Transcript Cap. 2. Modelarea proceselor

MODELE ŞI MODELARE. DEFINIŢIE, CLASIFICĂRI
Noţiunea de modelare semnifică descrierea matematică a unui fenomen sau al unui obiect investigat şi formarea unui
nou proces sau obiect, similar celui studiat.
Noţiunea de model . În general, un obiect sau fenomen “M”, poate fi considerat model al obiectului sau fenomenului
“P”, dacă este capabil să-l înlocuiască pe “P”, astfel ca investigaţia lui “M” să furnizeze informaţii despre “P”.
Un model trebuie să indeplinească următoarele cerinţe:

să aibă o similitudine cu obiectul sau fenomenul real;

să prezinte un grad de generalizare;

să simplifice şi să idealizeze realitatea reprezentată.
Un model care permite cunoaşterea intuitivă a realităţii, fundamentat pe elemente logice, poate fi întotdeauna
folosit de utilizator ca o prelungire a mecanismului de gândire şi favorizează astfel luarea unor decizii corecte.
Modelele se clasifică după mai multe criterii:

după gradul de structurabilitate:
- modele procedurale
- modele analoge: mecanice sau electrice .

după dependenţa de timp:
- modele statice
- modele dinamice: continue sau discrete.

după gradul de determinare:
- model determinist
- model stohastic
- model vag

după scopul urmărit:
- model de simulare
- model de optimizare

după modul de obţinere a modelului:
- model empiric sau cauzal
SCOPUL ŞI TEHNICA MODELĂRII.
PRINCIPIILE MODELĂRII ANALOGICE
Fig. 1. Schema modelării
unui obiect sau fenomen
Determinarea grupului de proprietăţi a obiectului real, sau comportarea acestuia în condiţiile
unei acţiuni, poate fi deci realizată prin măsurarea directă sau prin formularea modelului matematic şi analiza acestuia.
Un alt aspect al modelării se referă la drumul invers: se consideră că problemele conceptuale au
fost stabilite - funcţie de necesităţile impuse - şi se doreşte construcţia (conceperea) unui nou “obiect”. şi în acest caz există
două posibilităţi:
Prima, denumită “sinteza experimentală”, care constă în reconstrucţia,
modificarea sau
îmbunătăţirea obiectului, până se ating proprietăţile dorite. Pe parcursul acestui proces se ţine cont de rezultatele
experimentale anterioare.
Cea de-a doua posibilitate se referă la “sinteza prin calcul”, care apelează la modelul
matematic şi utilizează tehnica de calcul.
Activitatea de investigare a fenomenelor prin modelare comportă două etape:
A.Stabilirea modelului fizic - se identifică elementele fenomenului (sau obiectului) considerat,
stabilindu-se:

caracteristicile cantitative şi calitative ale acţiunii şi răspunsului (adică ale semnalelor de intrare
şi de ieşire);
 caracteristicile calitative şi cantitative ale obiectului;
 acţiunile simplificate ale obiectului;
Rezultatul acestei etape constituie însă o reflectare simplificată a realităţii. Modelul fizic nu ia în
considerare toate informaţiile despre fenomen (sau obiect), ci doar acea parte a informaţiilor care este
importantă pentru scopul urmărit.
Caracteristicile calitative ce pot fi evidenţiate în cazul modelării fizice, sunt:

liniaritatea sau neliniaritatea elementelor obiectului;

natura discretă sau continuă a elementelor modelului;

activitatea discretă sau continuă a semnalelor de intrare sau/şi de ieşire;

variabilitatea sau invariabilitatea elementelor;

caracterul determinist sau probabilistic al parametrilor obiectului şi al parametrilor de intrare
- ieşire.
Principalele caracteristici cantitative sunt legate de:

determinarea mărimilor semnalelor de intrare sau ieşire (a elementelor obiectului);

realizarea măsurătorilor potrivite ale semnalelor de intrare şi ieşire care influenţează
comportarea sistemului.
B.Stabilirea modelului matematic. După stabilirea modelului fizic urmează determi-narea ecuaţiilor
matematice care descriu modelul (sau fenomenul).
Procedura de modelare presupune efectuarea următoarelor secvenţe:

realizarea unor serii experimentale şi măsurarea cu atenţie a semnalelor de intrare, a celor de
ieşire, precum şi a parametrilor procesului,

