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第9章 电路的频率响应
9.1频域网络函数和频率响应
9.2简单RC电路的频率特性
9.3 串联谐振电路
9.4并联谐振电路
重点
1. 网络函数和频率特性；
2. 串、并联谐振的概念；
9.1 频域网络函数
当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、
容抗将跟随频率变化，从而导致电路的工作状态亦
跟随频率变化。因此，分析研究电路和系统的频率
特性就显得格外重要。
频率特性
电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象，
称为电路和系统的频率特性，又称频率响应。
1. 网络函数H（jω）的定义
在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激
励源作用时，网络中某一处的响应（电压或电流）
与网络输入之比，称为该响应的网络函数。
R ( j )
H ( j ) 
E ( j )
def
2. 网络函数H(jω)的物理意义
 驱动点函数
( j ) 线性
I
U ( j )
网络
激励是电流源，响应是电压
U ( j )
H ( j ) 
I( j )
( j ) 线性
I
U ( j )
网络
策动点阻抗
激励是电压源，响应是电流
I( j )
H ( j ) 
U ( j )
策动点导纳
 转移函数(传递函数)
U1 ( j )
I1 ( j )
I2 ( j )
线性
网络
U 2 ( j )
I1 ( j )
U1 ( j )
I2 ( j )
线性
网络
激励是电流源
激励是电压源
I2 ( j )
H ( j ) 
U 1 ( j )
U 2 ( j )
转移
导纳
U 2 ( j ) 转移
H ( j ) 
U 1 ( j ) 电压比
U 2 ( j )
H ( j ) 
I1 ( j )
I2 ( j )
H ( j ) 
I1 ( j )
转移
阻抗
转移
电流比
注意
 H(j)与网络的结构、参数值有关，与输入、输出
变量的类型以及端口对的相互位置有关，与输入、
输出幅值无关。因此网络函数是网络性质的一种
体现。
 H(j) 是一个复数，它的频率特性分为两个部分：
幅频特性
相频特性
模与频率的关系 | H (j ) |~ 
幅角与频率的关系  (j ) ~ 
 网络函数可以用相量法中任一分析求解方法获得。
例 求图示电路的网络函数 I 2 / U S 和 U L / U S
jω
+
U1
_
jω
.
I1
+ UL
2
I
解 列网孔方程解电流 I2
(2  j ) I1  2 I 2  U S
 2I1  (4  j ) I2  0
2US
I2 
2
4  (j )  j6
_
I2
2
2
转移导纳
2
I 2 / US 
4   2  j6
j2
U L / US 
4   2  j6
转移电压比
注意 ①以网络函数中jω的最高次方的次数定义网
络函数的阶数。
②由网络函数能求得网络在任意正弦输入时
的端口正弦响应，即有
R ( j )
H ( j ) 
E ( j )
R ( j )  H ( j ) E ( j )
9.2 RC电路的频率特性
9 . 2 . 1 一阶RC低通滤波电
路 图示RC串联电路，其负载端开路时电容电
压对输入电压的转移电压比为:
1
U 2
1
jC
H ( j ) 



1
U1
1  jRC
R
j C
令转折角频率：
ωC
1
1


RC

1
U 2
1
jC
H ( j ) 



1
U1
1  jRC
R
j C
画出的幅频和相频特性曲线，如图 (b)和(c)所示。曲线表明图 (a)电路具有低通滤波
特性和移相特性，相移范围为0°到 -90°。
电子和通信工程中所使用信号的频率动态范围很大，例如从1021010Hz。
常画出20log|H(j)|和()相对于对数频率坐标的特性曲线，这种曲线称为
波特图。
横坐标采用相对频率/C，使曲线具有一定的通用性。幅频特性曲线的纵
坐标采用分贝(dB)作为单位。|H(j)|与20log|H(j)| (dB)之间关系如表所示。
A
0.01
0.1
.707
1
2
10
100
20logA/dB
-40
-20
-3.0
0
6.0
20
40
100
0
60
画出的波特图如图所示.
当=C时，20log|H(jC)|=-3dB，常用振幅从最大值下降到3dB的频率来定
义滤波电路的通频带宽度(简称带宽)。例如，上图所示低通滤波器的带宽是0到
C 。
9.2.2一阶RC高通滤波电路
对图(a)所示 RC串联电路，电阻电压对输
入电压的转移电压比为:
U 2
R
jRC
H ( j ) 



