Transcript 近代幾何的發展 丘成桐香港中文大學數學科學研究所

几何三十载
丘成桐
香港中文大学
数学科学研究所
一个质点在空间的移动，可以由映射
来描述。它的速度向量是
x : [0,T] ? R3
dx
，它的动能是
dt
E ( x) 
1
2

T
0
dx
dt
2
。
给定空间中两点 p 和 q ，我们考虑所有连接 p 和 q 的质点
路径，其中动能最小的路径就是连结 p 和 q 的直线。
2
假如量度速度向量时不用欧氏度量，而是用随
点变动的内积 < >x，我们还是可以定义动
1 T dx 2
E ( x)  0 dt dt
能
2
。
 g ( x) dx dx
在空间每一点都可以变动的内积，即是说给出了黎曼度量，
i
j
ij
i, j
可以写作一个张量
。
1 T
dxi dx j
E ( x)  0  g ij
dt
而上述的动能可以写成
2
dt dt
。
研究这种内积的几何学叫做黎曼几何，它推广了欧氏几何、3
双曲几何和椭圆几何。
在一般的黎曼几何里，两点 p 和 q 之间可以有超过一条的路径使得 E(x)
是极短的。
事实上这些路径一定是测地线，从球上的北极到南极有无穷多条测地线。
一般来说，很多测地线不是 p 和 q 间最短的线，它们只是局部最短的，即是说
在 [0,T] 的任意一个小的线段上是极短的。
在给定 p 和 q 时，我们考虑一个包括所有曲线的空间：
  

 p ,q  x : 0,1  Mp, x到(0q) 的测地线和其上的Morse
 p, x(1)  q
这个空间的拓朴性质可以由所有的从
index
指标来决定（Morse 指标其实是缩短测地线长度的所有方向的维数），
由?p,q 的拓朴可以推导空间本身的拓朴，这是Bott在古典群上的工作。
4
在上述的讨论里，假如存在势能(potential) V : M ? R 则
能量可以定义为 1 T 2
T
E ( x) 
2
0
dx
dt
dt 

0
V ( x) dt
。
我们也可以类似的讨论。
我们也可以让 p = q ，并且不固定 p 的选取，这时可以得到所有从圆
到 M 上的所有映像的空间，这个空间叫做 ?(M) 。
在研究粒子在固定空间 M 的量子化时，我们考虑 Feyman 积分
exp(  E ( x))


x ( M )
5
由于每一条曲线可以用测地线组成的多边形逼近，上述在 ?(M)
的积分可以用 Gauss 积分的方法得出它的值，它与 Laplace 算子的
行列式有关。在 Rn ， Laplace 算子的定义是
2
2
2



2
2
 x1
 x2
 xn2
这个算子可以推广到一般黎曼流形上。
它是几何、拓朴和数学物理的一个重要桥梁。
在非线性方程的研究中，我们计算线性化算子。往往发现它是某种几
何的 Laplace 算子，因此非线性方程与几何学有密切关系。
6
Laplace 算子的谱在近代几何起着极重要的作用。它们的乘积，
通过重整化后就是 Laplacian 的行列式。现在来看 Laplace 算子的古
典的处理方法。
我们来看一维空间的情形
2
f ( x  y )  f ( x)  y f ( x) 
f ( x ) y
2
f ( x ) y 2
f ( x  y )  f ( x)   y f ( x) 
2
所以
f ( x  y)  f ( x  y)
 f ( x)
2

f ( x )  f ( x ) y 2
2
2
其中 x  x  x  y , x  y  x  x ，当 y 很小时，f? 可以看作 f 的平均
值减 f 的值得出来的算子。
7
一般来说， Laplace 算子可以看作将函
数不断采取平均值的一个算子。
一个古典问题：
在一个领域 ? 的边界上给定一个函数 f ，我们希望将 f 延拓到 ?
里，使得
2
1
E( f )    f
2极小，这叫
Dirichlet 边值问题，这样