formularea atributelor privind forma generala a modelului (liniaritatea modelului, ordinul
sistemului de ecuaţii, etc.),

determinarea prin calcul a tuturor coeficienţilor modelului propus,

analiza modelului matematic,

validarea modelului prin verificarea corelaţiei dintre soluţia teoretică şi observaţiile
experimentale.
Dacă este evidenţiată o corelaţie corespunzătoare, modelul se poate utiliza în continuare
pentru investigarea fenomenului (sau obiectului) studiat. Aceasta poate fi concretizată în teoretizarea
fenomenului, prognozarea unor rezultate sau luarea unor decizii pentru ca fenomenul să urmeze un anumit
curs.
3. MODELE MATEMATICE
3.1. STRUCTURA MODELELOR
hj (x) = 0
j = 1, 2, ..., l,
(3.1)
gj (x) ≤ 0
j= l+ 1, l+ 2, ..., m
(3.2)
Vectorul x al variabilelor are n componente, corespunzînd celor n variabile ale procesului.
3.1.1. Inecuaţiile modelului
3.1.2. Ecuaţiile modelului, clasificare
O clasificare rezonabilă a modelelor matematice utilizate în descrierea proceselor din ingineria chimică le
imparte în:
a) Modele bazate pe ecuaţii de conservare, şi
b) Modele empirice.
3.2. MODELE BAZATE PE ECUAŢII DE CONSERVARE
Structura unui model bazat pe ecuaţii de conservare comportă:
a) un nucleu de bază format din ecuaţiile de conservare a proprietăţii (bilanţuri) cu precizarea condiţiilor iniţiale
şi la limită în cazul în care ecuaţiile sunt diferenţiale, şi
b) ecuaţii ccmplementare permiţând explicitarea şi calculul mărimilor care apar în ecuaţiile de bilanţ în afara
variabilelor procesului. Ecuaţiile complementare pot fi: ecuaţii de stare sau de echilibru (ecuaţia gazelor, ecuaţii de
echilibru interfazic, ecuaţii de echilibru chimic etc.); ccuaţii pentru calculul coeficienţilor (coeficienţi de transfer de
rnasă şi căldură, constante de echilibru, coeficienţi de frecare etc.); ecuaţii pentru calculul proprietăţilor fizice-chimice
variabile (coeficienţi de difuzie, călduri specifice, viscozitate funcţie de temperatură, presiune şi compoziţie etc.).
Clasificarea modelelor
I)
a ) modelelor deterministice în care unui anumit set de condiţii date îi corespunde un număr definit de valori pentru
variabilele procesului
b) modelele probabilistice, sau stochastice în care variabilele, parametrii, şi uneori structura modelului nu sînt
cunoscute cu precizie, ci în limita unor previziuni probabilistice.
II)
a) modele bazate pe fenomenele de transport
b) modele bazate pe bilanţuri de populaţie
III
a) modele locale sau modele globale; modelele locale ţin seama de faptul că în fiecare punct al sistemului se poate
efectua un bilanţ de proprietate şi că proprietăţile variază în raport cu poziţia în sistem şi cu timpul; modelele globale
ignoră variaţia parametrilor în raport cu poziţia şi utilizează valori medii ale proprietăţilor sistemului.
b) modele omogene şi modele eterogene; în primul caz sistemul este ocupat de o singură fază şi ca atare şi ecuaţiile
modelului sunt valabile în orice punct al sistemului ; în cazul modelelor eterogene este necesar să se ţină seama de
existenţa a două sau mai multe faze, caracterizate fiecare prin proprietăţi diferite şi separate prin interfeţe bine definite.
3.2.1. Modele omogene locale
Caracterul omogen al modelului este determinat de valabilitatea ecuaţiilor în oricare punct al sistemului şi de
inexistenţa unor interfeţe, altele decît graniţele (limitele) sistemului pentru care condiţiile de univocitate sunt precizate.
3.2.2. Simplificarea modelelor locale
Singura cale pentru a permite aceasta constă în simplificarea ecuaţiilor de bază ale modelului.
În foarte multe cazuri, atunci cînd simplificările rezultă dintr-o analiză corectă a situaţiei particulare, modelul final
permite o descriere mai bună, deşi mai puţin generală, a procesului.
Soluţionarea separată a ecuaţiilor. Datorită faptului că o serie de mărimi ale modelului intervin în toate ecuaţiile
modelului, procedura corectă implică soluţionarea simultană a tuturor ecuaţiilor modelului (bilanţuri de materiale, de
