آزاد سازي لاگرانژ
Download
Report
Transcript آزاد سازي لاگرانژ
(Unit Commitment) در مدار قرار دادن نيروگاهها
G
G
G
G
G
G
G
G
G
تصميم گيري در مورد اينكه كدام واحد بايد توليد كند؟=UC
G
G
G
G
G
G
G
G
G
در طول دوره بهره برداري چه زماني واحدهاي توليد بايد وارد مدار ،و يا از مدار خارج
شوند؟
تابع هدف چيست؟ بهينه نمودن عايدي (هزينه ،سود)
در مدار قرار دادن نيروگاهها )(Unit Commitment
2083
2200
2059.5
2100
2000
1900
1800
1700
1600
1500
1400
1198.5
1300
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
200
0
100
0
ساعت
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
رفتار دوره اي بشر= تغييرات دوره اي نياز مصرف
4
2
0
در مدار قرار دادن نيروگاهها )(Unit Commitment
1859
2000
1846
1900
1800
1700
1600
1500
1400
1300
1035
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
0
0
0
0
22
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
200
0
100
0
ساعت
24
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
UCچيست؟
تعدادي واحد توليد داريم
نياز مصرف براي دوره اي از زمان پيش بيني شده است
عالوه بر هزينه بهره برداري واحدها ،هزينه ها و قيود زير نيز مورد توجه است
هزينه راه اندازي ،هزينه از مدار خارج نمودن واحد ،ذخيره چرخان ،زمان توقف و فعاليت
UCچيست؟
از تعريف اشاره شده بر مي آيد كه نمي توان به راحتي واحدهاي معيني را در
مدار قرار دادو آنها را مورد بهره برداري قرار داد
بنابراين ضروري است كه از قبل تمهيدات الزم براي اين موضوع انديشيده شود
و بر مبناي بار پيش بيني شده و محدوديتهاي موجود ،واحدهايي كه بايد در مدار
قرار گيرند (و آنهايي كه بايد از مدار خارج شوند) تعيين شوند.
هنگامي كه حداقل نمودن هزينه مد نظر است ،واحدهاي ارزان ابتدا وارد مدار
مي شوند
واحدهاي گران ،هنگامي در مدار قرار مي گيرند كه بار زياد باشد
چگونه مسئله UCرا حل مي كنيم؟
اگر واحدي روشن است ،آن را با 1و چنانچه خاموش باشد 0را براي آن در نظر
مي گيريم
بنابراين ،به طريقي تصميم مي گيريم كه براي ساعت بعد تركيب 01101را خواهيم
داشت (براي 5واحد)
براي تركيب اشاره شده ،مسئله EDرا براي واحدهاي 3 ،2و 5حل مي كنيم
براي ساعات بعد نيز ،تركيب هاي مختلف را در نظر مي گيريم
چگونه به تركيب اشاره شده مي رسيم؟
چگونه به تركيب 01101مي رسيم؟
ساده ترين راه :اگر تعداد واحدها كم باشد ،تمامي تركيبات براي ساعت به ساعت
چك شود
براي هريك از تركيبات در يك ساعت خاص ،توزيع اقتصادي بار انجام شود
مثال -سيستم سه واحدي
اگر قرار باشد بار 550مگاوات را تامين كنيم كدام
تركيب را بايد انتخاب كنيم؟
مثال-سيستم سه واحدي
امتحان نمودن تمامي تركيبات
بعض ي از تركيبات غير ممكن ( )Non-feasibleهستند .تركيباتي كه مجموع
توانهاي حداقل واحدها از بار بيشتر است ،يا اينكه مجموعه توانهاي حداكثر واحدها
از بار كمتر است.
بهترين تركيب آن است كه تنها واحد شماره 1در مدار باشد)100( .
مثال
اگر بار از الگويي مطابق شكل مقابل در
دوره اي از زمان برخوردار باشد ،نحوه وارد
و خارج كردن واحدهاي توليد به چه صورت
خواهد بود؟
اقتصادي ترين تركيب را با روش مثال قبل ،براي هر بار بين 1200و 500مگاوت در
پله هاي 50مگاواتي ،مطابق با جدول صفحه بعد تعيين مي كنيم.
