Transcript 林开亮：华罗庚先生在矩阵论方面的贡献

华罗庚先生在矩阵论方面的贡献
西北农林科技大学 理学院
林开亮
丘成桐对华先生工作的评价
• 中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的主要有三个，当然
我不是说其他工作不存在，主要是讲能够在数学历史上很出名
的有三个：
• 一个是陈省身（1911-2004）教授在示性类方面的工作；
• 一个是华罗庚（1910-1985）在多复变函数方面的工作；
• 一个是冯康（1920-1993）在有限元计算方面的工作。
• 我为什么单讲华先生在多复变函数方面的工作，这是我个人的
偏见。华先生在数论方面的贡献是大的，可是华先生在数论方
面的工作不能左右全世界在数论方面的发展，他在这方面的工
作基本上是从外面（苏联、英国、德国）引进的观点和方法。
可是他在多复变函数方面的贡献比西方至少早了十年，海外的
数学家都很尊重华先生在这方面的成就。
华罗庚跟徐利治谈“看家功夫”
• 华先生很重视做学问需要有“看家功夫”。所谓看家功夫指的
是做科研时必不可少的最基本而有用的本事。据他所说，他扎
实的看家功夫主要来源于三部经典著作。
• 一是 G. Chrystal 的《代数学》（两卷，1886年，1889年，多次
重版）
• 二是 E. Landau 的《数论教程》（三大卷，1927年），
• 三是 W. H. Turnbull 与 A. C. Aitken 合著的《矩阵标准型理论导引》
（1931年出版，1944年再版）。
• 他说，《代数学》使他学会了计算技巧，《数论教程》使他获
得了从事数学研究的分析功底，而《矩阵标准型理论导引》虽
是一本薄薄的书，却是帮助他后来完成矩阵几何和复分析巨大
研究成果的基本工具。
转行：从数论到分析与代数
• 在1940年以前，华罗庚的数学研究主要是
受到 Landau《数论教程》的影响，其成果汇
集成专著《堆垒素数论》；在1940年以后，
对华罗庚影响越来越深的是 Turnbull与Aitken
的《矩阵标准型理论导引》，其影响见于华
罗庚1940年代关于多复变函数与矩阵几何的
多篇论文。
万哲先对华罗庚矩阵论工作的概
括：
• 华罗庚关于矩阵几何和多元复变函数论的研究，
还促使他研究矩阵的分类问题，例如，复对称
矩阵和斜对称矩阵在酉群相合下的分类，一对
Hermite 矩 阵 在 同 时 相 合 下 的 分 类 ， 以 及
Hermite 矩阵在正交群相合下的分类。
• 应该指出，这个概括并不全面，华罗庚在1962
年还发表了两篇中文文章《辛方阵的辛相似》
与《方阵的实相合》，这两篇文章考虑的也是
矩阵分类问题（即标准型问题），而这些结果
华罗庚早在1944-1945年就已经得到。
一个被忽略的贡献：华罗庚链（1947）
• 定理：设 P(n),R(n) 分别表示使得方程
A_i^2=-I ，A_iA_j=-A_jA_i, (i=1,…,r)
在辛群 Sp(n,C)与正交群 O(n,C)中有解的最大整数 r，
Q(n),S(n)分别表示使得方程
B_i^2=I, B_iB_j=-B_jB_i, (i=1,…,r)
在辛群 Sp(n,C)与正交群 O(n,C)中有解的最大整数r。
• 则有以下循环递推关系
• P(2n)=S(n)+2,
• S(2n)=R(n)+2,
• R(2n)=Q(n)+2,
• Q(2n)=P(n)+2.
并且对奇数奇数n_0，我们有以下初始值：
• S(n_0)=1,
• R(n_0)=0,
• R(2n_0)=1,
• Q(2n_0)=1.
【华罗庚原文：L. K. Hua, Geometries of Matrices II. Study of involutions in the
geometry of symmetric matrices, Trans. A. M. S. 61 (1947), 193--228. 】
Hurwitz-Radon 矩阵方程的两种解
法：Hua vs Radon
• 值得注意的是，奥地利数学家J. Radon(18871956)在1920年曾提出一种类似的方案求解A.
Hurwitz（1859-1919）的矩阵问题，但他所给出
的是8个方程构成的链，一个中文介绍见：
• 江上鷗，Hurwitz-Radon问题——等价和约化是处
理数学问题的一种基本方法，《数学通报》，
1964年04期。
辛矩阵在辛相似下的标准型（1945）
• 在复数域内, 大家知有四个主要类型的连续
单群：射影群, 奇数维或偶数维的正交群及
偶数维的辛群。射影群下的相似问题见于
任何的矩阵论教科书上（Jordan标准型理
论）。正交群下的相似问题已为Hilton所解
决。本文的目的在于解决辛群下辛方阵的
相似问题。用几何术语来讲，以下的结果
寻求使基本线丛不变的条件下求出辛变换
的标准型来。
20世纪矩阵标准型理论的两位先
驱：Hua vs Williamson
• 华罗庚之所以迟至1962年才发表他1944-1945年完成的
旧 稿 ， 可 能 是 因 为 ， 他 曾 被 身 为 审 稿 人 的 H. Weyl
（1885-1955） 告知，他的部分工作与 J. Williamson的工
作重合。
• 例如，关于辛矩阵（正则矩阵）的标准型工作。
Williamson的工作在1937年就完成：见 J. Williamson, On
the normal forms of linear canonical transformations in
dynamics, Amer. J. Math., 59 (1937), 599-617.