energie, ecuaţiile de curgere), ceea ce conduce la o complicare excesivă a problemei. Prin rezolvarea separată a unor
anumite ecuaţii se pot obţine soluţii (aproximative) pentru dependenţa spaţială sau temporală a unor variabile, soluţii ce
pot fi ulterior introduse în ecuaţiile încă nesoluţionate.
Reducerea numărului de dimensiuni (coordonate).
În cazul în care toate derivatele variabilelor în raport cu una din coordonatele spaţiale sau temporală sunt nule (sau
neglijabile în raport cu derivatele faţă de celelalte coordonate), coordonata respectivă dispare din sistemul de ecuaţii,
realizându-se prin aceasta o simplificare considerabilă a modelului matematic.
Reducerea numărului de coordonate spaţiale poate fi consecinţa fie a unei configuraţii geometrice speciale fie
a neglijării gradienţilor pe una sau două direcţii în raport cu cei de pe direcţia de curgere.
Constanţa unor proprietăţi fizico-chimice.
Prin considerarea unor proprietăţi fizico-chimice drept constante, deşi acestea prezintă o dependenţă mai mult sau
mai puţin sensibilă de variabilele de stare, se realizează o simplificare pe mai multe planuri a modelului matematic.
Astfel, se elimină ecuaţiile complementare pentru calculul constantelor fizico-chimice, se fac paşi spre soluţionarea
independentă a ecuaţiilor modelului şi se operează simplificări în însăţi forma ecuaţiilor.
Neglijarea unor termeni.
O simplificare frecvent utilizată este cea a neglijării transportului prin difuziune moleculară în raport cu cel
convectiv (de cele mai multe ori aceşti termeni sunt cu circa 6 ordine dde mărime mai mici decât cei convectivi).
Eliminarea termenilor de trasport difuzional are drept consecinţă o simplificare substanţială a ecuaţiilor de bilanţ de
materiale.
Exprimarea integrală a transferului de masă şi căldură. Exprimarea integrală a proceselor de transfer în locul celei
diferenţiale conduce pe de-o parte la simplificarea ecuaţiilor modelului, iar pe de altă parte permite abordarea unor situaţii
mai complexe (curgere turbulentă) prin intermediul unor modele simple derivate pentru curgeri idealizate (în cadrul
modelelor unidimensionale, cu profil plat de concentraţie şi temperatură, transportul de substanţă şi căldură de la şi spre
exterior nu poate fi exprimat diferenţial, deoarece gradienţii respectivi de concentraţie şi temperatură sunt consideraţi nuli
în masa fluidului şi infiniţi la periferie).
Asimilarea mecanismelor. Prin utilizarea aceloraşi expresii formale ale ecuaţiilor locale pentru curgerea laminară dar
cu coeficienţi modificaţi, este posibilă abordarea unor situaţii mai complexe în cadrul unor modele simplificate. Astfel,
fluxurile de masă turbulente pot fi definite, în cadrul unui model în care vitezele şi parametrii sistemului nu fluctuează, prin
similitudine cu fluxurile moleculare.
Utilizînd cu discernămînt metodele de simplificare a modelelor matematice prezentate anterior este posibilă obţinerea
unor modele realiste şi suficicnt de simple pentru a putea permite o soluţionare comodă şi rapidă.
3.2.3. Modele eterogene locale
Modelarea matematică a unor asemenea sisteme eterogene se poate realiza în principiu în mod similar sistemelor
omogene :
a) se scriu ecuaţiile de conservare pentru fiecare fază; prin fază se înţelege un domeniu (volum) omogen, separat prin
interfeţe definite de alte domenii caracterizate prin proprietăţi fizico-chimice diferite;
b) se ataşează relaţiile consemnând interdependenţa fazelor, respectiv bilanţurile la interfaţă (egalitatea dintre
cantităţile transferate pentru fazele în contact) şi relaţiile între condiţiile limită pe interfaţă (în concordanţă cu ipotezele
adoptate: egalitate, proporţionalitate sau echilibru între temperaturi, concentraţii, viteze etc. la interfaţă).
Modelarea sistemelor eterogene
Modele pseudoomogene. Sistemul dispers este considerat continuu şi omogen, proprietăţile fizico-chimice ale
conţinutului fiind funcţie de proprietăţile fiecărei faze în parte (cea mai simplă cale pentru a le obţine este medierea