مثال
اگر بار باالي 1000مگاوات باشد هر سه
واحد ،باربين 1000و 600مگاوات واحدهاي 1و
،2و براي بارهاي كمتر از 600مگاوات واحد
شماره 1را بايد در مدار قرار داد
تنها قيدي كه در اين بخش مورد توجه بوده
است ،كفايت تعداد واحدهاي توليد مي باشد.
اما در عمل قيود ديگري نيز وجود دارد كه باعث
پيچيده تر شدن مسئله درمدار قرارگرفتن
نيروگاهها مي شوند.
قيود موجود در UC
-1ذخيره چرخان (تفاوت بين ظرفيت بالقوه فعال و مجموع بار و تلفات
سيستم) -در صورت از دست رفتن يك واحد بايد ذخيره كافي بايد در
سيستم به منظور تامين بار در زمان مشخص وجود داشته باشد
ذخيره چرخان ،براساس قواعد خاص ي تعيين مي شود؛
درصدي از اوج مصرف
معادل بزرگترين واحد نيروگاهي
تابعي از اميد از دست رفتن بار (( )LOLPيا احتمال عدم توليد كافي براي تامين
بار)
عالوه بر ذخيره هاي چرخان ،ذخيره هاي غير فعالي نيز در مساله UCدر
نظر گرفته مي شوند:
واحدهاي ديزلي با راه اندازي سريع
توربينهاي گازي
نيروگاههاي آبي تلمبه اي ذخيره اي
ذخيره چرخان
•
موقعيت مكاني واحدهاي ذخيره هاي چرخان نيز حائز اهميت است.
دو ناحيه از ًيك سيستم قدرت (غرب و شرق)-
مجموعا بار 3090مگاوات را تامين مي
كنند .خطوط بين نواحي مي توانند تا 550
مگاوات را انتقال دهند.
قيود واحدهاي حرارتي
قيد تعداد خدمه (براي روشن و خاموش كردن)
به دليل قابليت تحمل كم تغييرات حرارت واحدهاي حرارتي ،وارد مدار نمودن واحدهاي حرارتي ساعتها
طول مي كشد .اين ام موجب مي شود قيدهاي ديگري به مسئله اضافه شوند:
حداقل زمان فعاليت
ً
حداقل زمان توقف -پس از توقف حداقل زماني الزم است تا بتوان آن را مجددا وارد مدار كرد
تعداد خدمه -همزمان نمي توان چند واحد را در مدار قرار داد
راه اندازي
براي راه اندازي و در مدار قرار دادن نيروگاه نياز به
صرف انرژي معيني است .هزينه راه اندازي به روش راه
اندازي بستگي دارد .راه اندازي گرم و راه اندازي سرد.
با مقايسه دو روش راه اندازي از نظر هزينه ،بهترين
روش انتخاب مي گردد.
