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Statique des poutres Linéaires
Dr J. Morlier
Illustrations tirées de
Mechanics of materials Texas Tech University, Lecture notes J walt Oler
http://homepages.ulb.ac.be/~rfilomen/teaching.html
http://www.civil.uwaterloo.ca/brodland/teaching/movies.asp
http://www.netprof.fr/Mecanique/Tous-les-cours-en-video,36,0,0.aspx
1
I. Définition
II. Approche RDM
III. Théorèmes énergétiques
Hypothèses de la RDM
6
Hypothèses sur les déplacements
Hypothèses de Bernouilli
Toute section droite avant déformation reste plane et
perpendiculaire à la ligne moyenne déformée.
 les sections droites restent planes selon Navier-Bernoulli (pas de
gauchissement).
L'hypothèse de Bernoulli permet de négliger le cisaillement dans le cas de la
flexion : le risque de rupture est alors dû à l'extension des fibres situées à
l'extérieur de la flexion, et la flèche est due au moment fléchissant
I. Définition
II. Approche RDM
III. Théorèmes énergétiques
Pour étudier les poutres,
on met en relation les efforts de cohésion avec les efforts extérieurs ;
les efforts de cohésion avec le tenseur des contraintes, grâce au principe
d'équivalence ;
le tenseur des contraintes avec le tenseur des déformations, grâce à la
loi de Hooke généralisée ;
et la forme finale de la poutre, c'est-à-dire le champ des déplacements,
avec le champ de tenseur des déformations.
Équations d ’équilibre global
F1
M1
F2
ey
ex
ez
A
B
C
D
le Principe Fondamental de la Statique donne :
F
ext
0
RA  F1  F2  0
 M  A, F   0
i
M A  M1  AB  F1  AD  F2  0
Principe de la coupe :
transformer les efforts intérieurs
en efforts extérieurs
Les efforts de cohésion sont des grandeurs macroscopiques, définies
sur l'ensemble de la section.
Du fait de la linéarité du problème (on reste en petites déformations),
on peut considérer indépendamment chaque composante, c'est-à-dire
considérer que la poutre n'est soumise à chaque fois qu'à une seule
sollicitation simple.
Pour les sollicitations
complexes, on somme les
contraintes de toutes les
sollicitations simples (principe
de superposition).
I. Définition
II. Approche RDM (exemples)
III. Théorèmes énergétiques
Exemple 1: Réactions
21
Exemple 2: cisaillement
22
Exemple 3: Flexion
23
24
Exemple 4: système isostatique
25
Diagramme NTM
On part en A de M=0
Puis en C bras de
levier:M=2*2kN
Puis en B: M=2kN*4 4kn*2=0
26
Torseur effort interieur (coupe en x, il
reste un bras de levier de longueur 4-x)
Discontinuité en terme d’effort
Zone 2: Pour x entre 2 et 4m (Coupe à gauche)
Je lis sens +: T=-Rb=-2kN
Je lis sens +: M= (4-x)*2kN
Enfin N=0
Torseur effort interieur (coupe en x, il
reste un bras de levier de longueur x)
Zone 1: Pour x entre 0 et 2m (Coupe à droite)
!!!-!!!
28
Je lis sens -: T=-(-2kN)
Je lis sens -: M= -(2kN*x)
(Bras de levier en x)
Enfin N=0
I. Définition
II. Approche RDM (Flexion)
III. Théorèmes énergétiques
sollicitation de flexion
On considère une poutre rectiligne de longueur (2a + b) sur 2 appuis simples
et soumise à un effort P à chaque extrémité
y
RB
RC
D
A
a
b
B
P
a
x
C
P
Calculer l ’effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre
diagramme du moment fléchissant et de l ’effort tranchant
A
Entre B et C :
a
b
B
Ty = 0
Mz = aP = constante
D
a
C
Mz
aP
Flexion pure sur BC
x
Ty
P
déformée en arc de cercle
de courbure constante R
x
(sections planes et normales
à la fibre moyenne)
-P
Déformation (1)
Soit une poutre longue symétrique
Imposons un moment de flexion
Et étudions « géométriquement » les
déformations (allongements ou
variation d’angles)
32
Déformation (2)
Regardons l’allongement de la fibre neutre par rapport aux fibres Up and Down
Dû à la flexion, certaines fibres se contractent d’autres s’allongent…
33
Déformation (3)
On a besoin de définir le centroid de la section et l’axe neutre de la poutre
On définit aussi rho le rayon de courbure
34
Déformation (4)
Puis la distance y à l’axe neutre de la poutre et en prenant un section infime ds on
peut écrire
35
Déformation (5)
36
Déformation = relation linéaire (y)
37
Section non symétrique ?? Moment
d’inertie
38
I=Moment d’inertie [m4]
41
Moment de flexion
En haut y=ymax, maximum de contraintes de compression
42
Moment de flexion
43
Moment de flexion (2)
44
Moment de flexion (3)
45
Contraintes Vs moment
46
• La relation entre moment de flexion et
courbure reste valide pour des chargements
transverses.
1
M ( x)