得到的 f 叫调和函数，它满足 ? f = 0 。
8
一个构造调和函数的方法为 Perron 方法，就是不断的取函数的局部平
均值， 直至它变为调和函数为止。
以后发现一个更好的办法是解热方程：
我们任意延拓 f 到领域 ? 中，使得我们有给定的在边界上的值，然后解以下的
热方程
 h
 t  h

 h f
 h f


t0
t 0
on

for all
t0
此处 ? 为 Laplace 算子。
这方程描述在时间为零时，热的分布由 f 给出，而到 t > 0 ，则由上述方程的解
给出。
9
当时间趋于无穷时，此问题的解会趋向于一个调和函数，并且保持 f 的边值，因
而解决了 Dirichlet 边值问题。
这个热方程方法在廿世纪下半叶的微分几何中占了很重要的地
位，它给出一个方法将外微分形式渐变为调和形式，因而给出
Hodge 理论一个简单的证明。
这个证明也可以应用于 Atiyah-Singer 指标定理的局部证明。
Atiyah 和 Singer 研究一阶椭圆线性微分算子 D 的解空间的维数。
这个算子有对偶算子 D* ，我们也可考虑它的解空间的维数，
两个维数的差叫做算子 D 的指标。
10
我们考虑算子 exp (-t D*D) – exp (-t DD*) 的迹
(trace)。当时间很大时，它给出算子的指标，但我们
发觉在 0 < t < ? ，它与时间 t 无关，因此它又可在 t ?
0 时计算。
在 t ? 0 ，热方程的核可以用扰动的方法计算出来，它跟空间的曲
率有关，因此指标可由曲率表示，而后者一般可由陈氏类来表
达。
在这个过程中，我们看到两个核函数有重要的消去的性质，当参
数大和参数小时不变，因此描述量子力学的指标虽然在参数大
时计算，但它与参数小的古典几何的曲率得出来的陈氏类是一
11
这个方法由 Witten 和其它作者推广到更一般的超对
称的算子的计算中。近年的弦理论的对偶性理论与
这些消去性有关，我们发现有些很难计算的量子场
论的量（往往与几何有关），可以变成扰动性的计
算（强藕合与弱藕合对称），以后所谓镜对称与这
个推导有关。
镜对称对古典代数几何学有很重要的贡献，它解决了几个古
典问题，例如代数流形上的曲线的数量问题。
12
热方程是抛物方程的一种，它独特的性质是在时间增长时，解
会越来越平均并接近于一个稳定的椭圆方程的解。
举个例子：
x : M ? Rn
是从曲面到欧氏空间的映射。
我们也可以定义它的能量
1
2
E ( x)    x
2M
我们希望固定它的边值 x : ? M ? Rn ，然后不断的连续变换 x 使
得 E(x) 逹到最小值。
13
这个变动可以由热方程逹到
dx
x
dt
这是一个线性方程，不难了解。但是假如我们对 x 加上约束，
要求 x 把 M 映像到 Rn 里的一个固定子流形 N ，可以得到一
个抛物方程，但却是一个非线性抛物方程。一般来说，这个
方程没有光滑的解。
假如有解的话，让时间趋于无穷得到的映射叫做调和映射。
当 M 是二维时，我们对调和影射有比较深入的认识。
14
二维空间在几何学里起着一个很重要的地位。理
由是 E(x) 有保角不变的性质：
我们来看这是甚么意思 ――
在 M 上有黎曼度量 ? gij dxi dxj ，如果有两个向量 (a1, a2, … , am) 和
(b1, … , bm) ，我们定义它们的内积为 ? gij ai bj 。因此它们的夹角的
余弦为
a, b
 gij ai b j
g
i
ij
a a
j
g
i
ij
b b
j