ponderată). În felul acesta se pot utiliza pentru descrierea sistemului ecuaţiile omogene locale cu coeficienţii modificaţi.
Izolarea elementelor disperse. În cadrul acestei aproximaţii se izolează un element tipic al fazei disperse şi se
analizează modelul format pentru faza continuă şi elementul izolat al fazei disperse. Astfel, în loc să se analizeze procesul
de transfer de la un ansamblu de bule la faza lichidă continuă, se analizează procesul de transfer de masă de la o singură
bulă la faza continuă. Rezultatele obţinute sunt apoi extrapolate asupra ansamblului.
Modele ideale. Folosirea maximală a căilor de simplificare a modelelor omogene şi idealizarea comportamentului
fazelor în contact pentru a putea utiliza ecuaţiile omogene simplificate conduce la modele practice, de o remarcabilă
simplitate, folosite în mod uzual cu rezultate foarte bune în modelarea sistemelor eterogene caracteristice tehnologiei
chimice.
Principiile care stau la baza modelării ideale a sistemelor eterogene sînt :
a) Fazele sistemului eterogen (faza continuă şi faza dispersă) se consideră drept fluide continue în mişcare prin
interiorul volumului ocupat de sistem.
b) Fiecărei faze i se atribuie un model idealizat de curgere (deplasare) prin sistem, respectiv o soluţie arbitrară extrem
de simplificată a ecuaţiilor de curgere.
c) Fiecărei faze i se atribuie un profil de concentraţii şi temperaturi adecvat modelului idealizat de curgere.
d) Transferul interfazic de substanţă şi căldură este exprimat în mod integral şi nu diferenţial.
e) Transferul de masă axial prin difuzia moleculară este neglijabil.
f) Suprafaţa specifică de contact între faze corespunde situaţiei reale şi nu celei idealizate.
3.2.4. Modele globale
În scrierea bilanţurilor globale se renunţă la detalierea internă a sistemului şi în consecinţă în formulările
matematice nu apar gradienţi spaţiali ai variabilelor procesului. Singura variabilă independentă în raport cu care se
admit derivate este timpul, iar parametrii de stare (concentraţie, temperatură) în interiorul sistemului reprezintă valori
mediate asupra volumului: delimitat de frontierele sistemului. Datorită absenţei detaliilor interne ale sistemului, în
elaborarea modelelor globale este indiferent dacă sistemul este omogen sau eterogen. Pentru a putea furniza mai multe
informaţii, la modelarea sistemelor eterogene se scrie, de regulă, un set de ecuaţii globale valabit pentru întregul sistem
şi unul sau mai multe seturi de ecuaţii globale valabile pentru faze sau părţi componente ale sistemului.
În principiu, ecuaţiile globale se obţin prin integrarea ecuaţiilor locale. În practică însă modul cel mai indicat pentru
deducerea lor pleacă de la forma generală a ecuaţiilor de conservare, în care termenii sînt explicitaţi în raport cu
proprietatea care face obiectul bilanţului (masă, specie moleculară, energie, căldură, moment) şi cu particularităţile
sistemului analizat.
3.3. MODELE EMPIRICE
Atributul principal al unui model matematic este acela de a reprezenta in mod corect interdependenţa variabilelor
procesului în domeniul de varialie prescris. Din acest punct de vedere este indiferent dacă relaţiile folosite au un
substrat fizic sau sunt simple relaţii arbitrare care satisfac însă condiţia de reprezentare corectă a procesului. Modelele
empirice, corelări ale unor interdependenţe constatate între variabilele procesului (datele experimentale), sunt utilizate
în cazurile în care:
a) procesul nu este suficient de bine cunoscut sau înţeles.
b) procesul este prea complex. Modelele empirice reprezintă substitute convenabile, şi în principiu oricît de simple,
ale modelelor bazate pe ecuaţii de conservare.
Elaborarea modelelor empirice constituie un proces complex ce include obţinerea datelor experimentale,
prelucrarea lor statistică si interpretarea rezultatelor corelării.
Ecuaţiile de conservare utilizate în modelarea proceselor din tehnologia chimică sunt:
- ecuaţii de conservare a speciei moleculare (bilanţuri de materiale pe componenţi), în număr egal cu numărul de
componenţi. Suma ecuaţiilor de conservare pcntru toate speciile moleculare reprezintă bilanţul total de materiale
(conservarea masei).
- o ecuaţie de conservare a energiei sau o formă redusă a acesteia cum ar fi de pildă bilanţul termic (conservarea
energiei termice).
- trei ecuaţii de conservare a momentului, în raport cu cele trei axe carteziene de coordonate.
Principiul care stă la baza tuturor acestor ecuaiii este cel al bilan~ului proprietă~ii (masă, energie, moment)
exprimat prin:
A = I - E + G - D,
(3.13)
în care:
A reprezintă acumularea totală a proprietăţii în interiorul volumului sistemului ;
I - intrările, transportul total prin suprafaţa sistemului dinspre exterior ;
E - ieşirile, transportul total prin suprafaţa sistemului înspre exterior ;
G - termenul de generare, totalul proprietăţii generate în volumul ocupat de sistem ;
D - termenul de dispariţie, totalul proprietăţii consumate în volumul ocupat de sistem.
Ecuaţia (3.13) poate fi scrisă şi sub forma:
A = - vT + GA
(3.14)
în care :
vT este variaţia cantităţii transportate, iar
GA - generarea absolută, însumarea algebrică a termenilor de generare şi dispariţie.
3.3.1. Etapele analizei de regresie
3.3.2. Alegerea formei modelului
Numărul ecuaţiilor independente ale modelului trebuie să
fie egal cu cel al relaţiilor fundamentale (bazate pe principii
fizico-chimice) ce se pot scrie între variabilele procesului.
Acest număr rezultă din inspecţia modelului bazat pe ecuaţii
de conservare, care leagă între ele variabilele procesului.
Numărul variabilelor dependente este egal cu numărul de
ecuaţii ale modelului. Astfel dacă procesul comportă un
număr total n de variabile, dintre care l sînt dependente,
atunci forma generală a modelului empiric va fi :
yi = fi (xl+1, xl+2, ...,xn)
(3.41)
i= l, 2, ..., l
Variabilele independente s-au notat cu x iar cele dependente
cu y.
Alegerea relaţiei funcţionale
y=f(x1, x2, ..., xn)
(3.42)
este, de asemenea, o problemă pentru care nu se pot indica reguli fixe. În cazul în care relaţia nu conţine
decît o singură variabila independentă, reprezentarea grafică a datelor experimentale poate sugera o anumită
formă de ecuaţie care ar putea da rezultate bune. Prin schimbări de variabile, se poate realiza o liniarizare a
ecuaţiei propuse şi prin reprezentarea în noile coordonate, ipoteza poate fi verificată.
Forma polinomială a relaţiei (3.42) fiind :
y(x) = c0+c1x1+c2x2+...+cix1+cnxn+ c11x12+c12x1x2+...+c1kx1xk+c22x22+...+cikxixk+...+xnnxn2+
c111x13+c112x12x2+...c11nx12xn+...+cnnnxn3+
(3.43)
Astfel prin dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei continue şi diferenţiabile y(x) în jurul punctului de
coordonate x=x0, se obţine:.
Deoarece derivatele în punctul de coordonate x=x0 au valori constante, prin identificarea coeficienţilor
între ecuaţiile (3.43) şi (3.44) se obţine:
Analiza dimensionalii consituie un instrument valoros, frecvent utilizat în stabilirea formei relaţiilor
empirice pentru descrierea unor procese unitare
O extindere a principiului omogenităţii dimensionale este reprezentată de teorema . Conform acesteia o relaţie între
mărimi fizice de tipul
f (x1, x2, x3, ..., xi, ..., xn) = 0,
omogenă din punct de vedere dimensional, poate fi redusă la o relaţie între un număr mai mic de produse fără
dimensiuni:  (1, 2, 3, ..., i, ..., m) = 0 ; m < n
3.3.3. Obţinerea şi testarea datelor
În cazul în care datele culese de pe un proces real urmează să fie corelate printr-un model empiric este
necesar ca:
numărul datelor experimentale (interdependenţe între variabilele procesului) să fie suficient de mare pentru a
permite determinarea tuturor constantelor modelului ;
experienţele să fie astfel distribuite încît să acopert în mod uniform domeniul de variaţie al variabilelor;
precizia şi reproductibilitatea cu care este determinată valoarea variabilei dependente în raport cu valorile