U1 R  1
1  jRC
jC
令
ωC
1
1


RC τ
当=C时，20log|H(jC)|=-3dB，我们说此高通滤波电路的带宽从C 到
∞。
3. 二阶RC低通滤波电路
U 2
1
H ( j ) 


U1 1   2 R 2C 2  j3RC
4. 二阶RC高通滤波电路
U 2
  2 R 2C 2
H ( j ) 


U1 1   2 R 2C 2  j3RC
5. 二阶RC 带通滤波电路
U 2
j RC
H ( j ) 


U1 1   2 R 2C 2  j3 RC
1
0 
RC
9.3串联谐振电路
如图9-1电路中，回路在外加电压us=USm sinωt作用下，电路
中的复阻抗为：
Z=
1
R  jX  R  j (L 
)
C
当改变电源频率，或
者改变L、C的值时都
会使回路中电流达到
最大值，使电抗
1
L 
=0，
C
电路呈电阻性，此时
我们就说电路发生谐
振 。 由 于 是 R、L、C
元件串联，所以又叫
串联谐振。
图9-1 串联谐振电路
外加电压 uS=USm sinωt，应用复数计算法
得回路电流为：


I
其中，阻抗

Us
R  j (L 
1
)
C


Us
U
 s
R  jX
Z
Z  Z e j z
。
Z 
R X
2
2

1 2
R  (L 
)
C
2
1
L 
X
C
 Z  arctg  arctg
R
R
Z 为阻抗的模,
Z
为阻抗的角。
在某一特定频率时，若回路满足下列条件：
1
X  0 L 
 0C
则电流


I  I0 

US
R
为最大值，回路发生谐振。
所以上式称为串联电路发生谐振的条件。
即当串联回路中容抗等于感抗时，称回路发生
了串联谐振。这时频率称为串联谐振频率，用
fo 表示，相应的角频率用ωo 表示，发生串联谐
振的角频率ωo和频率分别为：
1
0 
rad / s 或
LC
1
f0 
Hz
2 LC
9.1.1 频率特性
串联谐振电路具有如下特性：
（1）谐振时，回路电抗X=0，阻抗Z=R为最小值,
且为纯电阻。而在其他频率时，回路电抗X≠0，
当外加电压的频率ω>ω0 时，ωL> 1 ，回路呈
C
感性，当ω<ω0时，回路呈容性。

（2）谐振时，回路电流最大，即 I0  U S ,且电流 I 0
R

与外加电压 U S 同相。
（3）电感及电容两端电压模值相等，且等于外加
电压的Q倍。





U Lo  I o
U co  I o
Us
0L 
j 0 L 
j 0 L  j
Us
R
R


Us
1
1


j
Us
j 0 C
R
j 0 C
 0 CR
1
通常把ω0L/R（或1/ω0CR）称为回路的品质
因素，用Q表示。





U R 0、
串联揩振时，
、
、
与
U LO U CO U O
I O 的相位关系
如图9-2所示。
通常，回路的Q值可达几十
到几百，谐振时电感线圈和
电容两端的电压可以比信号
源电压大几十到几百倍，所
以又叫电压谐振。

从图9-2可以看出，U LO超前


I O 为90°，U CO


U LO 与 U CO
90°，

滞后I O 为
相位相反。
图9-2 串联谐振时电
压和电流相量图
(4) 谐振时，能量只在R上消耗，电容和电感之间
进行磁场能量和电场能量的转换，电源和电路之
间没有能量转换。
9.1.2 通频带
（1） 谐振曲线
回路中电流幅值与外加电压频率之间的关
系曲线称为谐振曲线。

在任意频率下回路电流 I 与谐振时回路电流

I0
之比为:

I
1
1
1




1
0 L  0
 0
Io
(L  ) 1  j
(  ) 1  jQ(  )
C
R 0 
0 
1 j
R

I

IO
式中，ξ=Q（

1
1  j
 O
 ）具有失谐振量的含义，称
O 
为广义失谐量。模为：
I

Io
1
 0 2
1 Q (  )
0 
2
据上式可以作出相应的谐振曲线，如图9-3所示。
图9-3 串联谐振时谐振曲线
图9-4串联谐振时的通频带
（2） 通频带
当外加信号电压的幅值不变，频率改变为
1
ω=ω1或ω=ω2，此时回路电流等于谐振值的
2
倍，如图9-4所示。ω2-ω1称为回路的通频带，其
绝对值为：
2△ω0。7=ω2-ω1或2△f0。7=f2-f1
ω1（f1）和ω2（f2）为通频带的边界角频
率（或边界频率）。
回路中相对通频带为：
2 0.7
0
1