a b
假如我们将 ? gij dxi dxj 改为 e? ? gij dxi dxj ，这个夹角不变，所以我们
称这种变换为保角变换。
15
上面说的 E(x) 用黎曼度量写成
1 
ij  x  x 
 det ( g ij )
E ( x)     g
i
j 
2 M
x x 
其中 (gij) 为 (gij) 的逆矩阵，而当 gij 变成 e? gij 时， gij 变
成 e-? gij 。
当 M 是二维时，
换下不变。
det 变换成
( g ij )
，因此
e  det
g ij
E(x) 在这个变
这个事实对近代弦论有很重要的影响。
16
这个演讲刚开始时我们研究粒子走出一
条
曲线的轨迹，但是假如粒子本身并非是一点，而
是一条闭面线，则走出的轨迹乃是一个曲面。
闭二维的定向曲面已经在十九世纪全面了解，它由以下曲面得出
球
环
亏格>1的曲面
g=2
17
在球的情形，任何黎曼度量可以保角变换到单位球。
在环的情形，任何黎曼度量可以保角变换到曲率为零的
环：在平面上取平行四边形，然后将对边连接起来。
在亏格g>1时， Poincare 证明任何在这种曲面的黎曼度量可以保
角的变换为曲率等于负一的曲面。
所有曲率负一的曲面可以由 6g - 6 自由度的空间来刻划，此空间
叫做 Teichmuller 空间。
18
这种理论可以与在复变函数论中学过的单值化定理比较：
在 R2 中，任何一个单连通的领域可以保角地映像到单位圆。
比较一般的领域则可以保角的映射到一般如图中的领域
一个很重要的事实是：在曲面上所有黎曼度量通过保角变
换后都有常数的曲率，通过微分同胚后，这种空间是有限维的，
它的维数是 6g-6 。
19
我们考虑二维曲面如何变化到上述曲率为常数的空间。
我们将黎曼度量全部放在一起，然后用一个类似于上述的抛物
型方程来改动黎曼度量
d g ij
dt
 2 K g ij
其中 K 乃是 gij 的曲率（在二维时只有一个曲率）。
Hamilton 和其它工作者证明这个方程有光滑解并当t??，这个解
收敛于 K = 常数的度量，他引进了熵的观念并利用 Li-Yau
不等式。
20
Hamilton 引入的熵基本上是用来控制方程的收敛性，
它随时间而増长，这是由推广 Li-Yau 不等式而得到的。
二维空间的方程由 Hamilton 推广到高维的黎曼空间，其想
法有两个不同的根据。
首先， Einstein 已经知道引力场是由一个类似于黎曼张量
的张量 ? gij dxi dxj 所决定的，引力由整个曲率张量给出。其中
有一部份曲率是由物质的分布给出，这部份的张量叫做 Ricci
张量。
21
假如我们用调和函数做坐标系统，我们发觉
Ricci张量
为 Rij = - ? gij 。
R方程就是
影响几何差不多一百年的 Einstein
Rij  gij  Tij
2
其中 R 是 Rij 的迹 (trace)，而 Tij 则是描写物质分布的张量。
如果没有物质(vacuum) 的话， 可以证明 Rij = 0 。
假如 Einstein 方程中加上 cosmology 常数，在没有物质的情况下会它改
变为
Rij = C gij ，
22
其中 C 是常数。
在黎曼几何学中，研究甚么空间有这种 Einstein 度量是一
个最基本的问题，这个问题可以比喻为在空间上找一个最
和阶的度量。
最简单的 Einstein 度量是常曲率空间，局部来说，它与圆
球、欧氏空间或双曲空间其中一个等价。整体来说，它由离散
群来决定，例如在二维的黎曼曲面上存在曲率等于负一的度量，
它们是 Poincare 圆盘 D 通过 SL (2, R) 中离散子群 ? 作用的商
得出的，它可以写成 D/? 。
23
可以证明在二维或三维空间中， Einstein 空