ساير قيود
• قيد واحدهاي آبي
• حالت كار اجباري
• محدوديتهاي سوخت
روشهاي حل UC
• تعيين الگوي بار براي Mدوره
• تعداد Nواحد توليد براي در مدار قرار دادن و توزيع بار
• Mسطح بار و قيود كاري Nواحد به گونه اي است كه تركيبي از واحدها
مي تواند بارها را تامين نمايد
• تعداد كل تركيبها در هر بازه زماني
روشهاي حل UC
• روشهاي حل بر اساس ليست حق تقدم
• برنامه ريزي ديناميكي (پويا)DP
• آزاد سازي الگرانژ LR
ليست حق تقدم
• هزينه متوسط در بار كامل (معيار حق تقدم)
ليست حق تقدم
• تركيباتي كه بايد در مدار قرار گيرد بصورت زير مي باشد
ليست حق تقدم
• روشهاي مبتني بر ليست حق تقدم با الگوريتمي براي از مدار خارج كردن يا
وارد مدار نمودن واحدهاي همراه هستند
- 1وقتي كه بار در ساعتي كاهش مي يابد ،مشخص نماييد كه آيا از مدار خارج كردن واحد
بعدي از ليست حق تقدم ،ظرفيت توليد كافي براي تامين بار و نيز ذخيره چرخان باقي مي
گذارد يا خير؟ اگر جواب منفي است وضعيت را حفظ كنيد و در غير اينصورت به مرحله
بعدي برويد
ً
-2مشخص نماييد چند ساعت بعد ()Hبه واحد مجددا نياز است؟
-3اگر Hاز حداقل زمان توقف مجاز واحد كمتر باشد وضعيت را حفظ كنيد و در غير
اينصورت به مرحله بعد برويد
ليست حق تقدم
-4دو مقدار هزينه را محاسبه نماييد .اول مجموع هزينه هاي توليد هر ساعت (طي Hساعت
آينده) را با فرض اينكه واحد فعال باشد .دوم همان مجموع را با فرض توقف واحد به اين
صورت كه هزينه راه اندازي را براي يكي از دو روش سرد يا گرم (هر كدام كه مقروي به صرفه
بود) نيز اضافه كنيد .اگر از مدار خارج كردن واحد به اندازه كافي مقرون به صرفه باشد ،اين
كار را انجام دهيد و در غير اينصورت وضعيت را حفظ نماييد.
-5تمام مراحل فوق را براي واحد بعدي در ليست حق تقدم تكرار نماييد .اگر آن واحد نيز از
مدار خارج شود ،به سراغ واحد بعدي برويد.
فضای مسئلهUC
برنامه ريزي ديناميك (پويا)
برنامه ريزي ديناميك (پويا)
مفاهيم اساس ي و عوامل برنامه ريزي ديناميك (پويا)
•
مرحله ( :)Stageهر مساله برنامه ريزي پويا به چند مساله كوچكتر
(مساله فرعي) تقسيم مي گردد .هريك از اين مسئله هاي فرعي را يك مرحله
مي نامند .از ويژگيهاي مشخص هر مرحله آن است كه بايد در آن تصميم
گيري شود.
•
وضعيت يا حالت ( :)Stateهر مرحله داراي چندين وضعيت است و در هر
مرحله بايد مشخص كنيم كه در كدام وضعيت هستيم .از ويژگيهاي مشخص
هر وضعيت آن است كه مراحل را به هم مربوط مي كند.
•
اقدام ( :)Actionدر هر وضعيت تعدادي اقدام وجود دارد كه از ميان آنها
يك يا چند اقدام انتخاب مي شوند .مجموعه اقدامها را متغيرهاي تصميم
گيري مي نامند.
مفاهيم اساس ي و عوامل برنامه ريزي ديناميك (پويا)
•
خط مش ي ( :)Policyبراي يك مسئله بايد راه حلي ارائه دهيم كه اين راه
حل عبارت از اين است كه چه اقدامي يا اقدام هايي بايد از وضعيت فعلي
تا وضعيت نهايي انجام شود .خط مش ي بهينه عبارت از بهترين راه حل مي
باشد.
•
عايدي يا برگشت ( :)Returnعايدي كلمه اي عام است كه مي تواند
درآمد ،هزينه ،سود ،فاصله زماني ،فاصله مكاني باشد .هدف اصلي يك
مساله برنامه ريزي پويا آن است كه عايدي كل بهينه شود.
تابع انتقال وضعيت :تابعي است كه در مرحله مورد نظر ،حالت مشخص ي
را تحت اقدام معيني قرار مي دهد.
ارزش يا وضعيت :فاصله بهينه از حالت مورد نظر تا مقصد
•
•
خصوصيات يك مسئله قابل حل با برنامه ريزي ديناميك
•
•
•
مساله بهينه سازي مورد نظر را بايد بتوان به مسايل كوچكتر خرد كرد و هر
كدام را در يك مرحله قرارداد .هر مساله كوچك را بايد بتوان در يك مرحله
( )Stageمورد ارزيابي ،تصميم گيري و حل قرارداد.
در هر مرحله كه با يك مساله كوچك سر و كار داريم بايد بتوان كليه حالتهاي
( )Statesمربوط با آن مرحله را مشخص نمود.
