK
DYNAMIKA WÓD
PODZIEMNYCH
1.Liniowe prawo filtracji –
prawo Darcy’ego
2.Zakres ważności prawa
Darcy’ego