间一定是常曲率空间。二维空间的拓朴的基本结构
就全部由这些度量来决定。
在三维空间的时候， Thurston 猜测说任何三维空间都是
由有限个拥有简单的黎曼度量的空间联结而成的，其中最基
本的是常曲率空间，其次是一些由二维空间通过圆纤维构造
出来的三维空间。
24
Thurston 猜 测 包 含 了 Poincare 猜
测。 Poincare 在二十世纪初猜测任何
一个单连通的三维空间都与三维球同胚。
单连通的定义是说在此空间中任何一个
闭曲线可以连续收缩成一点。
Thurston 和 Poincare 的猜测可说是三维空间结构的最基本
问题。Thurston 本人研究传统的三维拓朴方法和双曲几何，其
中重要的是 Mostow 刚性定理和黎曼曲面上的曲线分布的理论，
得到漂亮的结构性定理。
25
一九八零年， Hamilton 企图推广 Eells 和 Sampson 在调和映射的
方法到黎曼度量去。他建议对度量做一个抛物方程，很自然
的想到
g ij
  g ij
t
但是右方的 ?gij 在坐标变换后变得没有意义，在调和坐标系
统时它却是 -Rij ，所以代之而考虑
gij
t
  Rij
则是有意义的事情。
26
Hamilton 以深入的分析方法证明：假如始值的 gij
有正定的 Ricci 张量时，上述方程有解，同时在时间趋
于无穷时，收敛于一个常曲率空间。这可以说是近代几
何学上的一个奠基性工作。
在一九八一年，我邀请他到普林斯顿研究所作报告后，
我立时建议多个研究生做这方面的工作，并考虑复几何的相
应情形。在这方面 Bando 和曹怀东都做了重要的工作。
27
在此之前，有不少的几何学家已经考虑平面曲
线的变动问题，每一条曲线都有曲率，我们可沿着
曲线的法方向来推动曲线，推动的速度是它的曲率，
如此得到的方程也是抛物方程与 Hamilton 的方程
极为类似。 Grayson、Hamilton 和 Gage 证明任何
一个光滑的闭曲线可以光滑地变动为圆形的一点。
这个定理就如同 Hamilton 流在二维黎曼曲面一样，在整个
变动的过程中并不出现奇异点。
28
Hamilton 的文章发表以后，
Huisken 在一九八四年发现类似的定理：
在三维欧氏空间里，任何凸闭曲面可以沿着法线，用平
均曲率推动，最后会变成球面形状的点。此处凸曲面与 Ricci
曲率为正的相类似。
假如曲面开始时不是凸的，则可以出现奇异点，并在奇
异点出现后，将曲面分裂。
(1)
(2)
我们叫这个流为平均曲率流。
(3)
29
Hamilton 和我在一九八五年在加州大学共事，他的办公
室在我的办公室旁边。我建议用他的流来解决 Thurston 的
猜 测 ， 一 方 面 与 平 均 曲 率 流 比 较 ， 一 方 面 与 SacksUhlenbech 在二维黎曼曲面上调和映射的 bubbling 过程相
似。但是最令人担心的是分裂时的奇异点如何处理，是否有
无穷多次的分裂，同时分裂后的几何如何处理。
30
为了控制奇异点的性质，我建议 Hamilton 用我和 Peter Li 刚完成的关于
热方程的估值和理论。在几年内，Hamilton 将Li-Yau 估值发展成使我惊异的深入
理论。他在一九九五年发表一篇极为重要的文章，解释 Thurston 的几何分解可以
在控制奇异点的假设下推导出来。这篇文章将整个流的研究带入新的境界。然后，
Hamilton 与我致力于推广类似于 Li-Yau 不等式的估值 ，希望能够用来控制
Hamilton 流的奇异点 。
两年前，Perelman 公布了三篇文章，里面的新想法可以用来处理一些奇异点
的问题， Ricci 流的研究得到极大的进展。
31
虽然如何处理流形分裂后的问题还没有完全解决，
但迄今的累累成果，已经让我们看到几何分析的威力。