EI
• On peut exprimer la courbure géométriquement en
fonction de la dérivée seconde du déplacement y
d2y
1

• Substituant et en intégrant
EI
1

 EI
d2y
dx
2
 M x
x
dy
EI   EI
  M  x dx  C1
dx
0
x
x
0
0
EI y   dx  M  x  dx  C1x  C2

dx 2
2 3 2
  dy 
1    
  dx  

d2y
dx 2
EDO qui donne le déplacement d’1poutre
d y(x) M ( x )
=
2
dx
EI
2
• Les constantes sont identifiées en utilisant les
conditions aux limites
x
x
0
0
EI y   dx  M  x  dx  C1x  C2
• Cas simples (isostatique)
– Simplement suportée
y A  0,
– Sur appui
y A  0,
yB  0
yB  0
– Encastrée
y A  0,  A  0
• Des chargements plus compliqués requierent
plus d’intégrales et d’utiliser les conditions
de continuités de déplacement et pente.
9 - 50
<Résumé de la Démarche>
• Pour une poutre sous chargement distribué,
dM
d 2 M dT
= T ( x)
=
= -q ( x )
2
dx
dx
dx
• L’équation des poutres devient ( donne les
Formules de Bresse en déplacement)
d2M
d4y
= EI 4 = -q ( x )
dx 2
dx
• En intégrant 4 fois
EI y ( x ) = - ò dx ò dx ò dx ò q ( x ) dx
+ 16 C1 x 3 + 12 C2 x 2 + C3 x + C4
• Les constantes sont identifiées en utilisant les
conditions aux limites
9 - 52
degré d ’hyperstaticité
n inconnues de réaction
( p - n ) est le degré d ’hyperstaticité
p équations d ’équilibre
( p - n ) > 0 : hypostatique
( p - n ) = 0 : isostatique
( p - n ) < 0 : hyperstatique
Exemples
F
F
q(x)
Structure hyperstatique
Structure isostatique
A chaque discontinuité: coupe pas assez
d’eq pour résoudre Voir Théorèmes
énergétiques en annexe
I. Définition
II. Approche RDM (Cisaillement)
III. Théorèmes énergétiques
cisaillement
Configuration déformée
Configuration initiale
F
F

 est l ’angle de glissement

contrainte tangentielle
moyenne
 G 
E
21   
F
S
  
module de COULOMB
58
Le moment statique Q
d’une section par
rapport à un axe est
égal au produit de
l ’aire de la section
par la distance entre
son centre de gravité
G et l ’axe
Shear stress in web-flange beams
• The variation of shear flow
across the section
depends only on the
variation of the first
moment
• For a box beam, q grows
smoothly from zero at A to
a maximum at C and C’
and then decreases back
to zero at E.
Shear stress in web-flange beams
• For a wide-flange
beam, the shear
flow increases
symmetrically from
zero at A and A‘,
reaches a maximum
at C and the
decreases to zero at
E and E’
SOLUTION:
• Calculs du CdG et inertie
Y 
 yA
A

I x   I  A d 2

• Appliquer la formule de la fléxion
sm  M y
I
I  Moment d’inertie de la section
Une poutre en fonte subit un
moment de 3 kN-m . Sachant que E
= 165 GPa , déterminer les
contraintes de fléxions et le rayon
de courbure dela poutre
• Calculer la courbure
1


M
EI
SOLUTION:
Area, mm 2
1 20  90  1800
2 40  30  1200
 A  3000
y , mm
50
20
yA, mm 3
90 103
24 103
3
 yA  114 10
3
 yA 114 10
Y 

 38 mm
3000
A

 
1 bh3  A d 2
I x   I  A d 2   12



1 90  20 3  1800 12 2  1 30  40 3  1200 18 2
 12
12
I  868 103 mm  868 10 -9 m 4

• contraintes
×´
s A  M cA  3 kN m -0.022m
9
s A  76 .0 MPa
4
I
868´ 10 mm
×´
s B  - M cB  - 3 kN m -0.038m
I
868´ 10 9 mm4
s B  -131 .3 MPa
• courbure
1



M
EI
3 kN  m
165 GPa 868 10 -9 m4 
1
 20.95 10 -3 m-1

  47.7 m
71
72
73
74