Williamson
• John Williamson （1901—1949），苏格兰数学家。
1927年，Williamson 在芝加哥大学 L. E. Dickson （18741954）的指导下获得博士学位（而杨武之则在1928年得博士
学位，可以说 Williamson是华罗庚的师伯）。
得到学位之后，Williamson 在霍普金斯大学找到了职位，
当 时 的 数 学 系 主 任 是 F. D. Murnaghan(1873-1976) 。
Murnaghan 对数学物理很有兴趣，他在1930年与1931年又聘
来 与 他 趣 味 相 投 的 A. Wintner(1903-1958) 与 R. E. van
Kampen(1908-1942) 。 这 些 人 的 工 作 特 别 是 Wintner 关 于
Hamilton 系统与微分方程的工作，推动了 Williamson去研究
动力系统中的代数问题，其中有一些可以归结为矩阵的标准
型问题。
从1935年开始，Williamson 考虑了各种类型的矩阵标准型
问题，在1935-1940年间，他平均每年要发表两篇关于这个
主题的论文，这是他的主要数学贡献。
风格之评价
• Williamson受到美国近世代数先驱Dickson的影响，致力于
将问题一般化，考虑的是任意域上的矩阵，因而结果的陈
述及其证明都比较繁琐。因此，他的工作曾被一些后继者
（甚至包括名家L. Hörmander(1931-1012)）改进。
• 华罗庚考虑的仅仅是复数域（偶尔限制于实数域）上的矩
阵，由于代数基本定理成立，保证结果呈现出简洁明了的
形式。华罗庚的相关工作后来在《中山大学学报》重新发
表，也是因为他的表述便于应用，特别是对于中山大学研
究动力系统的胡金昌教授（1906-1976）。但因为是用中
文发表，不为西方所知，甚至国内研究辛几何的专家（如
龙以明教授）也不知道华先生的这一工作。
• Williamson与华罗庚都受到了Turnbull 与 Aitken的《矩阵标
准型理论导引》的强烈影响。事实上， Turnbull 是
Williamson在爱丁堡大学的老师。他们靠的是代数计算。
矩阵标准型理论的两种研究方法：
几何 vs 代数
• 华罗庚与Williamson所采取的是深受Turnbull 与
A. C. Aitken《矩阵标准型理论导引》影响的代数
方法。
• 存在与之平行的一种几何方法，即将矩阵视为线
性变换，采取这个观点研究线性代数的同期代表
人物是E. Artin(1898-1962)与J. Dieudonné(1906-
1992). 后者是华罗庚在典型群方面的主要竞争
对手。他们的差别主要体现在研究手法上：代
数 vs 几何。另一个支持几何方法的代表人物
是周炜良（1911-1995），他1949年关于代数
齐性空间的论文将华罗庚矩阵几何的工作真正
几何化。
两个评论
• E. Artin: 我的经验是，一个用矩阵进行的证
明，如果你抛开矩阵的话，往往可以使这
个证明缩短一半。有时，这一点是办不到
的，你需要计算一个行列式。
• J. Dieudonné: 数学家希望因为他们最难的定
理而被人们记住，但是大多数时候，正是
他们最简单的结果在后人中流传。
一个疑问
• 华罗庚1940年代在与世隔绝的西南联大另起炉
灶，独立于C. L. Siegel（1896-1981）石破天惊
地开创了多复变函数论的研究，有何契机？
• Siegel 1943年的经典论文《辛几何》曾受到E.
Cartan 1935年论文的启发。注意到，E. Cartan
（1869-1951）是陈省身的老师，是否存在这样
的可能：陈省身曾在某个场合，向华罗庚提起
E. Cartan 的相关工作，引发了华罗庚研究多复
变？
【一个支撑材料是：华罗庚在1944年发表的第一
篇多复变论文中曾感谢陈省身向他提供了E.
Cartan 的论文。华罗庚还提到唐培经向他提供了
Georges Giraud的论文，Weyl向他提供了Siegel的
论文。】
参考文献
[1]丘成桐，数学及其在中国的发展，1997年在清华大
学高等研究中心开幕上的讲话，《数学译林》第20卷
（1999年），194--201. 收入王元、杨德庄《华罗庚的
数学生涯》附录一。
[2]徐利治，回忆我的老师华罗庚先生——纪念华老诞
辰90周年，《数学通报》，2000.
[3] 王元，《华罗庚》，开明出版社，1994。
[4]林开亮， 华罗庚关于矩阵标准型的工作介绍， 将
刊登于台湾《数学传播》。
[5] K. L. Lin, Hurwitz-Radon‘s symplectic analogy and
Hua’s cyclic recurrence relation, Electronic Journal of
Linear Algebra, 26 (2013), 858—872.