除了 Hamilton Ricci 流对几何结构的重要贡献外，我们
也期望与它类似的平均曲率流对拓朴学的贡献，假如
它不产生到奇异点的话，它给出一条自然 (canonical)
路径将曲面变动成球面，存在这种途径叫做 Smale 猜
测（它的拓朴证明由 Hatcher 给出）。
32
值得注意的是在研究 Hamilton 的 Ricci 流时，大量的偏微
分 方 程 的 估 值 问 题 需 要 解 决 。 施 皖 雄 的 博 士 论 文 、 Li-YauHamilton 不等式，和其它有关的非线性估值都占据重要的位置，
在这里也用到极小子流形的理论，有部份是 Schoen-Yau 在解决
正质量猜想时得出的不等式。
事实上在七十年代时 Meeks-Yau 就曾利用极小子流形来解决重要
的三维拓朴问题，在这二十年来拓朴学家利用这个想法得出不
少结果。
这几年来朱熹平和其合作者用 Hamilton 流获得复几何中很
重要的成果，对我作的一个有关的重要猜想的解决推进了一大
步。
33
四维空间的主要工具是 Donaldson 和 Seiberg-Witten 理论。
前者是由 Yang-Mills 理论里面的 self-dual 规范场的模空间得
出拓朴空间的不变量，以后由比较简单的 Seiberg-Witten 方程
简化。这些理论在四维空间有特别意义，其中一个原因是它
的保角不变性。
四维空间有可能存在的一种几何结构叫做辛结构。当存在辛结构时，
Taubes 创造了一个极为重要的理论，他证明了拟全纯曲线的个
数可以用来构造 Seiberg-Witten 拓朴不变量。很多重要的辛几何
定理因此得到证明。从这里也可以看到黎曼曲面和高维拓朴的
关系。
辛几何包含了代数曲面的理论，但是代数曲面的内容丰富得
多，如何去构造代数结构仍是一个重要的命题。
34
四维空间的拓朴结构问题至今仍是数学上一个最困难的问
题。一般来说高维空间的拓朴是用切割空间的方法来进行研究
的。我们希望将拓朴的问题变成代数的问题来处理。例如以同
调群、同伦群和特征类作为基本的计算量，我们希望创造一本
字典使我们能找出空间的一切拓朴性质，而代数的记录方法是
最为明了的。
因此在给定一个代数量时，我们要想办法将它用几何方法
表示出来，例如同调群里面的元素，可以用浸入到空间的子流
形表示。问题是：这些浸入的子流形会自行相交，这些相交的
量有一部份可以用代数方法来代表，我们希望通过一个过程来
变动子流形，使得它的几何相交的点与代数给出的量一样，假
如这个变动成功的话，几何意义则可由代数方法给出。
35
这是微分拓朴学中的一个至为要紧
的方法， Whitney 在研究流形浸入到
但是如何把二维圆盘嵌入四维空间是一个难
欧氏空间时就研究这个问题，他发觉
题（在高维空间时，圆盘可以通过扰动而成
为嵌入的图形）。
可以利用二维圆盘的嵌入来解决其中
的困难。
D
36
近代几何最主要的活动大部份围绕于
带有内对称的结构而开展，一方面要构
造这种结构，一方面要寻找这些结构的
性质。在二维和三维空间，我们大部时
间在寻找常曲率空间的结构，在三维空
间，这些结构与纽结(knot) 的拓朴性质
有关，例如： Chern-Simons 的理论或
Yang-Baxter 理论都有很丰富的内容。
除了这些结构外，二维和三维空间还有
37
举个例子来说，在数学上最重要的模空间
就是由所有在一个二维曲面上的复结构所组
成，就是前面谈到的 Teichmuller 空间，它
的商 (quotient) 叫做曲面的模空间，在代
数几何和近代弦理论起着极为重要的地位。
由于曲面上有不同的结构，因此在模空间上亦有不同的几
何结构，例如它有 Weil-Peterson 的黎曼度量，有 Bergman 度量，
有 Kahler-Einstein 度量等等。这两年来，刘克峰、孙小峯和我