stabilite ale factorilor să fie corespunzătoare cerinţelor impuse modelului.
Prin urmare valoarea măsurată Yj a variabilei dependente în replica j va diferi de valoarea reală y, care nu poate fi
curoscută, ci doar estimată. O imagine a împrăştierii valorilor măsurate este furnizată de curba de distribuţie a
probabilităţilor (prescurtat distribuţie): modul în care depinde funcţia de densitate a probabilităţii de valoarea Y a
variabilei măsurate. Funcţia densitate a probabilităţii, p (Y) este definită prin
în care P (Y2 – Y1) este probabilitatea ca variabila Y să capete valori cuprinse între Yl şi Y2.
Distribuţia normală (Gaussiană), cu bine cunoscutul aspect de clopot este generată de ecuaţia :
Distribuţia normală este complet caracterizată prin două mărimi: media , în acelaşi timp o măsură a localizării şi
dispersia 2 (varianţa) care reprezintă o măsură a împrăştierii. Rădăcina patrată a dispersiei are aceleaşi unităţi ca şi
mărimea observată Y şi poartă numele de abatere standard, notată cu  .
Deoarece în practică nu se dispune decât de un număr oarecare m de valori experimentale Yj, caracteristicile
distribuţiei nu pot fi cunoscute ci doar estimate. Pentru estimarea mediei , se utilizează media aritmetică:
iar pentru estimarea dispersiei expresia :
Prelucrarea statistică a datelor experimentale din cadrul unei analize de regresie (în special metoda celor mai mici
pătrate) se bazează pe presupunerea că variabila dependentă y este o mărime aleatoare normal distribuită, valoarea y a
variabilei putând fi estimată prin media aritmetică
iar dispersia nedepinzînd de localizare (omogenitate a dispersiilor).
Omcgenitatea dispersiilor este testată cu ajutorul testului F al lui Fisher
în care l şi 2 reprezintă dispersiile în două zone diferite.
În cazul dispersiilor, =m-1
Obţinerea datelor experimentale se poate desfăşura în două situaţii:
a) este posibilă experimentarea la valori diferite şi prestabilite ale factorilor (experiment programat sau planificat);
b) programarea nu este posibilă.
Principiile de bază ale programării factoriale sunt : acoperirea intregului domeniu de variaţie şi codificarea
variabilelor. Prin codificarea variabilelor acestea pot căpăta, în cadrul experimentului programat, numai valorile -1, 0 şi
+1. Dacă valoarea codificată a variabilei este dată de:
b) În cazul în care o programare a experimentelor nu este posibilă (modelarea unei instalaţii care funcţionează în
conformitate cu un plan de producţie bine stabilit), singura posibilitate de obţinere a informaţiilor necesare modelării se
bazează pe utilizarea variaţiei întîmplătoare a factorilor.
Testarea datelor experimentale comportă două aspecte :
obligativitatea respectării ecuaţiilor de conservare în cadrul fiecărui experiment în parte
testarea reproductibilitătii datelor, calculul dispersiei, verificarea omogenităţii dispersiilor şi a normalităţii
distribuţiilor
3.3.4. Determinarea coeficienţilor modelului
În cele ce urmează se vor prezenta cîteva dintre cele mai uzuale metode de determinare a coeficienţilor ecuaţiilor.
a) În cazul în care numărul de constante care urmează a fi determinate este egal cu numărul m de experienţe (zero
grade de libertate), metoda de calcul este unică si evidentă.
Prin introducerea valorilor numerice ale factorilor xj şi ale variabilelor dependente corespunzătoare în ccuaţia
modelului se obţine un sistem determinat de ecuaţii :
Y j = f (c, xj)
j=1, 2, ..., m
în care coeficienţii c reprezintă necunoscutele. Soluţionarea sistemului de ecuaţii se poate face folosind diferite
subrutine, pentru sisteme liniare în raport cu coeficienţii c, sau pentru sisteme neliniare.
b) Metoda grafică este aplicabilă ecuaţiilor liniare în raport cu variabilele procesului sau care printr-un procedeu
oarecare au fost aduse la forma liniară. După reprezentarea datelor se trasează dreapta care le reprezintă aparent cel mai
bine. Din caracteristicile dreptei se calculează constantele ecuaţiei.