حلي كه در هر مرحله به دست مي آيد يا تصميمي كه در هر مرحله گرفته
ميشود نشان خواهد داد كه چگونه حالت در مرحله فعلي به حالت در
مرحله بعدي تبديل مي شود.
خصوصيات يك مسئله قابل حل با برنامه ريزي ديناميك
وقتي در حالت فعلي قرار داريم ،تصميم يا حل بهينه براي هريك از مراحل باقي
ً
مانده(طي نشده) نبايد به حالتهاي قبلي يا تصميماتي كه قبال گرفته شده اند،
بستگي داشته باشند ،بلكه بايد بتوان در هر مرحله اي كه قرار داريم جواب يا
راه حل بهينه را به دست آوريم .اگر چه اين حل بهينه مرحله اي است و هنوز
ممكن است كامل نباشد ،يعني نتواند حل نهايي مورد نظر ما براي مساله
بزرگ باشد .اين خصوصيت مهم را بعنوان اصل بهينگي ( Principle of
)optimalityمي گويند.
در واقع كار اصلي بلمن ( )Belmanدر روش برنامه ريزي پويا ارائه اين اصل مي
باشد كه بر اساس آن مي توان در هر مرحله حل بهينه تا آن مرحله را به
دست آورد و براي اين كار فقط به اطالعات يك مرحله قبل نياز خواهد بود(و
مراحل ما قبل تر مورد نياز نخواهد بود).
خصوصيات يك مسئله قابل حل با برنامه ريزي ديناميك
•
اگر حالتهاي موجود در يك مسئله را در Tمرحله طبقه بندي
كنيم ،آنگاه بايد بتوان يك رابطه برگشتي ()Recursive equation
تشكيل داد كه هزينه يا فايده به دست آمده در مرحله t+1 ، tالي
Tرا بتوان به هزينه يا فايده حاصله از مراحل t+2 ،t+1الي T
مرتبط كرد.
الگوريتم برنامه ريزي پويا (پيشرو)
مثال
مثال
مثال
F1 20.88P1 213
F2 18.0 P2 585.62
F3 17.46P3 684.74
F4 23.80P4 252
حق تقدم واحدها 1 ،2 ،3 :و 4
مثال -توابع هزينه
مثال
مثال
مثال-حالت اول-ليست حق تقدم
در هر ساعت ،سه حالت از ليست حق تقدم
مورد بررس ي قرار مي گيرد .يكي از حالتها ممكن
نيست .بنابراين 24توزيع اقتصادي بار بايد حل
شود.
مثال-يكايك شماري
در حالت دوم ،در هر مرحله
15حالت مورد بررس ي قرار
مي گيرد.
بعض ي از حالتها ممكن
نيستند .دايره ها نشان
دهنده حالت مي باشند.
اعداد داخل دايره ها نشان
دهنده حالتي از مرحله قبل
است كه به اين حالت در
مرحله فعلي رسيده است.
حداقل هزينه براي رسيدن در هريك از حاالت در مرحله (ساعت) ،2از حالت 12در مرحله قبل ( )1ايجاد مي شود .در
ً
دومين ساعت ،حداقل هزينه براي حالتهاي 14 ،13 ،12و ،15تماما از انتقال از ساعت 12در ساعت اول نتيجه مي شود.
ميسر بهينه-حالت اول و دوم
تنها تفاوت در دو مسير در ساعت
3ايجاد مي شود.
حالت سوم -حداقل زمان فعاليت و توقف
سه مقدار مختلف براي
ذخيره سازي تعداد مسيرها
در هر مرحله در نظر گرفته
شده است 8 ،4( .و.)10
براي N=8,10جوابهاي
يكسان حاصل شده است.
براي حالت ،N=4در ساعت هفتم مسيرهاي داراي حداقل هزينه واحدهايي را متوقف نموده اند كه بعلت قيود
حداقل زمان توقف نمي توان آنها را در ساعت هشتم راه اندازي نمود .راه حل حفظ تعداد بيشتري از مسيرها
است.