或
Q
2f 0.7 1

fo
Q
可见，通频带与回路的品质因素Q成
反比，Q愈高，谐振曲线愈尖锐，回路的
选择性愈好，但通频带愈窄。因此，对
串联振荡回路来说，两者存在着矛盾。
9.4并联谐振电路
9.4.1 并联谐振
串联谐振回路适用于信号源内阻等于零或很小的情况，如果信号源
内阻很大，采用串联谐振电路将严重地降低回路的品质因素，使选择性显
著变坏（通频带过宽）。这样就必须采用并联谐振回路。
在图9-4 R-L-C并联电路中，电路的总导纳Y为：
Y  YR  YL  YC
1
1
1



R
jX L
 jX C
1
1
1

 j(

)
R
XL
XC
 G  jB
图9-4 R-L-C并联谐振电路
其导纳模为：
Y 
1
1
1 2
(

)
2
R
X L XC
相应的阻抗模：
1
Z 
1 2
1
1 2
( ) (

)
R
X L XC
可以看出：只有当XL=XC 时|Z|=R，电路呈电
阻性。由于R-L-C并联，所以这时又称为并联谐振。
1
故并联谐振的条件是XL=XC，即当ω0L=
时发
OC
生并联谐振。其谐振频率为：
0 
1
LC
或
1
fo 
2 LC
并联谐振电路的特点为：
（1）XL=XC，|Z|=R，电路阻抗为纯电阻性。
（2）谐振时，因阻抗最大，在电源电压一定时，
总电流最小，其值为：
U U
IO 

Z
R
因为纯电阻电路，故总电流与电源电压同相。并联
谐振电路的电流及各电压相位关系如图9-5所示。
（3）电感和电容上电流相
等，其电流为总电流的Q倍，
即：
U
U R
IC  I L 
 
 QI 0
0 L R 0 L
式中Q称为并联谐振电路的
品质因素，其值为：
R
Q
  O CR
O L
图9-5 并联谐振时电压
和电流相量图
（4）谐振时激励电流全部通过电阻支路，电感
与电容支路的电流大小相等，相位相反，使图96中A、B间相当于开路，所以并联谐振又称为电
流谐振。
9.4.2电感线圈和电容器的并联谐振电路
工程上广泛应用
电感线圈与电容器组
成并联谐振电路，由
于实际电感线圈的电
阻不可忽略，与电容
器并联时，其电路模
型如图9-6所示。
图 9-6 电感与电容的并联谐振电路
其相应的回路阻抗为：
1
( R  jL)
( R  jL)
j C
Z

1
R  j L 
R  j (L 
j C
1
jC
1
)
j C
其电压电流相量图如图9-7所示
从图相量中看出
I C  I RL sin 
即：
U

Xc
U
R2  X L
整理后：
2

XL
R2  X L
0 L
 0C  2
R  ( 0 L) 2
上式就是发生谐振
的条件。可以得到谐振
时的角频率为：
2
图 9-7 L C并联谐振时电
压电流相量图
0 
1
R2
 2
LC L
可以看出，不论R、L、ω为何值，调节电容
量C总可以达到谐振，但要调节激励频率使电路
发生谐振，必须使
数），即R<
近似条件为
1
R2
 2 0
LC L
（ω0才有可能为实
L
1
R2
远大于 2
。在
C
LC
L
1
0 L
  0C
。
时，并联谐振的
小
结
1、在RLC串联谐振电路中其谐振角频率为：
0 
1
LC
rad / s
品质因素：
Q=ω0 L/R=1/ω0CR
谐振特点：
I0=Us/R（最大）
UR=Us
Z0=R(最小)
UL0=UC0=QUs
2、在RLC并联谐振电路中其谐振角频率(频率)为：
0 
1
LC
或
1
fo 
2 LC
谐振特点：
（1）XL=XC，|Z|=R，电路阻抗为纯电阻性。
（2）谐振时，因阻抗最大，在电源电压一定时，
总电流最小，其值为：
U U
IO 

Z
R
总电流与电源电压同相。
3、在电感和电容并联的谐振电路中谐振角频率:
0 
品质因素
谐振特点
1
LC
rad / s
Q=ω0 L/R=1/ω0CR=
Z0= R0 =L/RC=Q
U0 = R0Is
IC0=IL0=QIs
L
LC
R
C (最大)