c) În cazul în care numărul de grade de libertate este mai mare decît zero , sistemul de ecuaţii este supradeterminat,
iar ecuaţiile sînt adesea incompatibile.
-
Drept criterii de optimizare se pot alege:
suma valorilor absolute ale abaterilor datelor experimentale faţă de ecuaţia de regresie:
-
abaterea relativă medie:
-
abaterea maximă sau abaterea relativă maximă:
suma pătratelor abaterilor valorilor experimentale faţă de regresie, denumită uneori şi suma reziduală a pătratelor
sau rezidual:
În aceste ecuaţii, prin Y j, s-au notat valorile măsurate experimental pentru variabila dependentă, iar prin y j valorile
calculate cu ajutorul modelului, pentru aceleaşi valori ale factorilor x1j, x2j, .... xnj;.
Metoda celor mai mici pătrate se bazează pe criteriul de optimizare
Avantajul principal al metodei celor mai mici pătrate este de a permite o rezolvare lesnicioasă, prin metode analitice
clasice, a problemei de optimizare în cazul în care ecuaţiile modelului au o formă polinomială.
Pentru un polinom de gradul unu se obţine, utilizînd drept criteriu de optimizare ecuaţia (3.65), următoarea expresie
pentru funcţia obiectiv :
Se obţine sistemul determinat de ecuaţii:
În mod similar, pentru un polinom de gradul doi se obţine:
Testarea modelului
Testarea modelului, respectiv compararea prezicerilor modelului cu datele furnizate de procesul real, trebuie să
asigure o bază cantitativă pentru acceptarea modelului ca atare sau reluarea analizei de regresie de la una din etapele
anterioare, în scopul obţinerii unui model acceptabil.
În cazul în care modelul nu este adecvat se pot lua următoarele decizii în scopul obţinerii unui model adecvat:
a) decizii care nu implică schimbarea formei modelului (modificarca intervalului de variaţie al factorilor,
completarea datelor experimentale) şi
b) decizii care implică modificarea formei modelului şi eventual completarea sau reluarea determinărilor
experimentale (transformarea unor variabile, utilizarca unor expresii mai complexele, în special prin introducerea unor
termeni de interacţiune şi de ordin superior, reconsiderarea factorilor procesului).
Testarea adecvanţei modelului. Se pot folosi : abaterea medie, abaterea relativă medie, în paralel cu abaterea
maximă sau abaterea relativă maximă.
Un bun test al adecvanţei modelului este şi testul F (Fisher). În acest caz, spre deosebire de cazul în care se testează
omogenitatea a două dispersii, testul F constă în raportarea dispersiei datelor faţă de regresie (dispersia adecvanţelor,
2ad) la dispersia 2y a datelor experimentale faţă de medie (dispersia reproductibilităţii datelor) :
Dispersia 2y, a datelor experimentale este o măsură a erorilor experimentale şi se calculează cu ecuaţia:
în care dispersiile 2i ale experimentelor efectuate în N puncte sînt mediate în raport cu numerele ni ale
experimentelor în fiecare punct. Numărul de grade de libertate al dispersiei 2y este egal cu suma gradelor de libertate
ale dispersiilor mediate, respectiv
Dispersia adecvanţelor este o măsură a erorii modelului şi se calculează cu relaţia :
Se observă că numărătorul relaţiei (3.74) reprezintă suma pătratelor abaterilor valorilor măsurate faţă de regresie.
Numărul de grade de libertate este diferenţa dintre numărul de date experimentale folosite în corelare şi numărul de
constante ale ecuaţiei :
În cazul modelelor liniare cu n variabile :
Se calculeze dispersia coeficienţilor de regresie
Nc = n+1
c, care pentru un model liniar este dată de expresia:
2
în care 2y este dispersia reproductibilităţii datelor, iar N este numărul de puncte pe baza cărora s-a calculat
aceasta (a nu se confunda cu numărul de grade de libertate y).
Intervalul de încredere ci al coeficientului ci, se determină cu relaţia:
în care t reprezintă valorile tabelate ale criteriului t (Student) pentru numărul de grade de libertate cu care a fost
calculată dispersia 2y şi la pragul de semnificaţie ales (uzual 5%).
Un coeficient ci este semnificativ dacă valoarea sa absolută este mai mare, decît intervalul de confidenţă ci..