终于搞清楚这些几何中间的关系，这个古典的空间蕴含了种种
不同的讯息，有微分几何的、有代数几何的、有算术几何的、
有弦理论的。
38
近代弦理论将曲线的轨迹看成是一个曲面，
在其上研究整个轨迹的古典Action而加以量
化后，得出极为漂亮的数学理论。最重要的
原动力由弦理论提供，为了对弦振动量子化，
他们提出共形场论的重要性，超对称共形代
数的表示理论提供了极为丰富的数学启示，
很多极为重要的公式，例如 Verlinde 公式，
例如 Witten 在模空间上发现关于陈类积分
的公式，将原来古典的由 Mumford 和其它
39
由于弦理论建基于超对称的存在性，
要求玻子和费子可以对应，所以在曲线
划出的轨迹上，古典的能有玻子和费子
的对称性，量化的结果亦要求时空上有
超对称的观念。基本上我们要求时空有
固 定 的 旋 子 (spinor) （ 它 的 微 分 等 于
零），这种空间或者可以叫做超对称空
间。
40
二十年前就发现我们熟习已久的复几何里面的 Kahler 度量
因此这类空间一般叫做 Calabi-Yau
空 间 （ 它 的 存 在 是 由 Calabi 猜 测
的），这二十年来，这个空间的几何
理论极为丰富，弦论的发展要求这种
空间有所谓镜对称的存在性，一个空
间的量子场论可以与其它完全不同空
间的量子场论等价，从而得出计算这
种场论的方法，在几何学上解决了困
扰代数几何学一百年来的问题。从前
41
除了 Calabi-Yau 空间外，还有两类极为重
要的超对称空间，它们与李群有关，一个是G2，
一个是 Spin(7)。它们的结构还不很清楚，但是
已经有很好的开始，很多几何学家如 Joyce、
Hitchin、梁乃聪、Zaslow、Gukov、Sparks和我
都做了一些贡献，这方面的几何在未来十年应当
会有重要的发展。
42
在研究这些几何时，很重要的工具
是空间里带有超对称的子流形和规范
场，还有他们中间的关系。
例如在 Calabi-Yau 空间的理论里，代数子流形当然是其
中 重 要 的 带 超 对 称 的 子 流 形 ， 还 有 一 类 叫 做 special
Lagrangian 子流形，它在 Calabi-Yau 流形中有结构性的重要。
Strominger-Yau-Zaslow 理论需要它的存在， SYZ 理论已经
得到很多重要的支持，以后会继续发展下去，它以几何的方
法解释了镜对称的来源。
43
在这里值得提出的是在代数几何和算术几何
里面的 Hodge 猜想，这个猜想极为重要，将会
是这个世纪几何上一个重要发展的里程碑。国
内教育部提供大量经费给团队来研究这个问题，
事实上，据我所知，未有国内或国外华裔数学
家真正去考虑过这个问题，我希望国内几何学
家把注意力于在这个重要问题上。
44
黎曼曲面的理论不单在弦理论和高维空间发挥了极大
的功用，在工程问题上也有其着力之处。现在给大家看一
些顾险峰、王雅琳和我在图像处理上的工作，我们大量地
利用了这方面的工具。
45
质
与
量
之
相
成
兮
匪
线
化
之
能
筹
道
深
奥
而
动
心
兮
惟
精
析
之
能
图
惟
对
称
之
内
薀
兮
类
不
变
而
久
悠
时
空
荡
而
物
生
兮
新
数
学
其
始
流
扬
规
范
之
场
论
兮
柘
朴
衰
而
复
留
相
迁
变
而
规
物
兮
几
何
雅
其
远
谋
曲
率
极
而
物
毁
兮
黑
洞
冥
而
难
求
曲
率
浅
而
达
深
兮
时
空
坦
而
寡
愁
岂
原
爆
之
非
妄
兮
实
万
物
之
始
由
临
新
纪
以
展
望
兮
翼
四
力
以
真
求
形
与
美
之
交
接
兮
心
与
物
之
融
流
先
哲
思
而
念
远
兮
奚
术
算
之
久
留
穹
苍
广
而
善
美 几
兮 何
何 颂
天
理
之
悠
悠
46