خالصه سه حالت
كاهش فضاي جستجو
• در روش ليست حق تقدم ،ممكن است حالت بهينه از دست برود .با مالحظه اثرات
وابسته به زمان حادتر مي شود( .هزينه راه اندازي كه تابع زماني است كه واحد متوقف
بوده است ،حداقل زمان توقف و فعاليت ،حداكثر تعداد راه اندازي واحدها در يك
دوره معين)
• نياز به استفاده از روشهاي ابتكاري (محدود نمودن تعداد حالتها و تعداد مسيرهاي
ذخيره شده)(-بين دو روش ليست حق تقدم و يكايك شماري كامل)
• نياز به حوزه جستجوي محدود (استفاده از ليست حق تقدم و استفاده از تشخيص
هاي مهندس ي) -واحدهاي پايه همواره بايد در مدار باشند(اقتصادي يا داليل ديگر)-
واحدهاي در حال تعمير و واحدهاي با هزينه بهره برداري زياد كه تنها در شرايط
اضطراري به آنها نياز است.
كاهش فضاي جستجو
• ليست تعديل شده بر اساس مفهوم ليست حق تقدم و بر مبناي تشخيصهاي مهندس ي
– تعدادي از واحدهاي توليد ،واحد پايه به شمار مي روند كه بايد در مدار باشند (يا
اينكه اقتصادي اند يا به هر دليل ديگري بايد در مدار باشند)
– تعدادي از واحدها نبايد در مدار باشند (واحدهاي در حال تعمير يا واحدهايي كه
هزينه بهره برداري آنها آنقدر باال است كه فقط در شرايط اضطراري استفاده مي
شوند)
ساير كاربردهاي درمدار قراردادن نيروگاهها
• برنامه ريزي تعميرات واحدهاي توليد
• ارزيابي تبادل انرژي با نواحي مجاور
متغيرهاي دوگان
• راه ديگر ًبراي حل مسئله بهينه سازي ،استفاده از تكنيكي كه ضرايب الگرانژ را
مستقيما بدست مي آورد .سپس متغيرهاي تصميم مسئله تعيين مي شوند .اين روش به
حل دوگان موسوم است كه در آن متغير دوگان همان ضرايب الگرانژ مي باشند.
مسئله اوليه
متغيرهاي دوگان
• جواب در حالت مسئله دوگان ،داراي دو مسئله بهينه سازي است .جواب
اول ايجاب مي كند كه مجموعه اوليه اي از مقادير را براي x1و x2
انتخاب كنيم و سپس مقدار ضريب الگرانژي كه ) q(lamdaرا حداكثر
نمايد بيابيم.سپس اين مقدار ضريب الگرانژ را ثابت فرض نموده و مقادير
را حداقل مي نمايد بدست آوريم .در حالتي كه
x1و x2را كه
تابع هدف محدب باشد ،اين رويه به همان جوابي مي رسد كه جواب
مسئله اوليه رسيده است.
متغيرهاي دوگان
• در مسئله توزيع اقتصادي بار بين نيروگاهها نمي توان متغيرها را حذف كرد(.توابع هزينه
تكه اي خطي و يا پيچيده تر) .در اين حالت بايد از الگوريتم بهينه سازي دوگان استفاده
گردد .بطوريكه بايد ابتدا بهينه سازي را روي lamdaانجام داد سپس روي متغيرهاي
مسئله و آنگاه lamdaرا بهنگام نمود.
متغيرهاي دوگان
را پيدا كنيم ،و تابع
• با توجه به اينكه در بهينه سازي دوگان ضروري است
شفافي از lamdaرا در اختيار نداريم بايد از استراتژي متفاوتي براي تنظيم lamda
بهره بگيريم .در مسئله EDكه نمي توان متغيرهاي مسئله را حذف نمود ،روش ي براي
تنظيم lamdaپيدا مي كنيم (تا ) q(lamdaاز مقداري به سمت مقداري بزرگتر
حركت نمايد) .ساده ترين كار روش تنظيم گراديان است.
• نزديكي با جواب نهايي در روش بهينه سازي دوگان با
اندازه فاصله نسبي بين تابع اوليه و تابع دوگان
سنجيده مي شود.
فاصله دوگاني
• Alphaباعث مي شود كه گراديان رفتار مناسبي داشته باشد .روش بهتر آن است كه نرخ
افزايش و كاهش lamdaبا هم تفاوت داشته باشد.
متغيرهاي دوگان
• براي يك مسئله محدب شامل متغيرهاي پيوسته ،فاصله دوگاني در پاسخ نهايي صفر است.
اما در مسائلي كه داراي متغيرهاي ناپيوسته هستند ،فاصله دوگاني صفر نخواهد شد.
• با استفاده از رويكرد بهينه سازي دوگان در مسئله داده شده ،با شروع از ،lamda=0
نتايج در جدول حاصل شده اند .نكته قابل ذكر آنكه ،وقتي تكنيك متغير دوگان
براي ٍِEDاستفاده مي شود ،شبيه جستجوي lamdaاست.
بهينه سازي دوگان در مسايل نامحدب
• در بحث بهينه سازي دوگان مطرح شده ،اشاره شد هنگامي كه تابع هدف محدب باشد و
متغيرها پيوسته باشند آنگاه حداكثر سازي تابع هدف نتيجه يكساني را با حداقل سازي
تابع اوليه (اصلي) بدست مي دهد .اين رويكرد براي حل مسئله UCنيز مورد استفاده قرار
مي گيرد .ليكن در مسئله UCمتغيرهايي وجود دارند كه از مقدارهاي 0-1برخوردارند.
• كاربرد روش بهينه سازي دوگان براي حل مسئله UCبه ”آزادسازي الگرانژ“ موسوم است.
بهينه سازي دوگان در مسايل نامحدب
• ممكن است چهار جواب وجود داشته باشد
– اگر هر دوي u1و u2صفر باشند ،مسئله داراي جواب نخواهد بود .زيرا قيد تساوي
برقرار نيست.
– اگر u1=1و ،u2=0خواهيم داشت x1=5 :و x2در مسئله وجود ندارد .تابع
هدف برابر 21.25بدست مي آيد.
– اگر u1=0و u2=1خواهيم داشت x2=5و x1در مسئله وارد نخواهد شدو تابع
هدف برابر 21.375بدست مي آيد.
– اگر u1=1و ،u2=1تابع الگرانژ ساده زير را خواهيم داشت:
در نتيجه lamda=1.2642 ،x2=2.4752 ،x1=2.5248و تابع هدف 33.1559بدست
مي آيد.
آزاد سازي الگرانژ
• آنچه انجام شد يكايك شماري تمامي تركيبات ممكن متغيرهاي 0-1است و
سپس بهينه سازي روي متغيرهاي پيوسته .هنگامي كه متغيرهاي بيشتري وجود
داشته باشند اين كار امكان پذير نخواهد بود
• از طرف ديگر با استفاده از بهينه سازي دوگان راه حل سيستماتيك براي حل
مسئله وجود دارد
• تابع الگرانژ را بصورت زير تعريف مي كنيم:
كه در آن x1,x2,u1,u2همانند قبل از محدوديتها و شرايط 0-1تبعيت مي كنند .سپس مسئله
ً
خواهد بود .اين رويكرد از آنچه كه قبال گفته شده است متفاوت
دوگان ،يافتن
است .به دليل وجود متغيرهاي 0-1نمي توان متغيرها را حذف كرد .بنابراين تمامي متغيرها را در
مسئله نگه مي داريم و گامهايي را طي مي كنيم:
آزاد سازي الگرانژ-مرحله اول
• گام -1مقداري را براي ) lamda(kانتخاب و آن را ثابت فرض كنيد .حال مي توان تابع
الگرانژ را حداقل نمود .اين حالت بسيار ساده تر از حالتي است كه تابع زير حداقل گردد:
• رابطه باال را مي توان به صورت زير نوشت:
• عبارت آخر ثابت است و لذا مي توان آن را از مسئله حذف كرد .حال هدف حداقل سازي
روي دو عبارت است كه هريك در متغيرهاي 0-1ضرب شده اند.
• با توجه به اينكه اين دو عبارت در تابع الگرانژ با هم جمع شده اند ،مي توان كل تابع را با
حداقل سازي هريك از عبارتها بصورت مجزا حداقل نمود.
• با توجه به اينكه هر عبارت حاصل ضرب يك تابع از xو (lamdaكه ثابت است) مي باشد و
اينها همه در متغير 0-1ضرب شده اند ،آنگاه مي توان گفت كه حداقل يا صفر خواهد بود
(كه با u=0همراه است) ،يا اينكه منفي خواهد بود (كه با u=1همراه است).
آزاد سازي الگرانژ-ادامه مرحله اول
• با بررس ي عبارت اول ،مقدار بهينه ( x1با صرف نظر از )u1بصورت زير خواهد بود.
• اگر مقدار x1كه رابطه باال را تامين مي كند در خارج از حدود قرار گيرد ،آن را در مقدار
حدي قرار مي دهيم .چنانچه عبارت اول مثبت باشد ،آنگاه u1=0در غير اينصورت
u1=1خواهد بود.
• با بررس ي عبارت دوم ،مقدار بهينه ( x2با صرف نظر از )u2بصورت زير خواهد بود.
• اگر مقدار x2كه رابطه باال را تامين مي كند در خارج از حدود قرار گيرد ،آن را در مقدار
حدي قرار مي دهيم .چنانچه عبارت اول مثبت باشد ،آنگاه u2=0در غير اينصورت
u1=2خواهد بود.
آزاد سازي الگرانژ -مرحله دوم
• فرض كنيد متغيرهاي x1,x2,u1,u2بدست آمده در مرحله 1ثابت باشند و مقداري از
lamdaرا پيدا كنيد كه تابع دوگان را حداكثر نمايد .در اين حالت نمي توان براي يافتن
ماكزيمم حل كنيم زيرا ) q(lamdaنسبت به lamdaفاقد گران است .بنابراين
گراديان ) q(lamdaرا نسبت به lamdaتشكيل داده و lamdaرا به گونه اي در
جهت افزايش ) q(lamdaتنظيم مي كنيم.
• Alphaضريبي است كه براي حركت lamdaتنها در فاصله كوچكي انتخاب مي شود .اگر
هردوي u1,u2صفر باشند ،گراديان برابر 5خواهد بود .بنابراين lamdaبايد افزايش
يابد .در نهايت افزايش lamdaمنجر به مقداري منفي براي يكي از عبارات زير (يا هر دوي
آنها) خواهد شد .و اين باعث مي شود كه u1يا u2يا هر دو در مقدار 1تنظيم شوند .اگر
مقدار lamdaافزايش يابد به مرحله 1برمي گرديم و مقادير جديدي را براي
x1,x2,u1,u2بدست مي آوريم.
آزاد سازي الگرانژ -مرحله دوم
• الزم به ذكر است كه lamdaنبايد زياد افزايش يابد .در مثال ارائه شده تنظيم lamda
بصورت زير انجام مي شود.
• با وجود متغيرهاي كمي كه داريم و با وجود اين واقعيت كه دو تا از آنها متغيرهاي 0-1هستند،
مقدار lamdaبه مقدار مورد نياز براي حداقل سازي الگرانژ همگرا نمي شود .در واقع به ندرت
يافتن ) lamda(kاي كه باعث شود مسئله نسبت به قيد تساوي ممكن شود .ليكن وقتي
مقادير u1,u2را در هر تكرار بدست آوريم آنگاه مي توان حداقل ) J(x1,x2,u1,u2را با
حل حداقل سازي تابع زير بدست آوريم:
• براي حالتي كه u1,u2=0است ،بطور دلخواه مقدار ) J*(x1,x2,u1,u2را عددي بزرگ
ً
در نظر مي گيريم(مثال .)50اين مقدار حداقل را ) J*(x1,x2,u1,u2مي ناميم و مالحظه
خواهيم كرد كه با مقدار بزرگي آغاز و كاهش مي يابد ،در حاليكه مقدار دوگان )q*(lamda
با مقدار صفر آغاز و سپس افزايش مي يابد.
آزاد سازي الگرانژ -مرحله دوم
• به دليل وجود متغيرهاي 0-1در مسئله ،مقادير اوليه (اصلي) و دوگان هرگز با هم برابر
نخواهند شد .مقدار * J*-qرا فاصله دوگاني مي نامند .همچنين فاصله دوگاني نسبي را
بصورت زير تعريف مي كنيم:
• حضور متغيرهاي 0-1در مسئله موجب مي شود كه الگوريتم در اطراف جواب به نوسان
بيفتد (با تغيير متغيرهاي .)0-1-0در اين شرايط بايد الگوريتم LRبا توجه به فاصله
دوگاني نسبي متوقف گردد.
آزاد سازي الگرانژUC-
• روش برنامه ريزي ديناميكي ،براي حل مسئله UCداراي معايب زيادي است (در سيستمهاي
بزرگ كه تعداد واحدهاي نيروگاهي زياد است) ،براي كاهش تعداد تركيباتي كه در هر دوره زماني
تست مي شوند كاهش يابند بايد به ناچار جستجو در تعداد محدودي از حالتها انجام شود.
• در تكنييكهاي LRاين مشكل وجود نخواهد داشت (اگرچه ممكن است مسايل فني ديگري مطرح
شود كه بايد شناسايي شوند) .اين روش بر پايه رويكرد بهينه سازي دوگان استوار است
آزاد سازي الگرانژ
•
محدوديتها و تابع هدف
محدوديتهايي نظير امنيت شبكه ،محدوديت سوخت واحدها ،آلودگي ناش ي از سوختهاي فسيلي ،ذخيره
چرخان و ،...را نيز مي توان اضافه نمود.
-4تابع هدف
آزاد سازي الگرانژ
• حال مي توان تابع الگرانژ را شبيه به آنچه كه در مسئله EDداشتيم تشكيل داد
• تابع هزينه توليد به همراه قيود 2و 3را مي توان براي واحدها تفكيك نمود .زيرا توابع هزينه
واحدها تنها تابعي از توان توليد همان واحد مي باشد.
• محدوديتهاي برقراري تعادل بين توليد و مصرف در هر مرحله ،توليد بين واحدها را به هم ارتباط
مي دهد .رويه ، LRمسئله UCرا با آزاد سازي يا چشم پوش ي موقت محدوديتهاي مرتبط
كننده ،و حل مسئله مثل اينكه اين قيود وجود ندارد ،با استفاده از روش بهينه سازي دوگان حل
مي كند .الزم به ذكر است در روش بهينه سازي دوگان ،تالش بر دستيابي بهينه مقيد با حداكثر
سازي تابع الگرانژ نسبت به ضرايب الگرانژ مي باشد ،ضمن اينكه تابع الگرانژ نسبت به ساير
متغيرها حداقل شود به اين صورت:
آزاد سازي الگرانژ
اين كار از طريق دو مرحله انجام مي شود:
مرحله -1مقداري را براي هر ) lamda(tپيدا كنيد كه ) q(lamdaرا به سمت مقادير بزرگتر
سوق دهد.
مرحله -2با فرض ثابت بودن ) ،lamda(tپيدا شده در مرحله اول و ثابت فرض نمودن آنها،
حداقل تابع الگرانژ را با تنظيم مقادير ptو Utبدست آوريد .تنظيم )lamda(tدر همين
مرحله انجام خواهد شد.
آزاد سازي الگرانژ
حداقل تابع الگرانژ در كل دوره برنامه ريزي به صورت زير بدست مي آيد:
در حالت ) Ui(tمقدار تابع كه بايد حداقل شود صفر است .در حالت Ui(t)=1تابع زير بايد
حداقل شود.
آزاد سازي الگرانژ
بسته به مقدار توان محاسبه شده سه حالت ممكن است
برنامه ريزي پويا (پيشرو ) براي حل برنامه بهينه براي هريك از واحدها انجام مي شود.
آزاد سازي الگرانژ
• تنظيم Lamda
• معيار همگرايي
آزاد سازي الگرانژ